求數(shù)列和的幾種常用方法

張秀云

數(shù)列求和問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)試題中的“?？汀?這類問(wèn)題的命題形式多變，側(cè)重于考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)求和公式.解答此類問(wèn)題的常用方法有分類討論法、并項(xiàng)求和法、倒序相加法、裂項(xiàng)相消法等.本文主要介紹分類討論法、倒序相加法和裂項(xiàng)相消法.

一、分類討論法

有時(shí)數(shù)列中出現(xiàn)幾類具有不同特征的項(xiàng)，此時(shí)需采用分類討論法來(lái)求數(shù)列的和.運(yùn)用分類討論法求數(shù)列的和，需根據(jù)數(shù)列中各項(xiàng)的特點(diǎn)，對(duì) n 進(jìn)行分類討論，如分奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)，分整數(shù)項(xiàng)、分?jǐn)?shù)項(xiàng)，分正數(shù)項(xiàng)、負(fù)數(shù)項(xiàng)等.運(yùn)用該方法解題，需仔細(xì)觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)或數(shù)列中各項(xiàng)的特點(diǎn)，并確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，然后逐類進(jìn)行討論，求出各類數(shù)列的和，最后綜合所得的結(jié)果即可解題.

例1.已知數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，S2=4，an +1=2S +1.

（1）求{an}的通項(xiàng)公式;

（2）求數(shù)列{|an - n -2|}的前 n 項(xiàng)和.

解：

數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式中含有絕對(duì)值，經(jīng)分析可知，當(dāng) n =1、2時(shí)和當(dāng) n ≥3時(shí)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和式不一樣，因此需采用分類討論法，分別討論當(dāng) n =1、2時(shí)和當(dāng) n ≥3時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n 項(xiàng)和，最后綜合所有情況即可.

二、倒序相加法

倒序相加法是求數(shù)列前 n 項(xiàng)和的常用方法之一，若與數(shù)列的首尾兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于首尾兩項(xiàng)之和，則采用倒序相加法求和較為有效.運(yùn)用該方法解題的思路為：將數(shù)列的各項(xiàng)相加得到等式 Sn = a1+a2+…+ an -1+ an ①，將數(shù)列的各項(xiàng)倒序相加得到另一個(gè)等式 Sn = an + an -1+…+ a2+ a1②，再將兩式相加可得2Sn = n（a1+ an ）= n（am + an - m） ，求得a1+ an 或 am + an - m的值，即可求得數(shù)列的和.

例2.

分析：仔細(xì)研究 f （x），可發(fā)現(xiàn) f （x）+f =1，而x 與互為倒數(shù)，于是采用倒序相加法，將數(shù)列的正序和與倒序和相加，使得自變量互為倒數(shù)的兩項(xiàng)相加，便可將數(shù)列求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化簡(jiǎn)單的計(jì)算問(wèn)題.

解：

三、裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消法較為靈活，運(yùn)用該方法求數(shù)列的前n 項(xiàng)和，需先根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將其裂為兩項(xiàng)之差的形式 an =f （n）-f （n - k），如=-、 =- ，這樣將數(shù)列的前 n 項(xiàng)相加的過(guò)程中，絕對(duì)值相等、符號(hào)相反的項(xiàng)便會(huì)相互抵消，化簡(jiǎn)所得結(jié)果，即可得到數(shù)列前 n項(xiàng)和.

例3.

解：

求解第二問(wèn)，需根據(jù)第一問(wèn)得到的數(shù)列{bn} 的通項(xiàng)公式進(jìn)行分析，經(jīng)研究可發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式裂項(xiàng)可得到，于是采用裂項(xiàng)相消法來(lái)求和.求和時(shí)，中間的部分項(xiàng)便會(huì)相互抵消，通過(guò)化簡(jiǎn)即可得到前 n 項(xiàng)和 Tn .

通過(guò)對(duì)上述例題的分析，可發(fā)現(xiàn)每種求和方法的適用情形各不相同，分類討論法主要適用于求解數(shù)列中的項(xiàng)有明顯區(qū)別的求和問(wèn)題;倒序相加法主要適用于解答與首尾項(xiàng)等距離的項(xiàng)之和呈現(xiàn)一定規(guī)律的求和問(wèn)題;裂項(xiàng)相消法主要適用于求解數(shù)列的通項(xiàng)公式為分式，且可裂為兩項(xiàng)之差的數(shù)列求和問(wèn)題.同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)，要注意根據(jù)數(shù)列中各項(xiàng)或通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，選擇與之相應(yīng)的方法進(jìn)求和.