重創(chuàng)新、重應(yīng)用,引領(lǐng)數(shù)學(xué)進(jìn)入新時(shí)代

許少華

“學(xué)好數(shù)、理、化，走遍天下都不怕”，它告訴我們“數(shù)、理、化”是一門生存絕技，你擁有它，無論到哪里，都可以立足.事實(shí)上，數(shù)理化作為基礎(chǔ)學(xué)科，不僅對一個(gè)人重要，對國家也非常重要，我們要高科技有突破、我們要軍隊(duì)現(xiàn)代化、我們要全面進(jìn)入小康，哪一點(diǎn)都要求數(shù)理化必須先行、必須有雄厚的基礎(chǔ)知識(shí)與基礎(chǔ)理論作支撐. 因此，2022年高考數(shù)學(xué)命題率先吹起了沖鋒號，以重創(chuàng)新、重應(yīng)用，引領(lǐng)數(shù)學(xué)進(jìn)入新時(shí)代為己任，設(shè)計(jì)命制出全新的數(shù)學(xué)試題，下面讓我們慢慢品味與欣賞.

一、試題的特點(diǎn)

1. 試題的背景材料

從1952年毛主席視察黃河時(shí)提出的“南水北調(diào)”到目前的疫情防控，橫跨幾十年的現(xiàn)實(shí)生活問題是本次的兩道試題的社會(huì)背景. 從數(shù)字的大小比較、體積的取值范圍到式子的最值問題，究其實(shí)質(zhì)都是以不等式為背景. 同樣，以函數(shù)為背景、以數(shù)形結(jié)合為背景等考題比比皆是. 明面上的問題，若離開了背景材料也許會(huì)很空洞，當(dāng)然，你的求解若不聯(lián)系一下背景，也許會(huì)無從下手.

2. 試題的雙基覆蓋面

今年的高考題對知識(shí)點(diǎn)的覆蓋情況及知識(shí)點(diǎn)考查時(shí)所用的題目類型見下表：

從上表可以看出：基礎(chǔ)知識(shí)的覆蓋面很廣，且重點(diǎn)知識(shí)得到了重點(diǎn)考查. 如導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、圓錐曲線、立體幾何等考試的分?jǐn)?shù)相對較高. 當(dāng)然，我們也可以看出：三角函數(shù)、基本初等函數(shù)、數(shù)列考的內(nèi)容相對較少，而重點(diǎn)考查的內(nèi)容要么比較難、要么比較繁、要么難以想象，于是，就構(gòu)成了本次試題較難.

3. 對應(yīng)用性的考查

試題對應(yīng)用性的考查體現(xiàn)在三個(gè)方面：一是方法的應(yīng)用，第2題“若i（1-z）=1，則z+=（ ）A. -2 B. -1 C. 1 D. 2”，對已知的式子兩邊同乘-i，很快便看出結(jié)論. 第3題“在ΔABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA. 記=，=，則=（ ）A. 3-2 B. -2+3 C. 3-2 D. 2+3”，考查向量減法的應(yīng)用，即由BD=2DA?=2?-=2（-）立得結(jié)論. 類似地應(yīng)用隨處可見，它強(qiáng)調(diào)基本方法的靈活性，注重了這些，幾乎可以一望而解. 其次是技能的應(yīng)用，第7 題無論是構(gòu)造函數(shù)還是放縮，必備的技能你必須擁有，否則，你肯定會(huì)一籌莫展，第12題由f（3-x）=f（x）?-f′（3-x）=f′（x）??-g（3-x）=g（x）恰到好處的產(chǎn)生周期函數(shù)，這個(gè)技能應(yīng)用得很漂亮. 第三是數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，第4題、第5題及第20題，都要求我們應(yīng)用所擁有的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能來處理具體問題.

