以形助數(shù)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考更有力

楊錫鵬

【摘 要】以形助數(shù)是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用和體現(xiàn)，它可以讓學(xué)生的學(xué)習(xí)思考有廣度、有深度、有新意。教學(xué)中，教師要努力挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中數(shù)形結(jié)合的契合點，并靈活地遴選教學(xué)素材或資源，構(gòu)建一系列學(xué)習(xí)探究情境，引導(dǎo)學(xué)生用直觀的、形象化的圖例去探究問題的本質(zhì)，使得問題由繁變簡，從而促進(jìn)學(xué)生思維形象化，使其學(xué)習(xí)思路更加開闊，學(xué)習(xí)實效更上一層樓。

【關(guān)鍵詞】以形助數(shù) 學(xué)習(xí)思考 小學(xué)數(shù)學(xué)

“以形助數(shù)”是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好幫手、研究問題的得力“拐杖”，它契合小學(xué)生的思維特點，符合他們學(xué)習(xí)的方式。因此，在教學(xué)中，教師要著力滲透“以形助數(shù)”這一數(shù)學(xué)思想方法，并指導(dǎo)學(xué)生靈活地運用，讓他們的數(shù)學(xué)分析、思考更加細(xì)致入微，更有成效。

一、以形助數(shù)，讓思考有廣度

以形助數(shù)可以讓較為繁雜的問題具體化，促進(jìn)學(xué)生思維的形象化，也能誘發(fā)學(xué)生深入學(xué)習(xí)。以“長方形、正方形的周長”的教學(xué)為例，教師可以引入數(shù)形結(jié)合的思想方法，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)用圖形去表示相關(guān)的問題信息，使問題的基本信息在圖形中得到具體化，從而實現(xiàn)問題的適時轉(zhuǎn)化，學(xué)生較好地厘清了數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系。

（一）設(shè)計有趣味的問題，引發(fā)思考

教學(xué)之初，教師利用課件展播學(xué)習(xí)問題：熊大和熊二準(zhǔn)備把一片珍稀樹木圍起來加以看護(hù)，一共有60根1米長的竹籬笆，它們該如何圍呢？怎么圍面積是最大的？

如何展開教學(xué)呢？一是組織學(xué)生認(rèn)真閱讀習(xí)題，思考問題的指向。通過閱讀學(xué)生逐漸明白，60根籬笆總長是60米，就意味著圍成的長方形林地周長也是60米。二是引發(fā)學(xué)生思考，周長60米的長方形多嗎？為什么？學(xué)生會根據(jù)學(xué)習(xí)提示，明晰周長相等的長方形是有著不同的變化的。整個思考過程為他們后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

（二）指導(dǎo)運用畫圖策略，加深思考

“你認(rèn)為用怎樣的方式來研究這個問題是最方便，也是最利于觀察與思考的呢？”用問題引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行自主思考和合作探討。不一會兒，他們認(rèn)為畫好一個示意圖，是最有利于觀察與思考的。因為從圖中能夠直觀地看出長方形的4條邊總和的構(gòu)成——“長+長+寬+寬”。

經(jīng)過分析，學(xué)生們明白“長+長+寬+寬”的總和是60米，所以“長+寬”的和是30米。這樣他們就能夠把握長方形長與寬的構(gòu)成，分別是“29米、1米”“28米、2米”……直至構(gòu)成15米邊長的正方形。經(jīng)過如此詳細(xì)的分析、計算，學(xué)生終于發(fā)現(xiàn)，隨著長邊變得越來越短，寬邊變得越來越長，長方形的面積也在不斷增大，變成正方形時面積最大。

學(xué)生們經(jīng)歷畫圖、讀圖等系列活動后，得出了“圍成正方形的珍稀樹木林地的面積是最大的”的結(jié)論。從中可以看出，以形助數(shù)對于小學(xué)生的學(xué)習(xí)思考有著極大的促進(jìn)作用。

