借一題多解，助數(shù)學(xué)思維發(fā)展

蔣浩文

[摘 ?要] 平面幾何題作為中考數(shù)學(xué)的壓軸題之一，具有嚴(yán)密的邏輯性、知識(shí)的融合性、較強(qiáng)的綜合性、解題思路的多樣性等特點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力要求較高. 平面幾何題的解法往往因輔助線的不同而有多種不同的解法. 文章以一道初中平面幾何題為例，探究了此題八種不同的解法，以期為助推數(shù)學(xué)思維的發(fā)展帶來(lái)啟發(fā).

[關(guān)鍵詞] 一題多解;平面幾何;數(shù)學(xué)思維

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出，數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界[1]. 數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)教與學(xué)關(guān)注的重點(diǎn). 平面幾何題作為歷年中考數(shù)學(xué)壓軸題之一，綜合度高、邏輯性強(qiáng)、解題思路多樣，往往有多種解法，在助推學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展方面具有重要的作用. 下面以一道平面幾何題為例，挖掘一題多解的價(jià)值，以期助力學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展.

初中幾何一題多解的價(jià)值

一題多解，是指對(duì)同一道題從不同方向、不同層次去思考，進(jìn)而得出兩種或兩種以上的解法. 初中平面幾何題的一題多解，主要是從不同的已知條件出發(fā)，融合不同的知識(shí)點(diǎn)，從而作出不同的輔助線，最終實(shí)現(xiàn)一題多解. 輔助線具有聯(lián)系已知和未知、將分散的條件集中、揭示隱含條件等作用[2]，作不同的輔助線是實(shí)現(xiàn)平面幾何題一題多解的重要前提. 初中幾何一題多解有多方面的作用和價(jià)值.

1. 一題多解能拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

如培根所言，數(shù)學(xué)是思維的體操，感悟數(shù)學(xué)思想方法、提升思維品質(zhì)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主旨. 能一題多解的試題往往具有綜合性、靈活性、啟發(fā)性等特點(diǎn)，其既包含基本知識(shí)，又有一定的知識(shí)廣度和難度，所以對(duì)學(xué)生思維的連貫性與靈活性有較高的要求[3]. 解決同一道題時(shí)得到多種不同的解法，不僅能提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，開闊學(xué)生的知識(shí)眼界，還能發(fā)展學(xué)生的邏輯思維、模型思維、發(fā)散性思維以及創(chuàng)新思維等.

2. 多維探究能提高學(xué)生的解題能力

中學(xué)數(shù)學(xué)的目的，歸根結(jié)底是培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，即基本運(yùn)算能力、邏輯推理能力以及良好的解題習(xí)慣等[4]. 在基本能力培養(yǎng)的要求之上開展一題多解，能鼓勵(lì)學(xué)生從不同的維度對(duì)試題進(jìn)行解析，探究多種不同的解決方法，有助于拓寬學(xué)生的解題思路，且分析與復(fù)盤解決試題的整個(gè)過(guò)程，還能增強(qiáng)學(xué)生的解題能力.

3. 知識(shí)遷移能提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率

一題多解是梳理知識(shí)與思想方法的有效方式之一，它不僅可以活化所學(xué)的知識(shí)，還能實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移與融會(huì)貫通，從而使解題思路得到發(fā)展. 學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，不應(yīng)該單純地記憶數(shù)學(xué)公式、概念和定理，還應(yīng)形成固定的解題方法，從而節(jié)約解題時(shí)間[5]. 由此可見(jiàn)，一題多解不僅能強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)、明晰解題思路，還能提升學(xué)習(xí)效率.

4. 幾何探索能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

解題就是解決問(wèn)題，即求出數(shù)學(xué)試題的答案. 有效的解題學(xué)習(xí)不僅僅指解題方法或解題技巧單方面的理解與遷移. 幾何題有多個(gè)條件，不同思維水平、認(rèn)知水平的學(xué)生可根據(jù)已有的知識(shí)水平和經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用條件并從不同思路探索試題中幾何量之間的關(guān)系，尋找解決問(wèn)題的方法，從而實(shí)現(xiàn)不同思維水平、認(rèn)知水平的學(xué)生都能解決幾何問(wèn)題. 在解決幾何問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生從不同的角度探索，可使其自我效能感得到不同程度的滿足，從而激發(fā)不同層次的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并增強(qiáng)他們解決幾何問(wèn)題的信心.

