揭秘?cái)?shù)列考題的信息密碼

涂天明

“不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層.”今年數(shù)學(xué)高考試題之難超乎你想象，還上了輿論風(fēng)口浪尖，顛覆了考生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知. 有考生戲稱上午尚可本手妙手俗手的還還手，下午直接無(wú)從下手. 有這么難嗎？真是內(nèi)行看門(mén)道，外行看熱鬧. 作為數(shù)學(xué)的重要研究對(duì)象，數(shù)列的定位一直很明確，數(shù)列是特殊的函數(shù)，是離散函數(shù). 它具有函數(shù)的屬性，離散函數(shù)的圖像是一些離散的點(diǎn)，它不連續(xù)但可數(shù). 研究數(shù)列既有利于研究其它函數(shù)，又可以解決一些日常生活中的離散型模型的實(shí)際問(wèn)題. 從內(nèi)容看，數(shù)列的概念有直觀想象與數(shù)學(xué)抽象，根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出其通項(xiàng)公式，但要嚴(yán)謹(jǐn)是需要用數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理證明的，都是基于數(shù)學(xué)科核心素養(yǎng)展開(kāi)的. 等差數(shù)列、等比數(shù)列是重點(diǎn)，按定義-通項(xiàng)公式-前n項(xiàng)和公式順序研究是正確的，此乃數(shù)列之核心與本質(zhì)，相關(guān)數(shù)學(xué)思想、方法、技巧蘊(yùn)含其中. 初學(xué)就要善于用函數(shù)的觀點(diǎn)看數(shù)列，方能站得高看得遠(yuǎn)，為后續(xù)數(shù)學(xué)分析中數(shù)列極限、級(jí)數(shù)、p階等差數(shù)列等學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

一、數(shù)列考題呈現(xiàn)，體驗(yàn)霧里看花

題目：【2022年全國(guó)高考新課標(biāo)I卷數(shù)學(xué)第17題】記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1=1，數(shù)列{}是以公差為的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式;

（2）證明：++…+<2.

【一般解法】（1）∵a1=1，∴=1，由數(shù)列{}是以公差為的等差數(shù)列，知=1+=，即Sn=an. 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=an-1，于是an=Sn-Sn-1=an-an-1，即an=an-1，即=. ∴=，=，=，…，=，將這些式子疊乘可得，···…·=×××…×==，∵a1=1，∴an=.

（2）由（1）知an=，∴==2（-），

∴++…+=2[（1-）+（-）+…+（-）]=2（1-）<2.

【點(diǎn)撥】國(guó)家為了突出高考選拔功能，今年高考數(shù)學(xué)試題難度偏大，從2021廣東省中考數(shù)學(xué)試題已經(jīng)露出端倪，難度變大是大趨勢(shì). 就本題而言，已知條件確實(shí)是意料之外，但就問(wèn)的方式，還算中規(guī)中矩，雖然起點(diǎn)提高了，但畢竟還是基本方法，在情理之中. 等差數(shù)列通項(xiàng)公式、疊乘法、裂項(xiàng)求和、放縮法這些在備考時(shí)都是會(huì)重點(diǎn)關(guān)注的，不容忽視的是數(shù)學(xué)運(yùn)算大且要求高，所以復(fù)習(xí)備考還需把握數(shù)列的核心與本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力也是基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的策略.

【優(yōu)美解法1】（1）∵a1=1，∴=1，由數(shù)列{}是以公差為的等差數(shù)列，知=1+=，即Sn=an（到這里注意了，這是一個(gè)Sn與an的混合關(guān)系式，老師通常會(huì)告訴考生，要么化為an的遞推關(guān)系，要么化為Sn的遞推關(guān)系，當(dāng)然也可化為Sn的遞推關(guān)系），當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=an=（Sn-Sn-1），即Sn=Sn-1，即=. ∴=，=，=，…，=，將這些式子疊乘可得··…=×××…×==，∵S1=1，滿足公式，∴ Sn=，∴an=Sn=·=.（后面略）

【點(diǎn)撥】本解法同一般解法對(duì)比，有點(diǎn)霧里看花的感覺(jué). 同宗同源，本質(zhì)相同，尋根溯源，都源自一個(gè)Sn與an關(guān)系式：an=S1，n=1

Sn-Sn-1，n≥2在學(xué)數(shù)列的概念時(shí)就會(huì)接觸到. 等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、數(shù)列求和都是核心內(nèi)容，但本題切入到關(guān)于Sn與an的混合式Sn=an時(shí)，慣用的方法是化為通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系式，均能上岸求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，第（2）小題裂項(xiàng)求和再放縮基本就算一馬平川.

