立足數(shù)學(xué)題組教學(xué) 提升學(xué)生思維品質(zhì)

魏杰君

[摘 ?要] 概述題組應(yīng)具備的特征，提出題組教學(xué)的有效路徑，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)課的趣味性，在質(zhì)疑、探究中，活躍學(xué)生的思維，提高學(xué)生的合作精神與創(chuàng)新能力，從而達(dá)到提高學(xué)生核心素養(yǎng)的目的.

[關(guān)鍵詞] 題組;結(jié)論;條件;思維

題組是指以某一核心知識(shí)為中心，組合成的一組有梯度、內(nèi)容接近、前后連貫的數(shù)學(xué)問題. 題組設(shè)計(jì)應(yīng)注重問題間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，通過一組問題的解決，達(dá)到鞏固知識(shí)，形成解題技能，優(yōu)化思維，獲得問題本質(zhì)的目的. 在題組教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)課的趣味性，在質(zhì)疑、探究中，活躍學(xué)生的思維，提高學(xué)生的合作精神與創(chuàng)新能力，從而達(dá)到提高學(xué)生核心素養(yǎng)的目的[1].

題組教學(xué)的有效路徑

習(xí)題教學(xué)中，設(shè)計(jì)的題組應(yīng)具備問題性、啟發(fā)性、創(chuàng)新性，以有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地看待世界，思考世界，表達(dá)世界，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)理解數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值與應(yīng)用價(jià)值，形成批判性思維與理性精神. 以下筆者對(duì)題組教學(xué)路徑作了以下有益探索.

1. 相似結(jié)論題組，在提煉總結(jié)中發(fā)展創(chuàng)新思維

在習(xí)題教學(xué)中，對(duì)于典型性習(xí)題，要用活用好，通過保留條件改變結(jié)論的形式設(shè)計(jì)題組，可以使學(xué)生可以從中提煉解題路徑與方法，讓典型題不再孤單. 這就需要教師精心選題巧妙設(shè)計(jì)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，在探究中發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維[2].

案例1如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像與反比例函數(shù)y=的圖像交于點(diǎn)A（1，5）與點(diǎn)B（n，1）. 求△AOB的面積.

在典型習(xí)題的教學(xué)中，教師要明確命題者的意圖，要最大限度地發(fā)揮典型習(xí)題的輻射功能，通過習(xí)題講評(píng)，學(xué)生一方面要獲得這個(gè)問題的解決方法，另一方面還要引導(dǎo)學(xué)生將試題拓展延伸，舉一反三，拓寬學(xué)生的思維空間，為此，筆者設(shè)計(jì)了如下題組訓(xùn)練.

探究1：如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像與反比例函數(shù)y=（n>0）的圖像交于點(diǎn)A（1，5）與點(diǎn)B（n，1）. 已知點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-1，0），直線AD交雙曲線另一支于點(diǎn)C，連接BC，求△ABC的面積.

探究2：如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像與反比例函數(shù)y=（n>0）的圖像交于點(diǎn)A（1，5）與點(diǎn)B（n，1）. M是線段AB下方反比例函數(shù)y=圖像上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，與一次函數(shù)y=ax+b的圖像交于點(diǎn)P，連接OP，OM，求△POM的面積的最大值.

通過題組的訓(xùn)練，學(xué)生牢固掌握了基礎(chǔ)知識(shí)，了解了知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，同時(shí)，通過探索相似的三個(gè)結(jié)論，發(fā)現(xiàn)了在函數(shù)問題中如何求三角形的面積，如何求三角形的最大面積，提升了學(xué)生的辯證思維，發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新思維，使學(xué)生體驗(yàn)了學(xué)習(xí)帶來的創(chuàng)新感以及成功的愉悅.

2. 相似條件題組，在比較異同中激活學(xué)生思維.

當(dāng)試題的條件比較接近時(shí)，教師一方面要引導(dǎo)學(xué)生挖掘其中的隱含條件，整合信息，把要解決的問題與原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系;另一方面要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮聯(lián)想，由事物之間的聯(lián)系與相似，推出相似事物也具有某一特性，這也是解決條件相似問題的有效途徑.