實(shí)例分析

1. 試題呈現(xiàn)

如圖1所示，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，連接AD，BD，CD，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，連接BF，且∠BAD=∠CBF，求證：∠DBF=45°.

分析這道題選自2022年重慶中考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)資料書《巔峰對(duì)決（精練本）》中幾何初步“第三節(jié) 全等三角形”第12題的第（2）問(wèn). 這是一道典型的以三角形為背景的平面幾何證明題，主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定、三角形中特殊線段的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，題目緊扣《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的要求，考查學(xué)生的抽象能力和推理能力.

2. 解法分析

下面8種解題方法是從“F是CD的中點(diǎn)”這一已知條件出發(fā)，按照無(wú)中點(diǎn)輔助線、倍長(zhǎng)中線和構(gòu)造中位線的順序排列的.

解法1利用直角頂點(diǎn)，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等，得到等腰直角三角形，再利用中位線證明中點(diǎn)，通過(guò)等腰三角形的“三線合一”證明角平分線.

輔助線：如圖2所示，將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△CBG，連接DG交BF于點(diǎn)E.

易得BD=BG，∠ABD=∠CBG，所以∠DBG=90°，△DBG是等腰直角三角形. 因?yàn)椤螧AD=∠CBF，∠BAD=∠BCG，所以∠CBF=∠BCG. 所以BF∥GC. 又因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，所以EF是△DGC的中位線. 所以點(diǎn)E是DG的中點(diǎn). 根據(jù)等腰三角形“三線合一”，可知BE是∠DBG的平分線，即∠DBF=45°，問(wèn)題得證.

解法2從特殊的直角入手，構(gòu)造“一線三垂直”，從而得到兩組全等三角形，再通過(guò)等腰直角三角形證明.

輔助線：如圖3所示，延長(zhǎng)AD交BF于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)C作BF的垂線交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.

易證∠APB=90°，△ABP≌△BCQ，所以BP=CQ，AP∥CQ. 還可以證得△DPF≌△CQF，所以CQ=DP. 所以DP=BP. 所以△DBP是等腰直角三角形. 所以∠DBF=45°，問(wèn)題得證.

解法3利用中點(diǎn)，倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形，通過(guò)角的轉(zhuǎn)化證明垂直，再通過(guò)全等三角形證明∠DBF所在的三角形是等腰直角三角形，從而得證.

輔助線：如圖4所示，延長(zhǎng)BF至點(diǎn)M，使FM=BF，連接DM，延長(zhǎng)AD交BF于點(diǎn)E.

易證△DFM≌△CFB，所以DM=BC=BA，∠M=∠CBF=∠BAD. 易證∠DEB=90°，進(jìn)而可證得△ABE≌△MDE，所以BE=DE. 所以△BDE是等腰直角三角形. 所以∠DBF=45°，問(wèn)題得證.

解法4利用中點(diǎn)倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形，再通過(guò)截長(zhǎng)的方法截取相等的線段構(gòu)造第二組全等三角形，通過(guò)等角轉(zhuǎn)換和證明等腰直角三角形得證.

輔助線：如圖5所示，延長(zhǎng)BF至點(diǎn)H，使FH=FB，連接CH，在BF上截取BM=AD，連接CM.

易證△BDF≌△HCF，△ADB≌△BMC，所以CH=BD=CM. 所以△MCH是等腰三角形. 因?yàn)椤螲CB=180°-∠DBC=180°-（90°-∠ABD）=90°+∠MCB，所以∠HCM=90°. 所以△MCH是等腰直角三角形. 所以∠DBF=∠H=45°，問(wèn)題得證.

解法5通過(guò)截長(zhǎng)的方法截取相等的線段構(gòu)造全等三角形，再通過(guò)中點(diǎn)倍長(zhǎng)中線構(gòu)造第二組全等三角形，進(jìn)而得到等腰直角三角形.

輔助線：如圖6所示，在BF上截取BP=AD，連接CP，延長(zhǎng)BF至點(diǎn)H，使FH=FP，連接CH，DH.