【優(yōu)美解法2】（1）∵a1=1，∴=1，由數(shù)列{}是以公差為的等差數(shù)列，知==1+=，∴=1，即a2=3，同理=+=，∴a3=6，=+=2，∴a4=10.（這樣規(guī)律就出來(lái)了，站在老師角度看，這顯然是二階等差數(shù)列）

∴a1=1

a2-a1=3-1=2

a3-a2=6-3=3

a4-a3=10-6=4

………

an-an-1=n

于是an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=n+n-1+…+2+1=，

即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=（后面略）.

【點(diǎn)撥】云開(kāi)霧散卻晴霽，清風(fēng)淅淅無(wú)纖塵.從過(guò)程看，根據(jù)遞推關(guān)系先計(jì)算出數(shù)列的前4項(xiàng)：1，3，6，10，容易發(fā)現(xiàn)是二階等差數(shù)列（通項(xiàng)公式是關(guān)于的二次函數(shù)式），根據(jù)前4項(xiàng)歸納出一個(gè)通項(xiàng)公式但不嚴(yán)謹(jǐn). 新版教材選擇性必修第二冊(cè)P15頁(yè)例2就是此類題，體現(xiàn)歸納推理. 另外，新版教材選擇性必修第二冊(cè)P13—P14等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的導(dǎo)出用了“歸納可得”此類措辭，足見(jiàn)其合理性.云開(kāi)霧散，為求嚴(yán)謹(jǐn)，采用疊加.

【優(yōu)美解法3】（1）參照優(yōu)美解法2，先計(jì)算出數(shù)列的前4項(xiàng)1，3，6，10，這樣規(guī)律就出來(lái)了，a1=1=，a2=3=，a3=6=，a4=10=，于是猜想公式為an=（?），下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1°n=1時(shí)，a1=1，=1，公式（?）成立.

2°設(shè)ak=，∵Sk+1=ak+1，ak+1=Sk+1=Sk+ak+1=ak+ak+1=·+ak+1，解得ak+1=，即ak+1=，即n=k+1時(shí)，公式（?）成立. 根據(jù)1°2°?n∈N?，公式（?）均成立. 后面略.

【點(diǎn)撥】用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題體現(xiàn)的是歸納推理，非常契合數(shù)列中的思想方法. 教材通過(guò)多米諾骨牌全部倒下的過(guò)程和證明一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程的類比分析，揭示了數(shù)學(xué)歸納法的原理. 雖然數(shù)學(xué)歸納法是選學(xué)內(nèi)容，著眼于后續(xù)學(xué)習(xí)，學(xué)有余力的考生很有必要學(xué)習(xí)它.

【優(yōu)美解法4】（1）參照優(yōu)美解法2，先計(jì)算出數(shù)列的前4項(xiàng)1，3，6，10，換個(gè)角度看規(guī)律，a1=1，a2=3=a1+2，a3=6=a2+3，a4=10=a3+4，…當(dāng)n≥2時(shí)，an=an-1+n，于是疊加得公式an=（?），下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1. n=1時(shí)，a1=1，=1，公式（?）成立.

2. 設(shè)ak=，n=k+1時(shí)，ak+1=ak+k+1=+k+1==，即n=k+1時(shí)，公式（?）成立. 根據(jù)1°2°?n∈N?，公式（?）均成立. 后面略.