案例2如圖4所示，在△ABC中，∠ABC的平分線與外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)P，請(qǐng)?zhí)骄俊螾與∠A的關(guān)系，并說明理由.

此題主要探究三角形一條內(nèi)角平分線與外角平分線的夾角與第三個(gè)內(nèi)角之間的關(guān)系，通過師生共同研究發(fā)現(xiàn)：它們是半角關(guān)系. 在探究過程中，學(xué)生自然聯(lián)想：如果把三角形改為四邊形，也是一條內(nèi)角平分線與外角平分線的夾角與其他兩個(gè)角是什么關(guān)系呢？基于學(xué)生的提問，筆者推出了以下兩個(gè)探究.

探究1：如圖5所示，在四邊形ABCD中，設(shè)∠A=α，∠D=β，∠P為四邊形ABCD的內(nèi)角∠ABC的平分線與外角∠DCE的平分線所在直線相交而形成的銳角.若α+β>180°，直接寫出∠P的度數(shù). （用α，β的代數(shù)式表示）

探究2：如圖6所示，在四邊形ABCD中，設(shè)∠A=α，∠D=β，∠P為四邊形ABCD的內(nèi)角∠ABC的平分線與外角∠DCE的平分線所在直線相交而形成的銳角.若α+β<180°，直接寫出∠P的度數(shù).（用α，β的代數(shù)式表示）

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，聯(lián)想是溝通已知與未知的紐帶，通過條件相似的題組訓(xùn)練，可以起到多題一法的效果. 在解決探究1與探究2時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考，兩個(gè)探究問題與案例2有何相似之處，能否用案例1的解題策略解決探究1與探究2呢？學(xué)生觀察題目的條件設(shè)置，分析條件的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，經(jīng)過充分地思考，化異為同，找到了解決問題的方案. 通過題組訓(xùn)練，促進(jìn)了學(xué)生知識(shí)的融會(huì)貫通，拓寬了學(xué)生解題視野，使學(xué)生體會(huì)到了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3. 改編條件題組，在由點(diǎn)到面中提升思維

在探究條件相似中，培養(yǎng)了學(xué)生的審題能力，在比較條件的細(xì)微差異中，增加學(xué)生的辨別能力. 改編條件，一題多變也是一條可創(chuàng)新的教學(xué)路徑，有利于學(xué)生溝通知識(shí)間的聯(lián)系，掌握解題規(guī)律，在不斷地探索與總結(jié)中，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造性學(xué)習(xí).

案例3 ?已知關(guān)于x的分式方程+=，若方程有增根，求m的值.

關(guān)于分式方程解的問題，歷來是學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，考查了學(xué)生全面考慮問題的能力，如果已知分式方程的解直接代入即可，但是已知方程的增根不能直接代入，只能代入去分母后的整式方程. 如果分式方程無解，那么需要分類考慮兩種情況的無解. 為了突破這個(gè)難點(diǎn)，讓習(xí)題教學(xué)更有效，筆者設(shè)計(jì)了如下題組訓(xùn)練.

探究1：已知關(guān)于x的分式方程+=，若方程無解，求m的值.

探究2：已知關(guān)于x的分式方程+=，若方程的解是正數(shù)，求m的值.

探究3：已知關(guān)于x的分式方程+=，若分式方程的解是負(fù)數(shù)，求m的值.

探究4：已知關(guān)于x的分式方程+=1+只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求k的值.

探究5：已知關(guān)于x的分式方程x2-2x+=3-2k有四個(gè)不同的實(shí)根，求k的取值范圍.

教學(xué)中，筆者改編條件，列舉了關(guān)于分式方程的解的種種情況，師生共同歸納了每種情況下相應(yīng)的解題策略，激發(fā)了學(xué)生再發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造的熱情，學(xué)生靈活地掌握了知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，以及分類討論與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，錘煉了學(xué)生思維的廣闊性與深刻性，靈活性與獨(dú)創(chuàng)性.

