在對比想象中凸顯概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)

徐鵬陽 楊美

【摘 要】“認(rèn)識射線、直線和角”是蘇教版數(shù)學(xué)四年級上冊“垂線與平行線”單元第一課時的教學(xué)內(nèi)容。無限延長是射線和直線的重要特征，小學(xué)生理解此特征時存在一定的困難。因此，教師應(yīng)將靜態(tài)的教材轉(zhuǎn)化為動態(tài)的學(xué)材，經(jīng)由對比、想象，抽象出幾何概念，凸顯概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)本質(zhì)

一、教學(xué)設(shè)計

（一）創(chuàng)設(shè)情境，自然引入線段

師：同學(xué)們都讀過《西游記》，相信不少同學(xué)都特別喜歡神通廣大的孫悟空。今天這節(jié)課我們就跟著孫悟空一起來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。孫悟空要從花果山到蟠桃園摘桃子，土地公公給孫悟空指出三條路。如果你是孫悟空，你會選擇哪條路？（出示圖1）

生1：我選第二條路，因為這樣走最快。

生2：我也選第二條路，因為第二條路沒有那么彎，長度比較短。

師：孫悟空覺得第二條路還是太長了，你能設(shè)計一條最短的路嗎？

生：我認(rèn)為應(yīng)該把兩個點連起來，畫一條直線。

師：你們同意嗎？他的意思是畫一條直直的線連接兩點。仔細(xì)觀察，兩點之間這條最短的路，其實是我們學(xué)習(xí)過的什么知識？

生：線段。

師：還能找到更短的路嗎？（學(xué)生搖頭）看來兩點之間線段最短，這條線段的長度叫作兩點間的距離。

【設(shè)計意圖】創(chuàng)設(shè)趣味情境，讓學(xué)生在觀察比較中選出合適的路，并啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考“如何設(shè)計一條最短的路”。借助幾何圖形，使學(xué)生直觀感受到“兩點之間線段最短”，進(jìn)而自然引出兩點間的距離概念，為接下來在線段的基礎(chǔ)上認(rèn)識射線與直線做鋪墊。

（二）操作表征，建立知識聯(lián)系

師：孫悟空沿著最短的路到了蟠桃園，為了感謝大家，拿出了自己的寶貝——金箍棒?，F(xiàn)在你們就是孫悟空，你喊“變”，金箍棒就會發(fā)生變化。

生：變！

（動畫演示金箍棒一段無限延長）

師：看清楚了嗎？請大家閉上眼睛想象一下，如果不停地喊“變”，金箍棒會怎樣變化？想象好了就把眼睛睜開。想不想再讓金箍棒變一變？

生：變！

（動畫演示金箍棒兩端無限延長）

師：如果一直變下去，你能想象出金箍棒的變化嗎？可以一邊想一邊用手勢比畫一下。金箍棒不僅能變長、變短，還能變粗、變細(xì)?，F(xiàn)在金箍棒變成了一條線段。你能將剛剛頭腦中想象出的變化，在線段上表示出來嗎？