易證△ADB≌△BPC，△DHF≌△CPF，所以DB=PC=DH. 所以△DBH是等腰三角形. 因?yàn)椤螪BH+∠ABD+∠PBC=90°，∠ABD+∠PBC=∠BCP+∠PBC=∠HPC=∠FHD，所以∠DBH+∠FHD=90°. 所以△DBH是等腰直角三角形. 所以∠DBF=45°，問(wèn)題得證.

解法6利用中點(diǎn)倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形，再通過(guò)同一直角頂點(diǎn)作垂直得到相等的角，證明三角形全等，進(jìn)而通過(guò)證明等腰直角三角形得證.

輔助線：如圖7所示，延長(zhǎng)BF至點(diǎn)K，使FK=BF，連接CK，過(guò)點(diǎn)B作DB的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

易證△DBF≌△CKF，所以BD=CK，BD∥CK. 易得∠ABD=∠CBE，∠ABE=∠BCK=90°+∠CBE，所以△ABE≌△BCK. 所以BE=CK=BD. 所以△DBE是等腰直角三角形. 所以∠DBF=∠K=∠E=45°，問(wèn)題得證.

解法7利用中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線，得到兩直線平行的位置關(guān)系，再通過(guò)同一直角頂點(diǎn)作垂直得到相等的角，證明三角形全等，進(jìn)而通過(guò)證明等腰直角三角形得證.

輔助線：如圖8所示，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)Q，使BQ=BC，連接DQ，過(guò)點(diǎn)B作DB的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

由輔助線可知BF是△CDQ的中位線，所以∠Q=∠CBF=∠BAD. 易得∠ABD=∠CBP，所以∠QBD=∠ABP. 所以△QBD≌△ABP. 所以BD=BP. 所以△BDP是等腰直角三角形. 所以∠DBF=∠QDB=∠P=45°，問(wèn)題得證.

解法8利用中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線，得到兩直線平行的位置關(guān)系，再通過(guò)同一直角頂點(diǎn)作垂直得到相等的角，證明三角形全等，進(jìn)而通過(guò)證明等腰直角三角形得證.

輔助線：如圖9所示，延長(zhǎng)DB至點(diǎn)K，使BK=BD，連接CK，過(guò)點(diǎn)B作DB的垂線交CK于點(diǎn)G，連接DG.

由輔助線可知BF是△DKC的中位線，所以∠BCG=∠CBF=∠BAD. 易得∠ABD=∠CBG，所以△ADB≌△CGB. 所以BD=BG=BK. 所以△KBG是等腰直角三角形. 所以∠DBF=∠K=45°，問(wèn)題得證.

一題多解的教學(xué)思考

1. 拆分條件預(yù)設(shè)處理，培養(yǎng)邏輯思維

實(shí)例中展示了8種解法，不同的解法源于拆分已知條件，將條件預(yù)處理后進(jìn)行重組，從而形成多種不同的解題思路.

條件1：F是CD的中點(diǎn).

預(yù)處理：可以得到兩條相等的線段，為證明三角形全等提供條件;倍長(zhǎng)中線后可構(gòu)造全等三角形;構(gòu)造中位線后可得到線段間的關(guān)系.

條件2：∠ABC=90°，∠BAD=∠CBF.

預(yù)處理：可繞直角頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°或過(guò)直角頂點(diǎn)B作垂直（它們其實(shí)是同一種輔助線的不同敘述方式），構(gòu)造“一線三垂直”，截取相等的線段得到全等三角形.

具體的輔助線構(gòu)造思路如表1所示.

由表1可知，中點(diǎn)最常用的輔助線構(gòu)造思路是倍長(zhǎng)中線和構(gòu)造中位線，其中倍長(zhǎng)中線需要證明兩次全等，而構(gòu)造中位線只需要證明一次全等. 遇見(jiàn)直角最常規(guī)的思路是作垂直導(dǎo)角，為證明三角形全等提供角的條件. 據(jù)此，將預(yù)處理后的思路進(jìn)行重組后便形成了多種不同的解法.

南京大學(xué)鄭毓信教授強(qiáng)調(diào)“以正合，以奇勝”，也就是既應(yīng)善于通過(guò)學(xué)習(xí)不斷實(shí)現(xiàn)必要的優(yōu)化，又應(yīng)努力跳出已有的框架從不同角度進(jìn)行分析與思考，包括發(fā)現(xiàn)與建立新的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)更高層次的抽象等[6]. 所以，在解答平面幾何問(wèn)題時(shí)，我們可以先將題目中的已知條件進(jìn)行優(yōu)化，即拆分條件做預(yù)設(shè)處理，使條件得到充分的利用，再?gòu)牟煌慕嵌戎亟M條件，建立幾何量之間新的聯(lián)系，不同的重組方式便可形成不同的解法. 拆分、重組條件并解決問(wèn)題的過(guò)程能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維和邏輯思維.