4. 對交匯性的考查

在知識(shí)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題，永遠(yuǎn)都是高考試題設(shè)計(jì)的重要思路之一，我們看看第6題將三角函數(shù)的圖像性質(zhì)與三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式等相結(jié)合. 第8題立體幾何的基本計(jì)算與基本不等式相結(jié)合或者與三角函數(shù)相結(jié)合. 第18題正弦定理與基本不等式相結(jié)合. 第13題的二項(xiàng)定理問題與排列給相結(jié)合等. 都不是孤立的，每一道題，那怕是排在前面較為基礎(chǔ)的問題，也都會(huì)涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，可以說考查單一知識(shí)點(diǎn)或某一技能點(diǎn)的試題不存在，都是小綜合，至少是在本知識(shí)塊范圍內(nèi)的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系在一起，比如第10題，考查函數(shù)的極值點(diǎn)、零點(diǎn)、對稱中心、切線，“四合一”，函數(shù)還有哪些常見性質(zhì)，是不是都囊括其中了，本題要想產(chǎn)生正確結(jié)論，哪一點(diǎn)不過關(guān)都不行.

5. 對創(chuàng)新性的考查

創(chuàng)新性體現(xiàn)兩個(gè)方面，一是試題創(chuàng)新，這里指背景材料或試題結(jié)構(gòu)，比如第14題“寫出與圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程___________.”這里僅強(qiáng)調(diào)一條，也就是說你寫出一條就可以了，本題的兩個(gè)圓的方程都是以標(biāo)準(zhǔn)方程給出，圖像很好畫，靈活的考生畫一下立刻產(chǎn)生結(jié)論，難嗎？因?yàn)樗鼊?chuàng)新了，打破了傳統(tǒng)的求解模式，很多同學(xué)不適應(yīng)，還在循規(guī)蹈矩的計(jì)算，時(shí)間過去了，結(jié)論沒產(chǎn)生，嘆一聲，這題不僅難而且很繁. 另一個(gè)是應(yīng)用創(chuàng)新，第7題“設(shè)a=0.1e0.1，b=，c=-ln0.9，則（? ? ）A. a

6. 對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括六個(gè)方面：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析. 本次考試對核心素養(yǎng)的考查可謂是力度空前. 第7題、第12題對抽象能力的要求較高. 第20題的第一問與第22題求解的邏輯推理相當(dāng)嚴(yán)謹(jǐn). 數(shù)學(xué)運(yùn)算包含字母運(yùn)算與數(shù)字運(yùn)算，看看第4題與第8題不僅要有運(yùn)算的耐心與自信心，更要注重運(yùn)算的合理性與科學(xué)性，再看看三道圓錐曲線試題（即第11題、第16題與第21題），那一道都不是“省油的燈”，既要注重常規(guī)方法與技巧，又要因條件、因結(jié)論適時(shí)轉(zhuǎn)化與調(diào)整，說難不為過、說繁也不為過. 直觀想象與數(shù)據(jù)分析活活的被聯(lián)想、分析、運(yùn)算、推理所淹沒.

7. 整套試卷的難易度

“本手、妙手與俗手，不如數(shù)學(xué)無從下手”“不管什么手，考完數(shù)學(xué)當(dāng)X團(tuán)騎手”，這雖是網(wǎng)絡(luò)語不足為奇，但回到理性角度看，縱向看：今年要比前幾年都難很多（今年至此時(shí)并未公布全省平均分，雖有前幾年的分?jǐn)?shù)，但無法進(jìn)行比較，這里還帶有幾分感性色彩）. 橫向看：某班語文老師在家長群發(fā)微信說，到目前已知道了我們班最高分129分，平均分超過110分，家長一片贊譽(yù). 英語老師也在家長群發(fā)微信說，全級140分以上的81人，最高分147分，有六個(gè)班平均分130分以上.“英語老師個(gè)個(gè)都厲害”. 我們呢？不厲害嗎？不努力嗎？不拚嗎？結(jié)果讓我們只有沉默，望著眾多的幾十分，甚至更可憐的分?jǐn)?shù)發(fā)呆.

既然數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)學(xué)科、既然希望全民重視數(shù)學(xué)，高考結(jié)束，要讓考生可以感覺到“數(shù)學(xué)好，才是真的好”“成也數(shù)學(xué)，敗也數(shù)學(xué)”，它對試題的要求不是難，而是有很好的區(qū)分度，它向一把量尺，把學(xué)生進(jìn)行三六等進(jìn)行科學(xué)地分類，而這個(gè)分類足以影響整個(gè)高考成績.

