依托數(shù)學(xué)思想方法 統(tǒng)領(lǐng)課堂深度教學(xué)

夏玉英

[摘? 要] 以結(jié)構(gòu)化教學(xué)為準(zhǔn)繩，依托數(shù)學(xué)思想方法，借助不同的分析策略從不同的角度進行探索，尋找到解決分?jǐn)?shù)實際問題的有效途徑，提高學(xué)生的解題能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 分類;轉(zhuǎn)化;類推;數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué)思想方法;結(jié)構(gòu)化教學(xué)

（百）分?jǐn)?shù)實際問題的教學(xué)，一直以來是小學(xué)高年級教學(xué)中困擾教師的一大問題，也是學(xué)生在小學(xué)階段最難掌握的知識點，同時又是初中學(xué)習(xí)典型應(yīng)用題（工程問題、行程問題、百分?jǐn)?shù)系列問題等）的一個重要基礎(chǔ)?？梢哉f，分?jǐn)?shù)實際問題的學(xué)習(xí)，是集整個小學(xué)階段解決問題策略的綜合，是培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)量關(guān)系分析問題、解決問題的主陣地。但是在教學(xué)實踐中，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在解題時常常無從下手，憑感覺解題，有的甚至完全靠套例題解答，問題到底出在哪里？經(jīng)過對這些學(xué)生課后作業(yè)的反饋以及與他們的交流的分析，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致解題障礙的主要原因有：（1）對分?jǐn)?shù)意義的理解仍停留在直觀理解階段，無法辨析一般分?jǐn)?shù)實際問題和典型的分?jǐn)?shù)實際問題的區(qū)別與聯(lián)系;（2）無法溝通典型分?jǐn)?shù)實際問題和舊有知識“倍數(shù)問題”之間的聯(lián)系;（3）對于具體情境中的關(guān)鍵句，不理解分率所表述的意義，無法判斷單位“1”的量;（4）數(shù)量關(guān)系混亂，找不準(zhǔn)量率（量額）的對應(yīng)關(guān)系。

針對以上（百）分?jǐn)?shù)實際問題的教學(xué)現(xiàn)狀的分析，結(jié)合本人長期從事高年級的實踐教學(xué)，筆者試圖以結(jié)構(gòu)化教學(xué)為準(zhǔn)繩，以數(shù)學(xué)思想方法為導(dǎo)引，對教學(xué)策略進行探索，尋找到分?jǐn)?shù)實際問題教學(xué)的有效途徑，著實提高學(xué)生的解題能力，促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升。

[?]一、分類歸檔，解決“我是誰”的問題

作為教師，不管教學(xué)哪個知識點，都要站在一個制高點上分析教材的知識系統(tǒng)，以知識的結(jié)構(gòu)化進行教學(xué)，知識只有系統(tǒng)化、條理化后，才有助于學(xué)生形成良好的思維結(jié)構(gòu)，從而更好地掌握知識。分?jǐn)?shù)實際問題具有它獨有的解題規(guī)律和系統(tǒng)，并不是毫無章法的，所以我們不能以點就點零散教學(xué)。在學(xué)生學(xué)習(xí)到一定的階段后，我們可運用分類思想，幫助他們將一些看似無規(guī)律的知識信息進行系統(tǒng)整理、歸納，并按內(nèi)在聯(lián)系分門別類，努力引導(dǎo)學(xué)生建立一個相對完整的、合理的知識結(jié)構(gòu)，幫助他們形成一個融會貫通的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而提高學(xué)生的系統(tǒng)思維能力。

學(xué)生學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)意義后，在五年級下冊引入相應(yīng)的分?jǐn)?shù)加減法計算的實際問題，在六年級上冊引入簡單的分?jǐn)?shù)乘法的實際問題。這時就可以通過以下練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生對這些分?jǐn)?shù)問題進行分類歸檔：