4. 相似結(jié)構(gòu)題組，在歸納推理中開拓思維

何謂歸納推理？其實(shí)是指由特殊到一般，由部分到整體的推理[3]. 問題的結(jié)構(gòu)特征是進(jìn)行歸納推理的有效切入口. 在相似結(jié)構(gòu)的題組訓(xùn)練中，學(xué)生通過觀察類比，猜想驗(yàn)證，用統(tǒng)一簡(jiǎn)潔的形式呈現(xiàn)，掌握了分析問題的方法并達(dá)到了靈活運(yùn)用.

案例4 ?觀察下列等式：①32-12=8×1;②52-32=8×2;③72-52=8×3;④92-72=8×4;⑤______;⑥______.

（1）請(qǐng)你寫出⑤⑥兩個(gè)等式;

（2）根據(jù)以上式子的規(guī)律，請(qǐng)你寫出第n（n為正整數(shù)）個(gè)式子.

（3）利用這個(gè)規(guī)律計(jì)算20212-20192的值.

此種類型題要找到共同的特征，如每個(gè)算式中底數(shù)之間的關(guān)系，算式的結(jié)構(gòu)形式，結(jié)果中相同的部分，不同的部分，從而找到第n個(gè)算式，為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力，筆者為學(xué)生設(shè)計(jì)了如下題組訓(xùn)練.

探究1：①22=1×3+1;②32=2×4+1;③42=3×5+1;④52=4×6+1;⑤______;⑥______.

（1）請(qǐng)你寫出⑤⑥兩個(gè)等式;

（2）根據(jù)以上式子的規(guī)律，請(qǐng)你寫出第n（n為正整數(shù)）個(gè)式子.

探究2：觀察下面各式的規(guī)律. 12+（1×2）2+22=（1×2+1）2;22+（2×3）2+32=（2×3+1）2;32+（3×4）2+42=（3×4+1）2;…

（1）寫出第2021個(gè)式子;

（2）寫出第n個(gè)式子，并驗(yàn)證你的結(jié)論.

問題的結(jié)構(gòu)特征是進(jìn)行歸納推理的有效切入口，筆者設(shè)計(jì)相似結(jié)構(gòu)的題組訓(xùn)練，學(xué)生嘗試進(jìn)行歸納推理，深入挖掘知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，在探究新結(jié)論中，開拓了學(xué)生的思維.

題組教學(xué)的感悟

1. 設(shè)計(jì)題組，化學(xué)生的盲點(diǎn)為探究點(diǎn)

習(xí)題教學(xué)中，教師要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的盲點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn)，通過題組的設(shè)計(jì)，化學(xué)生的盲點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn)為探究點(diǎn)，讓學(xué)生在問題的比較中構(gòu)建知識(shí)間的聯(lián)系，在問題比較中深化對(duì)某一內(nèi)容的理解與掌握，在問題比較中避免學(xué)習(xí)的思維定式，進(jìn)而充分發(fā)揮題組的功效，讓教學(xué)走向高效.

2. 設(shè)計(jì)題組，培養(yǎng)學(xué)生反思與診斷能力

習(xí)題教學(xué)中，題組的設(shè)計(jì)，要定位精準(zhǔn)，以鞏固知識(shí)，提升思維能力為目標(biāo)，在辨析相似題組時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的關(guān)鍵，善于質(zhì)疑辨析，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，提煉方法與思想，學(xué)會(huì)解后反思，解后總結(jié)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的升華.

參考文獻(xiàn)：

[1]楊愛芳. “題組教學(xué)法”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 中學(xué)教學(xué)參考，2020（20）：13-14.

[2]江同營(yíng). 初中數(shù)學(xué)新課復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)中“題組教學(xué)”的實(shí)踐與思考[J]. 上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（10）：38-39.

[3]沈岳夫. 注重?cái)?shù)學(xué)題組設(shè)計(jì) ?提升學(xué)生思維品質(zhì)[J]. 教學(xué)月刊（中學(xué)版），2012（07）：38-40.