重創(chuàng)新、重應(yīng)用、重核心素養(yǎng)的考查本是好事，值得點(diǎn)贊. 但一定要清楚，這些考查不是僅有難題才能體現(xiàn)，高考，不是掐尖、也不是競賽. 當(dāng)大家的分?jǐn)?shù)都聚集在某些分?jǐn)?shù)段之間時(shí)，選拔失去了準(zhǔn)確性. 對以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都是不利的，它損害了自信心，讓一些基礎(chǔ)一般的考生喪失了攻克數(shù)學(xué)的勇氣與決心.

二、好題妙解欣賞

1. 第7題：設(shè)a=0.1e0.1，b=，c=-ln0.9，則（ ）

A. a

解與評 設(shè)f（x）=ln（1+x）-x（x>-1），因?yàn)閒′（x）=-1=? -，當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）>0，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)f′（x）<0，所以函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x在（0，+∞）單調(diào)遞減，在（-1，0）上單調(diào)遞增，所以f（-）a.

或者：令f（x）=ln（xex）-ln（0

由于f′（x）=1-=-<0，所以f（x）在（0，0.1）上遞減.又f（0）=0，于是f（0.1）<0，即ln（0.1e0.1）-ln<0?0.1e0.1a.

又或者：借助ex>x+1，由==e0.1>（1-0.1）=1?b>a.

設(shè)g（x）=xex+ln（1-x）（00，函數(shù)h（x）=ex（x2-1）+1單調(diào)遞增.

又h（0）=0，所以當(dāng)00，函數(shù)g（x）=xex+ln（1-x）單調(diào)遞增，所以g（0.1）>g（0）=0，即0.1e0.1>-ln0.9，所以a>c.

故選：C.

2. 第8題：已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上. 若該球的體積為36π，且3≤l≤3，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）

A. 18

， B.

， C.

， D. [18，27]

解與評 C. ∵ 球的體積為36π，所以球的半徑R=3，設(shè)正四棱錐的底面邊長為2a，高為h，則l2=2a2+h2，又由32=2a2+（3-h）2，得6h=l2，2a2=l2-h2.

體積V=Sh=×4a2×h=×（l2-）×=（l4-），由V′=（4l3-）=l3（），

當(dāng)3≤l≤2時(shí)，V′>0，當(dāng)2

，.

或者：設(shè)四棱錐的高與側(cè)棱夾角為θ，高為h，底面中心到各頂點(diǎn)的距離為m，則cosθ==.

由3≤l≤3，得cosθ∈[，]，則l=6cosθ，m=lsinθ=6cosθsinθ，h==6cos2θ，

于是V=×2m2h=144（sinθcos2θ）2.

令x=sinθ，則x∈[，]，y=x（1-x2），x∈[，]得≤y2≤?≤V≤.

難嗎？不算難. 好做嗎？實(shí)在不好做，有思路與有正確結(jié)論是兩碼事. 你能想到，你可能根本就做不到. 運(yùn)算能力與運(yùn)算的自信心在這里受到了嚴(yán)重的挑戰(zhàn).

3. 第10題：已知函數(shù)f（x）=x3-x+1，則（ ）

A. f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)

B. f（x）有三個(gè)零點(diǎn)

C. 點(diǎn)（0，1）是曲線y=f（x）的對稱中心

D. 直線y=2x是曲線y=f（x）的切線

解與評 AC. 由題，f′（x）=3x2-1，令f′（x）>0得x>或x<-，令f′（x）<0得-

所以f（x）在（-，）上單調(diào)遞減，在（-∞，-），（，+∞）上單調(diào)遞增，故x=±是極值點(diǎn)，故A正確.

因f（-）=1+>0，f（）=1->0，f（-2）=-5<0，所以，函數(shù)f（x）在（-∞，-）上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x≥時(shí)，f（x）≥f（）>0，即函數(shù)f（x）在（，+∞）上無零點(diǎn)，此時(shí)，函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤.

令h（x）=x3-x，該函數(shù)的定義域?yàn)镽，h（-x）=（-x）3-（-x）=-x3+x=-h（x），則h（x）是奇函數(shù)，（0，0）是h（x）的對稱中心，將h（x）的圖像向上移動(dòng)一個(gè)單位得到f（x）的圖像，所以點(diǎn)（0，1）是曲線y=f（x）的對稱中心，故C正確.

