基于數(shù)學(xué)現(xiàn)象培養(yǎng)學(xué)生問題意識的探索

【摘 要】數(shù)學(xué)現(xiàn)象是指把客觀事實(shí)呈現(xiàn)給學(xué)生，讓他們用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、分析、思考和研究。這個(gè)客觀事實(shí)可以是生活中的事實(shí)，也可以是數(shù)學(xué)中的事實(shí)，還可以是為教學(xué)而創(chuàng)設(shè)的事實(shí)。這些事實(shí)中隱藏著數(shù)學(xué)問題。文章通過觀察現(xiàn)象、分析現(xiàn)象、改造現(xiàn)象以及從現(xiàn)象到本質(zhì)等四個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生的問題意識。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)現(xiàn)象;問題意識;核心素養(yǎng)

一、引言

數(shù)學(xué)現(xiàn)象是指把客觀事實(shí)呈現(xiàn)給學(xué)生，讓他們用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、分析和研究，它強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)的眼光看世界。但是現(xiàn)象并不能天然地引發(fā)思考，古人言，“學(xué)起于思，思起于疑”，所以引發(fā)思考的是疑問，數(shù)學(xué)現(xiàn)象是讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的視角審視客觀事實(shí)，并在此過程中自發(fā)的產(chǎn)生疑問。那么，疑問從哪里來？教師向?qū)W生提出問題，這是教學(xué)中的常見方式，但這主要基于教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和教師的視角。在教學(xué)中，學(xué)生如果自己能感知到問題的存在，并用自己的語言表述問題、解決問題，那么這樣的學(xué)習(xí)就是主動(dòng)和高效的，也更有利于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也反復(fù)強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的問題意識。因此，基于數(shù)學(xué)現(xiàn)象帶給學(xué)生的問題意識的過程，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的體驗(yàn)之旅、發(fā)現(xiàn)之旅，也是審美之旅[1]。下面筆者就數(shù)學(xué)現(xiàn)象培養(yǎng)學(xué)生的問題意識進(jìn)行研究。

二、基于數(shù)學(xué)現(xiàn)象培養(yǎng)學(xué)生問題意識的策略

（一）觀察現(xiàn)象，重新表述問題

生活中的場景，只有用數(shù)學(xué)的眼光看待并進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考，才能成為數(shù)學(xué)現(xiàn)象。因此，從實(shí)際場景中析取數(shù)量、位置等數(shù)學(xué)要素，是產(chǎn)生數(shù)學(xué)問題的第一步。生活場景中的問題可能并不明確，學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言重新表述，其實(shí)是問題數(shù)學(xué)化的過程，體現(xiàn)歸納、抽象、邏輯轉(zhuǎn)換等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在“平面向量的概念”教學(xué)中，教材以兩地之間的位移、小船行駛的速度、物體的重力以及浸泡在液體中物體所受到的浮力等常見的生活情境引入教學(xué)。這些生活情境學(xué)生比較熟悉，但教師需指導(dǎo)學(xué)生從學(xué)科視角來觀察現(xiàn)象，進(jìn)而把它們的共性找出來。從物理學(xué)科的視角來看，位移、速度、力是不同的物理量，它們各有特點(diǎn)。學(xué)生根據(jù)所學(xué)的物理知識將位移、速度、力等物理量用有向線段將其可視化，此時(shí)學(xué)生從數(shù)學(xué)視角觀察，發(fā)現(xiàn)它們的共性是既有大小，又有方向。接著，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察和思考一支筆、一棵樹、一本書……，學(xué)生可以抽象出只有大小的數(shù)量“1”，并且把這種只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量。對比以上的不同，學(xué)生便產(chǎn)生疑問：數(shù)學(xué)中該如何表述這種既有大小又有方向的量？此時(shí)向量的概念就自然而然地在學(xué)生頭腦中生成。在教學(xué)中，教師應(yīng)避免直接給學(xué)生灌輸概念，而是讓學(xué)生觀察現(xiàn)象，把現(xiàn)象用數(shù)學(xué)語言重新表述，使學(xué)生在歸納抽象的過程中體悟數(shù)學(xué)概念的形成。