【對比習(xí)題一】

（1）小明平均每分鐘步行千米，10分鐘可步行多少千米？1小時呢？

（2）學(xué)校食堂計劃十月份用煤噸，實際比計劃節(jié)約了，實際節(jié)約多少噸？

（3）學(xué)校食堂計劃十月份用煤噸，實際比計劃節(jié)約了噸，實際用煤多少噸？

（4）夏老師的身高是米，李正揚比夏老師矮米，李正揚的身高是多少？

（5）拖拉機耕一塊地，每小時耕這塊地的，一共工作8小時，耕了這塊地的幾分之幾？

（6）食堂有5噸煤，用去了，還剩幾分之幾沒有用完？

分?jǐn)?shù)既可以表示一個數(shù)（即具體數(shù)量），又可以表示兩個量的倍比關(guān)系 （即分率）。它的意義擴展，造成分?jǐn)?shù)比小數(shù)和整數(shù)難理解，不過，學(xué)生在充分理解分?jǐn)?shù)意義的基礎(chǔ)上，都能分辨以上實際問題中的數(shù)量分?jǐn)?shù)和倍比分?jǐn)?shù)，并能以此分類：

第一類：（1）（3）（4）題，其中的分?jǐn)?shù)作為一個數(shù)（即具體數(shù)量）存在，與整數(shù)和小數(shù)是一樣的，只是數(shù)的形式發(fā)生了變化，解答這類實際問題的思考方法與整數(shù)和小數(shù)一樣，都是借助最基本的四大類數(shù)量關(guān)系來解決。

第二類：（2）（5）（6）題，是有關(guān)倍比分?jǐn)?shù)的實際問題。這幾題又可以細分為兩種情況：

一種情況：（5）（6）兩題同屬工程問題，解題列式的背后還是以四大數(shù)量關(guān)系為支撐，不過要注意區(qū)分給出的條件是數(shù)量分?jǐn)?shù)還是倍比分?jǐn)?shù)，煤的總數(shù)所對應(yīng)的分率就是“1”，明確倍比分?jǐn)?shù)（分率）與數(shù)量分?jǐn)?shù)是不能直接相加減的。以上都是五年級下冊的知識點。

另一種情況：（2）題，它是本文所闡述的重點。這類的實際問題有三種基本題：①求一個數(shù)的幾分之幾是多少（求分率對應(yīng)的具體量）;②已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)（求單位“1”的具體量）;③求一個數(shù)是另一個數(shù)的（百）幾分之幾（求分率）。這三種基本題是相互聯(lián)系也可以相互變換的，求解時必須明確倍比分?jǐn)?shù)是一種關(guān)系，是占單位“1”的幾分之幾，是隨著單位“1”的變化而變化的，必須借助“單位1”才能算出其對應(yīng)的具體量。

教師通過以上分類歸檔的教學(xué)，讓學(xué)生對所學(xué)的知識點有了初步的系統(tǒng)認(rèn)識，初步掌握（百）分?jǐn)?shù)實際問題的整體框架結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)：對不同的分?jǐn)?shù)實際問題，先分析、判斷屬于哪類知識點，即歸檔，再思考需要用哪個對應(yīng)的解題方法。訓(xùn)練學(xué)生的系統(tǒng)思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，使從一開始的“生搬硬套”向“靈活運用”的轉(zhuǎn)化變?yōu)榭赡?，為接下來更深入學(xué)習(xí)典型的分?jǐn)?shù)乘除法做好鋪墊，逐步提高學(xué)生全面分析、解決分?jǐn)?shù)實際問題的能力。

[?]二、類比對接，解決“從哪里來”的問題

學(xué)生對教材知識整體的框架結(jié)構(gòu)、方法結(jié)構(gòu)有了一定的了解，解決了“我是誰”的問題后，接下來就需要解決“從哪里來”的問題，即深入了解知識形成的過程結(jié)構(gòu)的問題。

數(shù)學(xué)說到底是研究“關(guān)系”的學(xué)科，從小學(xué)教材的編排來看，分?jǐn)?shù)實際問題的本質(zhì)就是倍數(shù)問題的延伸和拓展，它的核心問題就是研究單位“1”、對應(yīng)量、對應(yīng)分率，對應(yīng)著倍數(shù)問題中的1倍數(shù)、幾倍數(shù)、倍數(shù)，所以只要理清它們之間的關(guān)系，解答典型的分?jǐn)?shù)實際問題，無論是解題的步驟還是分析的方法，都是有規(guī)律可循的。