令f′（x）=3x2-1=2，可得x=±1，又f（1）=f（-1）=1，當(dāng)切點(diǎn)為（1，1）時(shí)，切線方程為y=2x-1，當(dāng)切點(diǎn)為（-1，1）時(shí)，切線方程為y=2x+3，故D錯(cuò)誤.

本題將函數(shù)f（x）=x3-x+1的所有性質(zhì)幾乎都考了一遍，有一個(gè)地方不清楚，也不可能產(chǎn)生正確結(jié)論.

4. 第11題：已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1，1）在拋物線C∶x2=2py（p>0）上，過點(diǎn)B（0，-1）的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（ ）

A. C的準(zhǔn)線為y=-1? ? B. 直線AB與C相切

C. OP·OQ>OA2? ? ?D. BP·BQ>BA2

解與評 BCD. 將點(diǎn)A的代入拋物線方程得1=2p，所以拋物線方程為x2=y，故準(zhǔn)線方程為y=-，A錯(cuò)誤.

由kAB==2，所以直線AB的方程為y=2x-1，聯(lián)立y=2x-1，

x2=y，可得x2-2x+1=0，解得x=1，故B正確.

設(shè)過B的直線為l，若直線l與y軸重合，則直線l與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx-1，P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立y=kx-1，

x2=y，得x2-kx+1=0，所以Δ=k2-4>0，

x1+x2=k，

x1x2=1，所以k>2或k<-2，y1y2=（x1x2）2=1. 又OP==，OQ==，所以O(shè)P·OQ===k>2=OA2，故C正確.

因?yàn)锽P=x1，BQ=x2，所以BP·BQ=（1+k2）x1x2=1+k2>5，而BA2=5，故D正確.

5. 第12： 已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的定義域均為R，記g（x）=f ′（x），若f（-2x），g（2+x）均為偶函數(shù)，則（ ）

A. f（0）=0? B. g（-）=0? C. f（-1）=f（4）? D. g（-1）=g（2）

解與評 BC. 因?yàn)閒（-2x），g（2+x）均為偶函數(shù)，所以f（-2x）=f（+2x）即f（-x）=f（+x），g（2+x）=g（2-x），所以f（3-x）=f（x），g（4-x）=g（x），則f（-1）=f（4），故C正確.

函數(shù)f（x），g（x）的圖像分別關(guān)于直線x=，x=2對稱，又g（x）=f ′（x），且函數(shù)f（x）可導(dǎo).

所以g（）=0，g（3-x）=-g（x），所以g（4-x）=g（x）=-g（3-x），所以g（x+2）=-g（x+1）=g（x），

所以g（-）=g（）=0，g（-1）=g（1）=-g（2），故B正確，D錯(cuò)誤.

若函數(shù)f（x）滿足題設(shè)條件，則函數(shù)f（x）+C（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定f（x）的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.

本題將f（x）與f ′（x）聯(lián)合設(shè)計(jì)抽象函數(shù)問題，可謂思維獨(dú)到，特別由f （3-x）=f（x）?-f ′（3-x）=f ′（x）?-g（3-x）=g（x）更是難以想象. 很高深吧？不是. 但絕對是“出其不意”，這就是設(shè)計(jì)的“精妙”與“高超”之處.

6. 第15：若曲線y=（x+a）ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是______________.

解與評 （-∞，-4）∪（0，+∞）. ∵ y=（x+a）ex，∴ y′=（x+1+a）ex，設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），則y0=（x0+a）[ex][0]，切線斜率k=（x0+1+a）[ex][0]，切線方程為：y-（x0+a）[ex][0]=（x0+1+a）[ex][0]（x-x0），∵切線過原點(diǎn)，∴ -（x0+a）[ex][0]=（x0+1+a）[ex][0]（-x0），整理得：[x2][0]+ax0-a=0，∵切線有兩條，∴ Δ=a2+4a>0，解得a<-4或a>0，∴ a的取值范圍是（-∞，-4）∪（0，+∞）.

本題有點(diǎn)特別，想一想去年的第7題“若過點(diǎn)（a，b）可以作曲線y=ex的兩條切線，則（ ）A. eb

7. 第16：已知橢圓C∶+=1（a>b>0），C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為. 過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，DE=6，則△ADE的周長是______________.