2. 尋找解題“通性通法”，培養(yǎng)發(fā)散思維

章建躍先生認(rèn)為：“通性”就是概念所反映的基本性質(zhì)，“通法”就是概念所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法[7]. 金鐘植先生認(rèn)為：在日常教學(xué)中，談到性質(zhì)的時(shí)候叫“通性”，談到思想和方法的時(shí)候就叫“通法”，但在解決問(wèn)題的過(guò)程中應(yīng)該叫運(yùn)用“通性通法”解決問(wèn)題[8].

在實(shí)例中，中點(diǎn)的“通性”是把線段分為兩條相等的線段的點(diǎn)，即中點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，“通法”是倍長(zhǎng)中線法和構(gòu)造中位線法;直角的“通性”是兩條直線互相垂直，即由這兩條直線所構(gòu)成的所有三角形都是直角三角形，“通法”是利用直角三角形中的90°（直角、其余兩內(nèi)角和）以及題目中所給的角的條件推導(dǎo)出相等的角，進(jìn)而選擇直接作垂線或“一線三垂直”等添加輔助線的方法，最終運(yùn)用中點(diǎn)和直角的“通性通法”解決問(wèn)題.

初中數(shù)學(xué)平面幾何經(jīng)?？疾榫€段關(guān)系的證明，所以我們應(yīng)大量積累解題經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出解此類證明題的“通性通法”. 證明線段的數(shù)量關(guān)系時(shí)，通常是證明多條線段之間的長(zhǎng)度數(shù)量關(guān)系，此時(shí)需要找圖形中邊的關(guān)系，具體做法是將其放在全等三角形中，通過(guò)等量代換轉(zhuǎn)化邊相等;證明位置關(guān)系時(shí)，通常是證明兩條直線平行或者垂直，此時(shí)需要找圖形中角的關(guān)系，若證明兩直線平行，則找內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角的關(guān)系，若證明垂直，則通常通過(guò)證明由這兩條直線所形成的三角形另外兩個(gè)內(nèi)角之和為90°來(lái)完成證明.

一道試題是否有多種解題方法，取決于試題本身是否綜合了多個(gè)知識(shí)點(diǎn). 假如試題有多種解法，可根據(jù)其涉及的不同知識(shí)點(diǎn)的“通性”，利用“通法”來(lái)得到多種解法. 學(xué)生利用“通性通法”解決問(wèn)題的過(guò)程是思維碰撞的過(guò)程，其不僅能使基礎(chǔ)知識(shí)得到成熟與深化，還能引導(dǎo)學(xué)生形成發(fā)散性思維能力，逐步養(yǎng)成發(fā)散性思維的習(xí)慣. 一題多解不僅能運(yùn)用“通性通法”解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，還能在解決問(wèn)題的過(guò)程中完善解題的“通性通法”.

結(jié)語(yǔ)

初中幾何題一題多解，能讓學(xué)生在掌握更多理性知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)其邏輯性、發(fā)散性、創(chuàng)造性、直觀性等數(shù)學(xué)思維. 在幾何題的解決過(guò)程中，運(yùn)用不同的圖形語(yǔ)言表征幾何問(wèn)題，親身經(jīng)歷不同的解題過(guò)程，有利于學(xué)生幾何直觀、空間觀念和推理能力等核心素養(yǎng)的發(fā)展. 一題多解作為發(fā)散性思維的一種表現(xiàn)形式，它將數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)步驟、思維模式和發(fā)散能力集于一體，能促進(jìn)學(xué)生全面、系統(tǒng)地掌握知識(shí)，能讓學(xué)生形成完整的數(shù)學(xué)理論框架. 所以，教師可以適當(dāng)?shù)亻_展一題多解教學(xué)，切實(shí)發(fā)揮學(xué)生的主體作用，幫助學(xué)生理解與記憶數(shù)學(xué)知識(shí)，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)，發(fā)展邏輯思維，增強(qiáng)他們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的信心.

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