學(xué)生明白了以上知識展開邏輯順序后，就可以從起始課開始，不斷地提煉、比較、呼應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生主動遷移和應(yīng)用過程結(jié)構(gòu)，溝通新舊知識之間的聯(lián)系。在后續(xù)的同類課型練習(xí)中，可將其轉(zhuǎn)化成新的學(xué)習(xí)工具和新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而再復(fù)雜的分?jǐn)?shù)問題都能迎刃而解。

由此筆者設(shè)計以下對比練習(xí)，借助線段圖，讓學(xué)生感受量率之間的對應(yīng)關(guān)系與倍數(shù)和幾倍數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系是一致的，打通這兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系。

【對比習(xí)題二】

（1）張伯伯家養(yǎng)雞18只，養(yǎng)的鴨是雞的3倍，張伯伯家養(yǎng)鴨多少只？

（2）張伯伯家養(yǎng)雞18只，養(yǎng)的鴨是雞的，張伯伯家養(yǎng)鴨多少只？

（1）題根據(jù)關(guān)鍵句“養(yǎng)的鴨是雞的3倍”，畫線段圖，可知1倍數(shù)是雞的只數(shù)，3倍這個份額對應(yīng)的量是鴨的只數(shù)，數(shù)量關(guān)系：雞的只數(shù)×3=鴨的只數(shù)。同一條線段，既可以用3份來表示，也可以用鴨的具體數(shù)量54只來表示，這就叫對應(yīng)，是具體數(shù)量和份額的對應(yīng)（圖1），即“量”與“額”的對應(yīng)。

同理，（2）題根據(jù)關(guān)鍵句“養(yǎng)的鴨是雞的”，可知單位“1”的量也是雞的只數(shù)，這個分率對應(yīng)的量是鴨的只數(shù)。數(shù)量關(guān)系：雞的只數(shù)×=鴨的只數(shù)。同一條線段，既可以用來表示，也可以用鴨的具體數(shù)量12只來表示，這也叫對應(yīng)（圖2）。逐步滲透每一個具體數(shù)量與其分率，即“量”與“率”的對應(yīng)。

通過再次對比兩幅線段圖的對應(yīng)關(guān)系發(fā)現(xiàn)：1倍數(shù)×倍數(shù)=幾倍數(shù)，單位1×分率=分率對應(yīng)的具體量，此處的單位“1”相當(dāng)于1倍數(shù)，幾倍數(shù)相當(dāng)于比較量，分率相當(dāng)于不滿1的倍數(shù)。求一個數(shù)的幾分之幾是多少（分?jǐn)?shù)乘法實際問題），其實就是由“求一個數(shù)的幾倍是多少”演化而來的，所以，求一個數(shù)的幾分之幾是多少，也要用乘法來計算，其數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是不變的。

通過以上上下位知識的對比練習(xí)，讓學(xué)生對典型的分?jǐn)?shù)實際問題和倍數(shù)問題數(shù)量之間的相似性質(zhì)、陌生的問題與已有的舊知進行比較，找到知識的共性，把新學(xué)的、抽象的分?jǐn)?shù)問題與已有的舊知“倍數(shù)問題”聯(lián)系起來，使得原先“模模糊糊，似懂非懂”的認(rèn)識轉(zhuǎn)變?yōu)楦逦?、更?zhǔn)確的認(rèn)識，實現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)的遷移同化，滲透類比數(shù)學(xué)思想，由此得出此類分?jǐn)?shù)實際問題的基本等量關(guān)系：單位“1”的具體量（標(biāo)準(zhǔn)量）×分率=分率對應(yīng)的具體量（比較量）。后面所涉及的復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘除法實際問題（求單位“1”的具體量、求百分?jǐn)?shù)……）都是圍繞這個核心數(shù)量關(guān)系展開的。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)完善、充實認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生的類比思維能力，為學(xué)生解決典型的復(fù)雜分?jǐn)?shù)實際問題打下扎實的基礎(chǔ)。

[?]三、轉(zhuǎn)化突破，解決“如何做”的問題

解決了分?jǐn)?shù)實際問題中“從哪里來”的問題，明白了分?jǐn)?shù)實際問題的基本數(shù)量關(guān)系后，再圍繞這個數(shù)量關(guān)系，去抓“怎么做”的問題。就小學(xué)階段的分?jǐn)?shù)乘除法實際問題而言，單位“1”的正確理解和確定，是解答分?jǐn)?shù)實際問題的前提和關(guān)鍵，只有真正地將單位“1”找準(zhǔn)了，學(xué)生對整個問題才會有一個極其清晰的認(rèn)知，進而在解題正確率上也會有所保障。