從現(xiàn)象切入，引發(fā)學(xué)生思考，這是數(shù)學(xué)現(xiàn)象應(yīng)用最本質(zhì)的特點(diǎn)，而貼近生活、切入點(diǎn)低可讓學(xué)生更自然地進(jìn)入教學(xué)，從而逐步展開思維[2]。在教學(xué)中，教師應(yīng)注意對現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)化引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生提煉共性、尋找差異，并從中歸納特點(diǎn)、總結(jié)規(guī)律。在此過程中，學(xué)生必然會對數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行觀察、思考和討論，這為學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題提供了可能。教師應(yīng)注意概念的構(gòu)成要素，引導(dǎo)學(xué)生用有效的數(shù)學(xué)語言表述相關(guān)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，讓數(shù)學(xué)現(xiàn)象數(shù)學(xué)化。

（二）分析現(xiàn)象，在結(jié)構(gòu)中發(fā)現(xiàn)問題

數(shù)學(xué)講究思維和邏輯，不同數(shù)學(xué)現(xiàn)象之間內(nèi)在的關(guān)聯(lián)是符合邏輯的，因?yàn)橹挥蟹线壿嫴庞兄谒季S的展開。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體現(xiàn)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)構(gòu)成，在分析現(xiàn)象時(shí)，要注重對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特質(zhì)、構(gòu)成、關(guān)聯(lián)等要素的把握。只有對比不同數(shù)學(xué)現(xiàn)象間數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的異同，才能對問題解決采取有效的處理方式。下面以一道數(shù)學(xué)填空題為例進(jìn)行說明。

例1 已知數(shù)列[an]滿足[an=2n2n+128]，則該數(shù)列的前13項(xiàng)之和為? ? ? 。

大部分學(xué)生對于該題的解題思路是不清晰的，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)列不符合一般數(shù)列求和的通法，即在這個(gè)問題中，條件與結(jié)論的數(shù)學(xué)現(xiàn)象之間沒有邏輯關(guān)聯(lián)。此時(shí)，學(xué)生嘗試通過計(jì)算和觀察前幾項(xiàng)的特殊值來研究規(guī)律，但學(xué)生即使計(jì)算前三項(xiàng)的值[165]、[133]、[117]，也無法從特殊中歸納一般。通過轉(zhuǎn)換思維，發(fā)現(xiàn)分式求和的方法在于通分，即把分母的值變?yōu)橐恢拢珜W(xué)生發(fā)現(xiàn)對該數(shù)列前13項(xiàng)全部通分比較困難。于是進(jìn)一步分析，128=27與2n同屬于以2為底的指數(shù)結(jié)構(gòu)，而128=27的指數(shù)7是數(shù)列求和項(xiàng)數(shù)13的中位數(shù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題中的對稱結(jié)構(gòu)。從對稱性和分母一致性的角度來看，對該數(shù)列前6項(xiàng)的分子、分母同除以2n，則[an=11+27-n]，而對該數(shù)列的第8項(xiàng)到第13項(xiàng)的分子、分母同除以27，則[an=2n-72n-7+1]。于是該數(shù)列前13項(xiàng)的首尾項(xiàng)：[a1=11+26]與[a13=2626+1]，[a2=11+25]與[a12=2525+1]，……，每一對兩項(xiàng)分母值均相同，并且相加和為1。由此，學(xué)生將前13項(xiàng)首尾配成6對再加a7，計(jì)算可得該數(shù)列的前13項(xiàng)之和為[132]。在該題中，分式求和需要通分，而對所求項(xiàng)的分母全部通分，勢必陷入繁雜的計(jì)算中，而使問題無法得到解決。學(xué)生通過分析現(xiàn)象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，找到其中對稱關(guān)系，并由此發(fā)現(xiàn)其成對數(shù)據(jù)的分母一致，巧妙繞過分母通分的難題，為問題的解決提供方向。