二、以形助數(shù)，讓思考有深度

以形助數(shù)是幫助學(xué)生探索問題解決方法的有效途徑，也是助推學(xué)生學(xué)習(xí)深度思考的基本措施。以“用除數(shù)是一位數(shù)除法解決問題”的教學(xué)為例，教師讓學(xué)生學(xué)習(xí)用圖形來解析問題，這樣能夠讓學(xué)生在直觀的圖示中更好地把握隱藏著的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生在直觀化的圖例中找到解決問題的路徑，進(jìn)而助推思考的深入，實現(xiàn)問題的有效突破。

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)習(xí)思考

創(chuàng)設(shè)問題情境是構(gòu)建有效學(xué)習(xí)的基本策略之一，也是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動力的重要方法。教學(xué)中，教師可以設(shè)計這樣的一個問題，以此來促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)注意力的集中，激發(fā)他們學(xué)習(xí)思維的活力，為有效學(xué)習(xí)思考奠定基礎(chǔ)。

比如，“學(xué)校體育器材室中足球和排球一共有90個。足球借出去20個，排球借出去30個。這時發(fā)現(xiàn)剩下的兩種球個數(shù)一樣多，原來足球、排球各有多少個？”初看問題，很多學(xué)生都覺得信息繁多，無從下手。為此，教師可以給予必要的學(xué)習(xí)引導(dǎo)，“閱讀過后，你認(rèn)為用怎樣的方式來研究問題更有效？”提問能夠促進(jìn)學(xué)生自主思考，同時也能促進(jìn)他們進(jìn)行必要的合作討論與探究。

（二）引導(dǎo)畫圖，促進(jìn)問題研究

指導(dǎo)學(xué)生用畫圖研究問題，是幫助學(xué)生更好地感知以形助數(shù)思想的基本方法，也是滲透數(shù)形結(jié)合思想方法的重要舉措。在對上述問題進(jìn)行閱讀與思考的基礎(chǔ)上，有一部分學(xué)生會提出：“不妨畫一個線段圖來思考一下?！苯處熅统脽岽蜩F，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行必要的嘗試，并在群體的互助中得到一個較為完美的線段圖。

畫好圖不是目的，目的是解讀圖例，厘清數(shù)量之間的關(guān)系。于是教師指導(dǎo)學(xué)生解讀圖例，引導(dǎo)他們分析思考。經(jīng)過思考與思維碰撞，學(xué)生終于悟出：剩下的兩種球相等就意味著2等份，再加上借出去的20個足球、30個排球，合起來是90個，所以2份的和是90-20-30=40（個），1份是40÷2=20（個），這樣原來足球就是40個，排球50個。

畫好圖例，就能讓繁雜的數(shù)量關(guān)系變得清晰化、直觀化，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)思考的深入，從而加速問題解決的進(jìn)程，讓學(xué)習(xí)效率倍增。

三、以形助數(shù)，讓思考有新意

以形助數(shù)可以讓數(shù)的深刻性與形的可視性得到有機(jī)的融合，使得各自的優(yōu)勢得到疊加，給學(xué)生最強(qiáng)勁的視覺沖擊，也誘發(fā)學(xué)生更敏銳的學(xué)習(xí)思考，從而能夠把隱藏的數(shù)量關(guān)系直觀化，使得對問題的思考更有深度，并迸發(fā)出創(chuàng)新的火花。為此，在“倒推問題”的教學(xué)中，教師就要引導(dǎo)學(xué)生畫好圖、讀好圖，從而助推學(xué)習(xí)走向深處。

（一）引導(dǎo)畫圖，讀圖明義

滲透數(shù)形結(jié)合思想的首要條件就是讓學(xué)生學(xué)習(xí)用圖形來表示數(shù)量，所以指導(dǎo)學(xué)生畫好圖就成為以形助數(shù)策略實施的先決條件，這樣才能有利于學(xué)生依托示意圖去明晰題意、明白數(shù)量的關(guān)系。這是一道經(jīng)常出現(xiàn)在學(xué)生視野里的問題：周大爺賣雞蛋，第一天賣出雞蛋的一半少8個，第二天賣出剩下的一半多4個，第三天賣出25個，正好賣完。原來一共有多少個雞蛋？

教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生一邊深入地閱讀習(xí)題，找出關(guān)鍵的元素;一邊指導(dǎo)他們用線段圖把題目的基本意義表達(dá)出來。于是學(xué)生們很投入地進(jìn)行著閱讀、思考和畫圖活動，整個學(xué)習(xí)活動有條不紊地開展著。