1. 轉(zhuǎn)化關(guān)鍵句，找準(zhǔn)單位“1”，正確理解意義

中低年級學(xué)習(xí)倍數(shù)問題的時候，只有“誰是誰的幾倍”或“誰的幾倍是幾”這樣單一的敘述形式，因而通過上述第二個環(huán)節(jié)，和倍數(shù)問題進行上下位的對接后，學(xué)生能解決簡單的典型的分?jǐn)?shù)實際問題。對“誰是誰的幾分之幾”這樣的標(biāo)準(zhǔn)敘述形式，學(xué)生能正確找出單位“1”的量，得出單位“1”、對應(yīng)量、對應(yīng)分率這三者之間的基本數(shù)量關(guān)系。只是隨著問題的復(fù)雜化，其條件的敘述形式也會呈現(xiàn)出變化多樣的表達形式，如“第二天比第一天多看了”“從甲地開往乙地，已行了”“一個書包原價154元，現(xiàn)在降價20%”，等等。這是學(xué)生理解的難點，難在這些都不是標(biāo)準(zhǔn)的敘述形式上。因此教學(xué)的重點可放在關(guān)鍵句的轉(zhuǎn)化上，轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)構(gòu)形式，明確題中的分率是求誰的幾分之幾，那么誰就是單位“1”的量，加深學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的理解，盡可能通過“日常語言”這個謎面快速地找到“數(shù)學(xué)語言”這個謎底，通過對關(guān)鍵句的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練，建立并強化量與率的對應(yīng)關(guān)系。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，自然而然地發(fā)現(xiàn)規(guī)律：兩個量的比較無非就是部分量與總量、兩種同類數(shù)量、原數(shù)量與現(xiàn)數(shù)量之間的比較。如“水結(jié)成冰后體積增加了，冰融化成水后，體積減少了”，學(xué)生在學(xué)習(xí)實踐中很容易搞清楚變化前是誰，誰就是單位“1”：前半句，變化前是水，變化后是冰，所以單位“1”是水的體積。冰比水多的體積是比較量，轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的敘述形式為“冰比水多的體積占了水的”。所以，在教學(xué)的起始階段，通過以上對關(guān)鍵句的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練，學(xué)生熟練判斷找出各種條件中的單位“1”（標(biāo)準(zhǔn)式、比較式、省略式等），對后續(xù)尋找量率對應(yīng)關(guān)系提供了保障，為列出數(shù)量關(guān)系式打下了扎實的基礎(chǔ)。

2. 數(shù)形結(jié)合，找準(zhǔn)量率對應(yīng)，靈活解決問題

如果說找準(zhǔn)單位“1”的量是解決（百）分?jǐn)?shù)實際問題的前提，那么找到題中的量率對應(yīng)關(guān)系是準(zhǔn)確解題的切入點。如何引導(dǎo)學(xué)生找準(zhǔn)量率對應(yīng)關(guān)系，幫助學(xué)生熟練掌握尋找量率對應(yīng)關(guān)系的技巧和方法呢？

前期學(xué)生積累了大量的現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系，獲得了比較豐富的分析數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗，以及對列舉、轉(zhuǎn)化、假設(shè)等這些常用的策略有了初步的感悟。因此，對于需要轉(zhuǎn)一個彎或幾個彎的典型的稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，我們可以引導(dǎo)學(xué)生借助線段圖或列提綱或列表等數(shù)形結(jié)合思想，通過不同的角度對其條件進行轉(zhuǎn)化，先找到量率對應(yīng)關(guān)系或量額對應(yīng)關(guān)系，將極其復(fù)雜的分?jǐn)?shù)實際問題的數(shù)量關(guān)系簡單化，再靈活選擇解題策略，為后期提高確定解題思路的意識和能力，形成相應(yīng)的策略意識打下扎實的基礎(chǔ)。

筆者以蘇教版六（上）教材P78例2“嶺南小學(xué)六年級45個同學(xué)參加學(xué)校運動會，其中男運動員占，求女運動員有多少人”為例，引導(dǎo)學(xué)生畫出線段圖。學(xué)生借助線段圖，分析條件“男運動員占”，將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)構(gòu)形式“男運動員占總?cè)藬?shù)的”，得出單位“1”的量是總?cè)藬?shù)后，再從兩個方向出發(fā)：