【點(diǎn)撥】用數(shù)學(xué)歸納法證明同一個(gè)公式，為什么優(yōu)美解法4比優(yōu)美解法3簡(jiǎn)單很多，本解法更加優(yōu)美呢？關(guān)鍵點(diǎn)就是本解法用的是an=an-1+n，關(guān)于an的遞推關(guān)系而不是關(guān)于Sn與an的混合關(guān)系式. 借我一雙慧眼吧，數(shù)列{an}原來(lái)是它（一個(gè)古老的離散型數(shù)列模型）：1刀把一塊餅切成兩塊，2刀最多把一塊餅切成4塊，3刀最多把一塊餅切成7塊，…，n刀最多能將一塊餅切成多少塊？我吃了一塊，還剩an塊，試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

二、核心素養(yǎng)考察，助力高考選拔

今年的數(shù)列考題可以用精彩紛呈來(lái)形容，加強(qiáng)素養(yǎng)考察，發(fā)揮選拔功能. 既研究了嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，又體驗(yàn)了中國(guó)古建筑的哲學(xué)與美. 既有傳統(tǒng)的幾個(gè)量a1，d，n，an，Sn（a1，q，n，an，Sn）之間的基本運(yùn)算，又有像北京卷第21題這樣比較抽象的創(chuàng)新題，對(duì)考生的創(chuàng)新能力要求明顯提高. 有基于數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)建模的題型，又有豐富的文化內(nèi)涵. 一并與你分享，賞析數(shù)列名題，既能拋磚引玉，又能助力下屆高考.

1.“情理之中”篇

考生總奢望考題做過(guò)或練過(guò)，這也符合考生正常心理，但未必妥，面對(duì)同一份卷難免大家都會(huì)，或都不會(huì)，這樣的考題區(qū)分度受局限.看看下面4例中規(guī)中矩，是情理之中的事.

【例1】（2022全國(guó)乙卷理科8）已知等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為168，a2-a5=42，則a6=（ ）

A. 14 B. 12 C. 6 D. 3

【例2】（2022北京6）設(shè){an}是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，則“{an}是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N0，使得當(dāng)n>N0時(shí)，都有an>0”的（ ）

A. 充分非必要條件 ? B. 必要非充分條件

C. 充要條件? D. 既不充分也不必要條件

【例3】（2022全國(guó)乙卷文科13）設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若2S3=3S2+6，則公差d=______.

【例4】（2022全國(guó)甲卷理科18）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知+n=2an+1.

（1）證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列;（2）若a4，a7，a9成等比數(shù)列，求Sn的最小值.

（答案：【例1】D. 【例2】A. 【例3】2.【例4】（1）略（2）-78.）

2.“意料之外”篇

以下這一組題明顯立意抽象，背景豐富，很有創(chuàng)意，有文化稟賦也有美學(xué)底蘊(yùn). 加上難度加大，對(duì)考生能力要求大幅提高，出乎考生意料之外.

【例5】（2022全國(guó)乙卷理科4）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造衛(wèi)星.為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列{bn}：b1=1+，b2=1+，b3=1+，…，依此類推，其中ak∈N?（k=1，2，…），則（ ）

A. b1

【例6】（2022浙江10）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an-a2

n（n∈N?），則（ ）

A. 2<100a100

C. 3<100a100

【例7】（2022全國(guó)新課標(biāo)II卷3）中國(guó)的古建筑不僅是遮風(fēng)擋雨的住處，更是美學(xué)與哲學(xué)的體現(xiàn)，如圖2是某古建筑（圖1）的剖面圖，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，DD1，CC1，BB1，AA1是脊，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的脊步比分別是=0.5，=k1，=k2，=k3，若k1，k2，k3是公差為0.1的等差數(shù)列，直線OA的斜率為0.725，則k3=（ ）

A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.9

【例8】（2022北京15）已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和Sn滿足an·Sn=9（n=1，2，…），給定下列四個(gè)結(jié)論：①數(shù)列{an}的第二項(xiàng)小于3;②數(shù)列{an}是等比數(shù)列;③數(shù)列{an}是遞減數(shù)列;④數(shù)列{an}中存在小于數(shù)列的項(xiàng). 正確命題的序號(hào)是________.

【例9】（2022全國(guó)新課標(biāo)II卷17）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4.（1）證明：a1=b1;（2）求集合{k│bk=am+a1，1≤m≤500}的元素個(gè)數(shù).

【例10】（2022天津18）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且a1=b1=a2-b2=a3-b3=1.（1）求{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：（Sn+1+an+1）bn=Sn+1+an+1-Snbn;

（3）求（ak+1-（-1）kak）bk.

【例11】（2022浙江20）已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=-1，公差d>1，記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，

（1）若S4-2a2a3+6=0，求Sn;

（2）若對(duì)每一個(gè)n∈N?，存在實(shí)數(shù)cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn，成等比數(shù)列，求d的取值范圍.