事實(shí)上，問題的解決并非一蹴而就的，數(shù)學(xué)現(xiàn)象的辨析同樣具有多樣性、層次性和開放性。因此，在問題解決的過程中，分析數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是發(fā)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)現(xiàn)象邏輯關(guān)聯(lián)的關(guān)鍵，它有助于問題的再提出，為不同數(shù)學(xué)現(xiàn)象之間的內(nèi)在關(guān)系找到連結(jié)點(diǎn)，而這些連結(jié)點(diǎn)正是學(xué)生問題意識的出發(fā)點(diǎn)。

（三）改造現(xiàn)象，在整體中發(fā)現(xiàn)問題

對數(shù)學(xué)現(xiàn)象的整體思考，要求學(xué)生注重從整體來改造數(shù)學(xué)現(xiàn)象。問題的合理性或思維的無矛盾性都是基于整體而言的。教師在教學(xué)中應(yīng)用整體思維，讓學(xué)生在思維中盡量保持聯(lián)系、全面、辯證的觀點(diǎn)，使思維形成整體認(rèn)知。因此，改造現(xiàn)象，在整體中發(fā)現(xiàn)問題是抓住現(xiàn)象的主要矛盾，這能更好地解決問題。

例2 不等式[logax][-]ln2[x<4]（a[>0]且a[≠1]）對任意x[∈]（1，100）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為? ? ? ?。

由于該題中兩個(gè)對數(shù)[logax]和ln2[x]的底數(shù)不一致，因此，很多學(xué)生認(rèn)為此題中的不等式是超越不等式。學(xué)生如果把[logax]變形為[ln xlna]，這不僅讓式子從數(shù)學(xué)對數(shù)結(jié)構(gòu)上得以統(tǒng)一，而且使不等式[ln xlna][-]ln2[x<4]變成以ln[x]為變量的二次不等式。這體現(xiàn)了學(xué)生在辨析數(shù)學(xué)現(xiàn)象中具有整體考慮的問題意識。接下來，我們注意到x[∈]（1，100），從而ln[x][∈]（0，ln100），即變量ln[x]為正數(shù)，將不等式進(jìn)行參變分離得[1lna][<][4lnx]+ln x。值得注意的是，這里分離出的是[1lna]，原因如下：一是這樣的結(jié)構(gòu)最簡單明晰，并且不等式的右邊是基本不等式的結(jié)構(gòu);二是在運(yùn)算過程中，把[1lna]看作是一個(gè)整體，通過求出其整體的取值范圍[1lna][<]4，從而求出a[∈]（0，1）[?]（e[14，+∞]）。該題需要學(xué)生在具體運(yùn)算中具有整體規(guī)劃意識，即先求[1lna]的范圍，再求實(shí)數(shù)a的范圍。

上述解題過程既有對數(shù)學(xué)現(xiàn)象的整體分析，也有對解題過程的整體前瞻性的預(yù)見，后者給學(xué)生的解題帶來更多便捷，這也是學(xué)生對數(shù)學(xué)現(xiàn)象具有整體把控能力的體現(xiàn)。把[logax]變形為[ln xlna]，既是學(xué)生對于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)一致性的認(rèn)識，也是學(xué)生整體解答問題意識的體現(xiàn)。在參變分離時(shí)，學(xué)生并沒有分離出a，而是分離出[1lna]，這是部分學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較好的學(xué)生基于對解題過程的整體預(yù)見。如果有學(xué)生將不等式[1lna][<][4lnx]+ln[x]變形為a[>]e[ln xln2x+4]，將參變分離進(jìn)行到底，教師可以引導(dǎo)學(xué)生反思，這個(gè)變形中是否有錯(cuò)誤，這個(gè)變形后的式子是否容易計(jì)算出最值。這些反思可以進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的問題意識，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)現(xiàn)象的整體性把握有更深刻的理解。

整體思考是數(shù)學(xué)現(xiàn)象辨析問題的一種重要的方式，它要求認(rèn)識一個(gè)事物應(yīng)該首先具有整體性、直觀性，雖然這個(gè)直觀性可能只是大概的、統(tǒng)括性的，但其價(jià)值很大。整體思考可以讓我們把研究對象從周邊的環(huán)境中剝離出來并整合成一個(gè)獨(dú)立的個(gè)體，通過改造現(xiàn)象，為新知識的學(xué)習(xí)提供前提條件。格式塔學(xué)派的核心觀點(diǎn)是“整體大于部分之和”。這“大于”的部分是認(rèn)識問題的關(guān)鍵。因此，從局部發(fā)現(xiàn)的問題，它往往具有片面性，學(xué)生只有從整體出發(fā)分析現(xiàn)象，才能更好地從全局把握問題，從而更好的培養(yǎng)問題的意識。