解與評 ∵橢圓的離心率為e==，∴ a=2c，∴b2=a2-c2=3c2，∴橢圓的方程為+=1，即3x2+4y2-12c2=0. 不妨設(shè)左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，如下圖，∵ AF2=a，OF2=c，a=2c，∴∠AF2O=，∴△AF1F2為正三角形. ∵過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，DE為線段AF2的垂直平分線，∴ 直線DE的斜率為，斜率倒數(shù)為， 直線DE的方程：x=y-c，代入橢圓方程3x2+4y2-12c2=0，整理化簡得到：13y2-6cy-9c2=0，判別式Δ=（6c）2+4×13×9c2=62×16×c2，

∴CD=y1-y2=2×=2×6×4×=6，∴ c=，得a=2c=.

∵ DE為線段AF2的垂直平分線，根據(jù)對稱性，AD=DF2，AE=EF2，∴ △ADE的周長等于△F2DE的周長，利用橢圓的定義得到△F2DE周長為：

DF2+EF2+DE=DF2+EF2+DF1+EF1=DF1+DF2+EF1+EF2=2a+2a=4a=13.

本題利用離心率得到橢圓的方程為+=1，即3x2+4y2-12c2=0，根據(jù)離心率得到直線AF2的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線DE的斜率，寫出直線DE的方程：x=y-c，代入橢圓方程3x2+4y2-12c2=0，整理化簡得到：13y2-6cy-9c2=0，利用弦長公式求得c=，得a=2c=，根據(jù)對稱性將ΔADE的周長轉(zhuǎn)化為△F2DE的周長，利用橢圓的定義得到周長為4a=13. 思路很常規(guī)，難度也不算大，但一步一步地走下來真的很費(fèi)時(shí)間.

8. 第22題：已知函數(shù)f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同最小值.

（1）求a.

（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

解與評 （1）由f（x）=ex-ax的定義域?yàn)镽，而f′（x）=ex-a，若a≤0，則f′（x）>0，此時(shí)f（x）無最小值于是a>0. 當(dāng)xlna時(shí)，f′（x）>0，故f（x）在（lna，+∞）上為增函數(shù)，故f（x）min=f（lna）=a-alna.

g（x）=ax-lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），而g′（x）=a-=. 當(dāng)0時(shí)，g′（x）>0，故g（x）在（，+∞）上為增函數(shù)，故g（x）min=g（）=1-ln.

因?yàn)閒（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同的最小值，即1-ln=a-alna，整理得到=lna，其中a>0.

設(shè)g（a）=-lna，a>0，則g′（a）=-=≤0，故g（a）為（0，+∞）上的減函數(shù)，而g（1）=0，于是g（a）=0的唯一解為a=1，故=lna的解為a=1. 綜上，a=1.

（2）由（1）可得f（x）=ex-x且f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù). g（x）=x-lnx且g（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，由于兩函數(shù)有相同的最小值1.

于是，存在x2∈（0，1），使f（x2）=g（x2）=b，此時(shí)直線y=b，與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，不妨設(shè)三交點(diǎn)分別為（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，g（x3））

由f（x1）=g（x2）=x2-lnx2=elnx2-lnx2=f（lnx2），由于x1<0，f（lnx2）<0又f（x）在（-∞，0）上單調(diào)，所以x1=lnx2.

又f（x2）=g（x3）=x3-lnx3=elnx3-lnx3=f（lnx3），由于x2>0，f（lnx3）>0又f（x）在（0，+∞）上單調(diào)，所以x2=lnx3?x3=ex2.

再由f（x2）=g（x2）?ex2-x2=x2-lnx2?2x2=ex2+lnx2=x3+x1即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

本題的第一問不算難，考生得分不高的原因是，不太常規(guī)，從本年度的模擬卷與仿真卷看，第一問一般都是討論單調(diào)性、切線及與極值有關(guān)的問題等，往往不太復(fù)雜，但這里不同，一下子要求兩個(gè)最小值，這還不算，建立在兩最小值相等的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的方程，解方程時(shí)發(fā)現(xiàn)是超越方程，只有構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性與觀察法相結(jié)合最終產(chǎn)生結(jié)論，至此，考生已筋疲力盡，再往下走，已是信心不足了. 對于第二問，它不是讓我們普通人來解的，它是留給“清、北”的人，它的求解有多種方法，唯上述方法數(shù)學(xué)味最濃、也最為簡捷.