【例12】（2022北京21）已知Q∶a1，a2…an為有窮整數(shù)數(shù)列，給定正整數(shù)m，對(duì)任意n∈{1，2，…m}，在Q中存在ai，ai+1，ai+2，…，ai+ j（j≥0）使得ai+ai+1+ai+2+…+ai+ j =n則稱為m-連續(xù)可表數(shù)列.

（1）判斷Q∶2，1，4是否是5-連續(xù)可表數(shù)列？是否是6-連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由;

（2）若Q∶a1，a2，…，ak為8-連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4;

（3）若Q∶a1，a2，…，ak為20-連續(xù)可表數(shù)列，且a1+a2+…+ak<20求證：k≥7.

答案與提示：

【例5】可用賦值法：取an=1，依題意得b1=2，b2=，b3=，b4=，b5=，b6=，b7=，b8=，…，分子分母都成斐波拉契數(shù)列，驗(yàn)算知b4-b7=-=-<0，且故選D.

【例6】提示：∵a1=1，a2=∈（0，1），同理易得an∈（0，1）.

由題意，an+1=an（1-an），即==+，

∴-=>.

即->，->，->，…，->，（n≥2），

疊加加可得-1>（n-1），即>（n+2），（n≥2）

∴an<，（n≥2），即a100<，100a100<<3.

又-=<=（1+），（n≥2）

∴-=（1+），-<（1+），-<（1+），…，-<（1+），（n≥3），

疊加可得-1<（n-1）+（++…+），（n≥3）.

∴-1<33+（++…+）<33+（×4+×94）<39，

即<40，∴a100>，即100a100>.

綜上：<100a100<3. 故選：B.

【例7】提示：設(shè)OD1=DC1=CB1=BA1=1，則CC1=k1，BB1=k2，AA1=k3，依題意k3=k1+0.2，k3=k2+0.1，且直線OA的斜率為=0.725，即=0.725，解得k3=0.9，故選D.

【例8】① ③ ④.

【例9】提示：（1）設(shè){an}公差d，依題意a2-b2=a3-b3，即a1+d-2b1=a1+2d-4b1，即d=2b1，同理a2-b2=b4-a4，即a1+d-2b1=8b1-（a1+3d），即2a1=10b1-4d=10b1-8b1=2b1，∴a1=b1.

（2）由（i）知d=2b1=2a1，∴bk=am+a1?b1·2k-1=a1+（m-1）d+a1=b1+2（m-1）b+b1，即2k-1=2m，又1≤m≤500，即2≤2k-1≤100?2≤k≤10，即滿足集合{k│bk=am+a1，1≤m≤500}的元素個(gè)數(shù)是9.

【例10】提示：（1）an=2n-1，bn=2n-1.（2）依題意易知Sn=n2，Sn+1=（n+1）2，∴（Sn+1+an+1）bn=（（n+1）2+2n+1）2n-1=（n2+4n+2）2n-1=（2n2+4n+2-n2）2n-1=2（n+1）22n-1-n22n-1=（n+1）22n-n22n-1=Sn+1an+1-Snbn，即原式成立.

（3）提示：（ak+1-（-1）kak）bk=222k-1+（8k-4）4k-1=（4n-1）++（-）4n+1=+.

【例11】提示：（1）依題意∵S4-2a2a3+6=0，∴-4+6d-2（-1+d）（-1+2d）+6，解得d=3（∵d>1），∵Sn=-n+）=.

（2）∵an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn 成等比數(shù)列，∴（an+1+4cn）2=（an+cn）（an+2+15cn ），即cn2+（-15an -an+2+8an+1）cn +[an +1][2]-anan+2=0，即cn2+（-14an+6an+1）cn +[an +1][2]-anan+2=0，即Δ=（-14an+6an+1）2-4（[an +1][2]-anan+2）=32[an +1][2]-160anan+1+192a

2

n≥0，即[an +1][2]-5anan+1+6a

2

n≥0，∴（an+1-2an）（an+1-3an）≥0，即（（n-2）d-1）（（2n-3）d-2）≥0，當(dāng)n=1時(shí)化為（d+1）（d+2）≥0成立，當(dāng)n=2時(shí)，（-1）（d-2）≥0，∴d≤2. 當(dāng)n≥3時(shí)，化為（n-3）（2n-5）≥0恒成立. 綜上知d的取值范圍為（1，2].