（二）分析圖形，促進(jìn)思考

畫圖是一種方式，是一種促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)思考深入的基本策略，也能讓學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合思想的巨大優(yōu)勢。為此，在教學(xué)中，教師就需要重視讀圖分析的引導(dǎo)，以此來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)思考的活力，促進(jìn)整個學(xué)習(xí)研究順利地走向更深處。面對學(xué)生的一個個圖例，教師還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行必要的甄別，選取最有代表性的圖例來指導(dǎo)學(xué)生畫圖。同時，教師還要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解讀圖活動。經(jīng)過系列學(xué)習(xí)，學(xué)生們終于順利地解決了此問題，還掌握了用畫圖研究問題的基本方法。

四、以形助數(shù)，讓思考有靈性

以“復(fù)式條形統(tǒng)計圖”的教學(xué)為例，教師需要引導(dǎo)學(xué)生在繪制統(tǒng)計圖的過程中感悟數(shù)與形之間的密切聯(lián)系，學(xué)生可通過形的存在學(xué)習(xí)分析數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行相關(guān)的學(xué)習(xí)判斷和學(xué)習(xí)推理，從而助推學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，促進(jìn)有效學(xué)習(xí)的生成。

（一）構(gòu)建學(xué)習(xí)情境，引發(fā)認(rèn)知沖突

眾所周知，在統(tǒng)計與概率中，許許多多的統(tǒng)計圖都是很直觀的，它們蘊(yùn)含著較為豐富的數(shù)學(xué)信息，也隱藏著一些事物的發(fā)展規(guī)律。這就為教師順利地滲透以形助數(shù)策略提供了便利，也為學(xué)生有效的學(xué)習(xí)研究提供了有力的幫助。

為此，教師就可以結(jié)合教學(xué)的需要，創(chuàng)設(shè)一些有利于學(xué)生形成認(rèn)知沖突的學(xué)習(xí)情境，以便于學(xué)生對數(shù)形結(jié)合優(yōu)勢的感知，為順利地引入以形助數(shù)策略提供契機(jī)。教學(xué)之初，教師可以創(chuàng)設(shè)這樣的學(xué)習(xí)情境：“喜羊羊在做一個各個年級圖書角存書情況的調(diào)查，你們都看到了什么？”學(xué)生對屏幕上的畫面進(jìn)行觀察時，會發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)都是凌亂的，沒有一點頭緒，很難看得清楚。于是他們就會提出：這些信息需要好好地整理一下，太凌亂了，不利于學(xué)習(xí)和研究。

（二）解讀直觀圖形，促進(jìn)數(shù)據(jù)分析

對學(xué)生提出的建議，教師可以順勢而導(dǎo)：“那怎樣整理這些數(shù)據(jù)信息呢？”學(xué)生當(dāng)即議論開來，有的提出用統(tǒng)計表，有的提出用統(tǒng)計圖。面對此情景，教師就可以組織趣味的學(xué)習(xí)競賽活動，一部分學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計表的設(shè)計，一部分學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計圖的設(shè)計。

隨著學(xué)生學(xué)習(xí)研究的開展，教師可以引導(dǎo)學(xué)生去觀察這些學(xué)習(xí)成果，分析統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表哪一種更有優(yōu)勢。

綜上所述，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有機(jī)地滲透數(shù)形結(jié)合思想是提升學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)態(tài)的有力舉措，實施以形助數(shù)的教學(xué)實踐，更是提升課堂教學(xué)質(zhì)態(tài)的重要抓手，也是小學(xué)生數(shù)學(xué)思維得到較好發(fā)展的根本著力點。為此，教師就需要在最恰當(dāng)?shù)臅r候，在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)較為困惑的時候，巧妙地滲透以形助數(shù)的策略，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入的思考，促使他們把那些繁雜的數(shù)量信息進(jìn)行具體化、直觀化呈現(xiàn)，促進(jìn)學(xué)生的形象思維與抽象思維之間形成一座非常有意義的橋梁，從而實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的大幅度提升。