三、對2023年備考的啟發(fā)

命題方向發(fā)生了變化，復(fù)習(xí)策略當(dāng)然也要跟著變化，再“穿新鞋走老路”變不合適了，怎么辦？

1. 基礎(chǔ)內(nèi)容求熟練，穩(wěn)中求新. 2023年的高考復(fù)習(xí)既要抓基礎(chǔ)知識(shí)的全面掌握，又要注重特殊基礎(chǔ)知識(shí)的靈活應(yīng)用與變形應(yīng)用. 注重細(xì)微之處設(shè)計(jì)新穎地、開放性的練習(xí)題.

2. 注重培養(yǎng)運(yùn)算的合理性、科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性.運(yùn)算能力是中學(xué)生必須具有的重要的數(shù)學(xué)能力，本次考試充分體現(xiàn)了對這一重要能力的要求是高層次的. 新的一年在備考復(fù)習(xí)中要從算理入手，通過分析運(yùn)算的式子或?qū)⒁M(jìn)行的運(yùn)算的特點(diǎn)來設(shè)計(jì)運(yùn)算思路. 不排除結(jié)合特殊內(nèi)容（比如：立體幾何、圓錐曲線）設(shè)計(jì)有關(guān)運(yùn)算能力的特殊訓(xùn)練.

3. 加強(qiáng)知識(shí)的交匯點(diǎn)的復(fù)習(xí)，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題是本次試題的一大特點(diǎn). 不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要工具，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著舉足輕重的位置，但本次有獨(dú)立的不等式題目嗎？沒有. 沒考不等式嗎？也沒有. 它將不等式有效的溶解在立幾中、在三角中、在函數(shù)中、在導(dǎo)數(shù)中、在創(chuàng)新型試題中. 函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一條主線，它貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的始終、它可以滲透于中學(xué)數(shù)學(xué)的任意章節(jié)，本次考試除了明確的幾道試題外，函數(shù)在其他試題中也有較好的滲透.? 因此，2023年的高考復(fù)習(xí)在抓住重點(diǎn)知識(shí)與主干知識(shí)的同時(shí)，一定要關(guān)注它們與其它內(nèi)容的交匯性. 根據(jù)知識(shí)的特點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)綜合性強(qiáng)、代表性強(qiáng)的交匯性練習(xí). 讓學(xué)生解一題、懂一塊、熟一類，在活與變上下功夫.

4. 重視對數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用. 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)方法與技能實(shí)質(zhì)的體現(xiàn)，對解題思路的產(chǎn)生具有指導(dǎo)意義. 因此，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)中心就是向考生滲透各種數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)化完整的數(shù)學(xué)教學(xué)過程，即思想指導(dǎo)過程、方法運(yùn)用過程與知識(shí)形成過程，使三者和諧統(tǒng)一. 另外，函數(shù)思想、方程思想、換元思想也是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要思想在本卷中體現(xiàn)得明顯，在2023年的復(fù)習(xí)中一定要加以重視.

5. 注重對遺漏知識(shí)點(diǎn)的關(guān)注，教材中的每一個(gè)教學(xué)內(nèi)容都是高考的命題內(nèi)容，今年未考不代表不重要，相反它在下一年被命題的可能性會(huì)大增. 結(jié)合前面的知識(shí)考查細(xì)目表，對照一下未考的或考得較少的內(nèi)容，注意找準(zhǔn)關(guān)鍵，加強(qiáng)復(fù)習(xí).

6. 在綜合復(fù)習(xí)階段，注重知識(shí)與應(yīng)用的創(chuàng)新性、開放性、研究性，它可能是近期一段時(shí)間高考命題的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，從本次試題看，以后高考數(shù)學(xué)在分?jǐn)?shù)上要想有所突破，僅靠你記住了多少定義、定理及性質(zhì)，你記住了多少二級結(jié)論，你又擁有了多少常規(guī)“武器”，肯定是不行. 信息時(shí)代下，我們的高考復(fù)習(xí)也要與時(shí)俱進(jìn)，多在創(chuàng)新上動(dòng)動(dòng)“歪腦筋”.

總結(jié)過去，是為了更好地把握未來、開創(chuàng)未來，立足2022高考試題，希望我們能認(rèn)清方向、找準(zhǔn)方法，在新的一年有一個(gè)較好的收成.

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)