（四）從現(xiàn)象到本質(zhì)，在新情境中識別老問題

不同數(shù)學(xué)現(xiàn)象之間的相互遷移，主要在于辨析數(shù)學(xué)現(xiàn)象之間可變因素和不變因素的辯證關(guān)系。明晰可變因素的變化對問題解決的影響，強(qiáng)化對可變因素的分析和討論，能給學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題明晰方向，促進(jìn)學(xué)生問題意識的養(yǎng)成。如此學(xué)生才能從新情境中識別老問題，只有植根于情景脈絡(luò)中的知識，才是活“知識”[3]。

在“正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)”教學(xué)中，教師可讓學(xué)生回顧正弦曲線生成的過程，從直觀遷移兩個(gè)關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，讓學(xué)生產(chǎn)生構(gòu)造正切曲線的思路，即通過等分圓產(chǎn)生正切線來獲得正切曲線，這是兩者相同之處。在進(jìn)一步辨析兩者關(guān)系后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們之間有很多不同之處，即在正切線的表示過程中，角的終邊不能落在y軸上，故正切函數(shù)定義域與正弦函數(shù)不同。根據(jù)直觀感受正切線的變化，并結(jié)合誘導(dǎo)公式tan（[π+α]）=tan[α]，學(xué)生分析得出正切函數(shù)的周期是[π]，故正切函數(shù)可先考慮在一個(gè)周期[-π2，π2]的范圍作圖，這與正弦函數(shù)作圖的周期是不一致的。因?yàn)檎泻瘮?shù)是奇函數(shù)，所以可考慮在[0，π2]范圍內(nèi)通過等分單位圓截取正切線，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱與簡潔美。由于正切函數(shù)的定義域是[xx≠kπ+π2，k∈Ζ]，因此正切函數(shù)的圖象不似正弦曲線是連續(xù)的，而是存在無數(shù)條平行的漸近線。

在上述教學(xué)片段中，數(shù)學(xué)現(xiàn)象之間的相互遷移可以啟發(fā)學(xué)生的思維，類比會帶給學(xué)生解決問題的基本思路。但數(shù)學(xué)現(xiàn)象之間也是不同的，如何處理數(shù)學(xué)現(xiàn)象之間的變化，就會讓學(xué)生產(chǎn)生問題意識。因此學(xué)生關(guān)注變化，是讓學(xué)生產(chǎn)生問題的最佳切入點(diǎn)。老問題是思維的基礎(chǔ)，思維是解決新情境的橋梁。由老問題進(jìn)行聯(lián)想和對比，是尋求正確思維方向的有效途徑。因此，關(guān)注數(shù)學(xué)現(xiàn)象之間的變與不變，思考數(shù)學(xué)現(xiàn)象之間的變與不變，是啟發(fā)學(xué)生問題意識的關(guān)鍵點(diǎn)。

三、結(jié)語

數(shù)學(xué)現(xiàn)象是現(xiàn)象學(xué)在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中的一項(xiàng)有益嘗試，這對于改善課堂教學(xué)效果，提升學(xué)生的思維方式，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展有一定的幫助。解決別人給予的問題，是在完成一項(xiàng)任務(wù);解決自己提出的問題，是在滿足好奇心;從現(xiàn)實(shí)世界中感知和提出問題，則是創(chuàng)造力的歷練。所以，通過辨析現(xiàn)象培養(yǎng)問題意識，是促進(jìn)思維走向深刻的一個(gè)好的途徑。佐藤學(xué)主張“與世界對話，與他人對話，與自己對話”，從現(xiàn)象到問題的教學(xué)正是有效落實(shí)了這一教學(xué)主張。在立德樹人與核心素養(yǎng)教育中，這一路徑也是比較有效的教學(xué)方式。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：陸順演）