【例12】提示：（1）對(duì)Q∶2，1，4;有1，2，2+1，4，1+4而6不存在，所以Q∶2，1，4是5-連續(xù)可表數(shù)列，不是6-連續(xù)可表數(shù)列.

（2）若k≤3，記為a，b，c則a，b，c，a+b，b+c，a+b+c一共才6個(gè)和，小于8;k=4時(shí)，取Q∶2，4，1，3滿足題意，∴k的最小值為4.

（3）若k≤5，則a1，a2，a3，a4，a5最多可以表示（1+2+3+4+5=）15個(gè)和值，小于20，不合題意. k=6時(shí)，a1，a2，a3，a4，a5，a6最多可以表示21個(gè)和，∵a1+a2+a3+a4+a5+a6<20，即其中必有負(fù)數(shù).

1°若a2<2，則a1+a2，a2+a3+a4+a5+a6∈{1，2，…，20}，即a1，a3+a4+a5+a6必有一個(gè)是20，若a1是若干個(gè)連續(xù)數(shù)和中最大的，則a1+a2+a3+a4+a5+a6>a1，矛盾. 同理若a3+a4+a5+a6若干個(gè)連續(xù)數(shù)和中最大的，則a1+a2+a3+a4+a5+a6>a3+a4+a5+a6，也矛盾.

2°同理可證a3，a4，a5也不可能為負(fù).

3°若a1<0，則必有a2+a3+a4+a5+a6=20，∵a1+a2+a3+a4+a5+a6<20，∴19∈{a1+a2+a3+a4+a5+a6，a2+a3+a4+a5，a3+a4+a5+a6}，若a1+a2+a3+a4+a5+a6=19，則a1=-1，若a2+a3+a4+a5=18，則a6=2，此時(shí)a3+a4+a5+a6=17，a2=3，則a1+a2=a6=2矛盾. 若a3+a4+a5+a6=18，則a2=2，a6=3，注意到a3+a4+a5=15，∴{a3，a4，a5}={4，5，6}，若a3=4，則a2+a3=6矛盾. 若a4=4，則要么a1+a2+a3=6矛盾，要么a2+a3=a5+a6=8矛盾. 若a2+a3+a4+a5=19，則a6=1，這時(shí)a1+a2+a3+a4+a5+a6=18，a1=-2，a3+a4+a5+a6=17，這樣a2=3，a1+a2=a6矛盾.

若a3+a4+a5+a6=19，則a2=1，這時(shí)a1<0，a1+a2≤0，這樣若干個(gè)連續(xù)數(shù)和將不足20，矛盾.

4°由對(duì)稱性a6<0也不可能，∴k≥7.

三、深挖數(shù)列教材，尋覓信息密碼

在高考備考這項(xiàng)活動(dòng)中，如果把考生看成運(yùn)動(dòng)員，老師就好比教練. 如果把考生看成演員，老師就是導(dǎo)演. 所以角色定位必須清晰. 區(qū)區(qū)一個(gè)二階等差數(shù)列尚能把考生弄成此樣，高數(shù)中難啃的骨頭何其多？數(shù)列的概念是研究的基礎(chǔ)，也是重點(diǎn). 等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式是核心內(nèi)容，需要重點(diǎn)關(guān)注.

1. 從數(shù)列教材中提煉數(shù)學(xué)方法

數(shù)列概念的研究方法，詳細(xì)分析典型實(shí)例后，歸納出它的共同特征，由此抽象出數(shù)列的一般定義. 然后教科書(shū)就會(huì)把它和函數(shù)關(guān)聯(lián)這也是編者的初衷. 數(shù)列是定義在正整數(shù)集（或正整數(shù)集的有限子集）的離散函數(shù). 既然是離散函數(shù)研究數(shù)列就要遵循函數(shù)的研究方法，教科書(shū)P3到P5分別用表格、圖像、通項(xiàng)公式表示數(shù)列也是為了契合函數(shù)的三種表示方法列表法、圖像法、解析式. 與此同時(shí)，離散函數(shù)有其特殊性，因此還可以用前n項(xiàng)和Sn、遞推關(guān)系等來(lái)表示. 研究過(guò)程中，數(shù)學(xué)方法頁(yè)蘊(yùn)含其中，比如：