（1）從條件出發(fā)，列出數(shù)量關(guān)系“總?cè)藬?shù)×=男運動員人數(shù)”，先求出男運動員人數(shù)，再用總?cè)藬?shù)減去男運動員人數(shù)解決問題（圖3）。

（2）從問題出發(fā)，借助列提綱的辦法推理得出女運動員人數(shù)的對應(yīng)分率就是1-=，將其轉(zhuǎn)化成“求45人的是多少人”最基本的分?jǐn)?shù)實際問題（圖4）。

（3）結(jié)合教材P59的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，將其轉(zhuǎn)化成按比例分配的實際問題，先算出一份的數(shù)，再算出這樣4份的數(shù)（女運動員人數(shù)）：45÷9×（9-5）（圖5）。

教師有意識地引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合思想，借助以上這些重要的輔助工具，直觀感受量率（額）對應(yīng)關(guān)系，建構(gòu)出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型“找關(guān)鍵句—轉(zhuǎn)化標(biāo)準(zhǔn)的敘述形式—找單位‘1—找對應(yīng)—寫關(guān)系—定方法—列式計算”，進而通過模型將復(fù)雜的題型簡單化、具體化，快速找到解題的突破口，強化學(xué)生的解題思路，為將來學(xué)習(xí)更復(fù)雜的實際問題夯實基礎(chǔ)。

對于如蘇教版六（上）第四單元“解決問題的策略”的例題1（圖6）、蘇教版六（上）第六單元“百分?jǐn)?shù)”的例題6（圖7）、蘇教版六（下）第三單元“解決問題的策略”的例題1（圖8）等這類復(fù)雜的所有有關(guān)分率的典型問題，除了用常規(guī)的思路解答外，學(xué)生完全能借助以上策略，轉(zhuǎn)化成“大杯容量的（×6+1）倍是720毫升，求大杯容量”（求單位“1”的具體量）“實際造林比原計劃多的面積是原計劃的百分之幾”（求對應(yīng)百分率）“女生21人所對應(yīng)的份額是3份，要求男生2份的數(shù)是多少”這些最基本的分?jǐn)?shù)實際問題或按比例分配的實際問題。

如此，學(xué)生在解決問題的過程中，能體會到策略的多樣性，感受選擇并靈活運用策略解決問題的過程，增強解決問題的策略意識。通過整理和提煉解決問題過程中獲得的經(jīng)驗，學(xué)生對整個六年級所有有關(guān)（百）分?jǐn)?shù)的實際問題的解決實現(xiàn)了融會貫通，形成了一脈相承的解題思路，提高了解決問題的策略水平以及思維品質(zhì)。

周玉仁老師說過，教學(xué)要注重“實”“活”“新”。筆者覺得在此基礎(chǔ)上應(yīng)再強調(diào)一個“深”字，即通過教師層面的結(jié)構(gòu)化教學(xué)進行“深度教學(xué)”，教給學(xué)生一種思維的方式。教師在教學(xué)典型（百）分?jǐn)?shù)實際問題時，要注重結(jié)構(gòu)化梳理，明晰知識體系，與轉(zhuǎn)化、類推、分類、對應(yīng)等數(shù)學(xué)思想結(jié)合，分清分?jǐn)?shù)實際問題類別，剖析新舊知識聯(lián)系，找準(zhǔn)切入點，理清思路，化解重難點，圍繞一個中心——“單位‘1的具體量×分率=分率對應(yīng)的具體量”的數(shù)量關(guān)系，兩個基本點——“量率對應(yīng)”“量額對應(yīng)”，三個方法——“列表”“列提綱”“畫線段圖”展開教學(xué)。在這一教學(xué)過程中，學(xué)生知識逐步內(nèi)化，有了分析方法的方向，能從多角度思維找到不同的解答方法，有效提高思維含量。長期訓(xùn)練，學(xué)生便具備了自主選擇、運用方法獨立解題的能力。有了數(shù)學(xué)能力，學(xué)生自然也就提升了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，唯有如此“雙減”才能真正落到實處，教師的教也就達到了“不教”的目的。