不完全歸納法就在數(shù)列的概念部分根據(jù)數(shù)列發(fā)前幾項(xiàng)歸納出其一個(gè)通項(xiàng)公式; 疊加法源自等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，疊乘法等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo);裂項(xiàng)求和法源自等差數(shù)列的定義an+1-an=d（常數(shù)）的變形形式=（-）（d≠0）;錯(cuò)位相減法源自等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo);分段求和法源自一道習(xí)題的解法;倒序相加法源自等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn公式的推導(dǎo)，即兩項(xiàng)和對(duì)稱性，也叫高斯法;數(shù)學(xué)歸納法在最后一節(jié)，帶星號(hào)，時(shí)選學(xué)內(nèi)容，供學(xué)有余力的考生參考.

2. 把等差數(shù)列與等比數(shù)列提升到數(shù)列的核心內(nèi)容

教科書(shū)從一般到特殊，按“概念-實(shí)質(zhì)-應(yīng)用”的順序，重點(diǎn)研究了等差數(shù)列、等比數(shù)列. 而等差數(shù)列、等比數(shù)列的研究，按“定義-通項(xiàng)公式-前n項(xiàng)和Sn公式”的順序. 復(fù)習(xí)時(shí)以此為核心內(nèi)容，注意思想方法的提煉，很多技巧、玄機(jī)隱含其中.這里略舉幾例：

（1）等差數(shù)列的定義an+1-an=d，可以變?yōu)閍n+1=an+d或an=an+1-d，說(shuō)明等差數(shù)列{an}中，倒序也是等差數(shù)列，且公差為-d.

（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1-（n-1）d，an=am-（n-m）d可變?yōu)閐==，這與斜率公式高度契合，即公差的幾何意義就是直線y=dx+b（an=a1-（n-1）d）的斜率.

（3）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=，可以變式為==，即等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)的平均數(shù)等于其首末項(xiàng)的平均數(shù).

（4）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=還可優(yōu)化成S2n-1=（2n-1）an體現(xiàn)出等差中項(xiàng)的性質(zhì).

（5）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d，an=am+（n-m）d與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1，an=amqn-m高度契合（為大學(xué)學(xué)習(xí)近世代數(shù)奠定基礎(chǔ)）.

（6）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=na1+d與等比數(shù)列的前n項(xiàng)積[Tn=a1nq][]高度契合，這里還可類比等差數(shù)列前2n-1項(xiàng)和S2n-1=（2n-1）an，得等比數(shù)列的前2n-1項(xiàng)積T2n-1=an2n-1.

（7）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=na1，（q=1）

，（q≠1）以分段形式出現(xiàn)的. 當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比q時(shí)以字母形式出現(xiàn)時(shí)，注意分類討論. 如此等等，舉不勝舉. 這些都可以設(shè)置問(wèn)題情境，讓考生通過(guò)學(xué)習(xí)與探究去發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)的越多，應(yīng)對(duì)高考底氣就越足.

四、結(jié)束語(yǔ)

命題風(fēng)格告訴我們，試題難度加大，區(qū)分度極強(qiáng)，那種投機(jī)取巧靠刷題考高分的時(shí)代結(jié)束了. 新的課程標(biāo)準(zhǔn)引領(lǐng)下，是開(kāi)啟基于數(shù)學(xué)科核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)時(shí)代了，能力要求提高了. 數(shù)列同其它內(nèi)容一樣，承上啟下，要謀求學(xué)習(xí)模式的改變，變學(xué)生被動(dòng)接受為主動(dòng)探究. 數(shù)列這一部分內(nèi)容要求考生有一定創(chuàng)新能力，知識(shí)的定位、能力的拿捏、創(chuàng)新的要求等就清清楚楚擺那里. 剩下的就是我們?nèi)绾稳ッ鎸?duì)，如果能以立德樹(shù)人為導(dǎo)向，基于數(shù)學(xué)科核心素養(yǎng)開(kāi)展課堂教學(xué)，以課本為本，科學(xué)備考. 回歸到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，那一切都在可控狀態(tài)、情理之中，否則還是走老路吃老本，難免會(huì)在你意料之外.

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)