師：下面我們來聽聽同學(xué)們的想法。（依次展示圖2、圖3）

生1：因為金箍棒是向右邊一直變長的，所以我將線段往右邊延長，并且標(biāo)了個箭頭，表示往右邊一直延長。

生2：金箍棒一直向右變長，所以我在后面畫了省略號，表示可以向右無限延長。

師：無限延長是什么意思？誰聽懂了？

生1：無限延長就是沒有端點攔著它，沒有限制。

生2：無限延長就是可以一直延長，不停地延長，沒有盡頭。

師：看來同學(xué)們理解了無限延長的含義，我們再來看這幅作品。（展示圖4）

生：我也是將這條線段向右邊無限延長，但我覺得不需要畫省略號，只要不畫出端點就可以了。

師：不畫省略號也能表示無限延長嗎？

生：可以，因為他是把線往右邊畫的，肯定是向右延長。而且他剛剛說了沒有畫端點，就沒有東西擋著，所以可以無限延長。

師：比一比三幅作品，雖然同學(xué)們表示變化的方式不同，但有什么相同點？

生1：畫的都是直直的線，而且都是向右邊延長。

生2：我覺得他說得不夠準(zhǔn)確，三幅圖都是向右無限延長，不過有的是畫箭頭和省略號，有的是不畫端點。

師：將線段的一端無限延長，就得到了一條射線。用一種規(guī)范、簡潔的方法來表示射線，你會選哪幅作品？

生1：我選圖4，因為這幅圖不用畫省略號和箭頭，看上去更簡潔。

生2：我也選圖4，因為這幅圖能表示出向右無限延長，看得更清楚。

師：你們都同意嗎？那將自己的作品修改一下，同時想一想金箍棒第二次的變化該怎樣調(diào)整？

生：第二次金箍棒是朝著兩邊無限延長的，所以我就朝兩邊畫，表示兩端都可以無限延長。（展示圖5）

師：你們都同意嗎？比一比，這兩次變化有什么不同點？

生：第一次是一端無限延長，第二次是兩端無限延長。

師：將線段的兩端無限延長，就得到了一條直線。

師：將直線與線段、射線比一比，有什么相同點？有什么不同點？在四人小組里交流交流。

生1：它們的相同點是都是直直的線，不同點是線段有兩個端點，射線有一個端點，直線沒有端點。

生2：它們的不同點是線段是固定不動的，射線一端可以無限延長，直線的兩端都可以無限延長。

生3：線段的長度是可以測量的，射線和直線長度都是無限的，沒法測量。

師：正如同學(xué)們所說，線段、射線和直線都是直直的線，它們的端點數(shù)各不相同。線段的長度是有限的，而今天認(rèn)識的射線與直線的長度是無限的。

師：孫悟空穿越到了圖形王國，遺失了他的金箍棒。這時他遇到兩個妖怪的攻擊，你能幫孫悟空選出稱手的兵器，同時擊倒這兩個妖怪嗎？（出示圖6）

生：我選直線。因為一個妖怪在左邊，一個妖怪在右邊。直線兩端都能無限延長，所以可以同時擊倒兩個妖怪。

師：為什么不選線段或射線呢？

生：因為線段的長度只有2米，打不到妖怪。射線只有一端可以無限延長，打不到另一邊的妖怪。

【設(shè)計意圖】學(xué)生在畫圖操作的過程中，自主表征射線與直線，并通過對比交流與空間想象加深對無限延長的認(rèn)識，同時建立射線與線段、直線與線段、射線與直線之間的關(guān)聯(lián)。在學(xué)習(xí)評價中創(chuàng)設(shè)挑選兵器的問題情境，學(xué)生結(jié)合線段、射線與直線的特征解釋自己做出選擇的依據(jù)，進(jìn)而豐富、明晰對特征的理解與認(rèn)識。

（三）舊圖新看，豐富概念認(rèn)知

師：其實，我們以前學(xué)習(xí)的圖形中也藏著今天認(rèn)識的“線”。看，這是一條射線。從這個端點再畫一條射線，就變成了什么圖形？

生：角。

師：誰來指一指角的頂點和兩條邊？

（學(xué)生在黑板上指）

師：用今天的眼光來看角，你有了哪些新的認(rèn)識？和同桌說一說。

生1：角的兩條邊是兩條射線。

生2：這兩條射線都是從一個端點出發(fā)的，擁有一個共同的端點。

師：正如同學(xué)們所說，從一點引出的兩條射線可以組成角。通過以前的學(xué)習(xí)，我們知道這樣一句話：“角的大小與兩條邊張開的大小有關(guān)，與邊的長短無關(guān)?！睂W(xué)習(xí)完今天的知識，你能解釋下為什么“角的大小與邊的長短無關(guān)”嗎？

生1：因為角的兩條邊都是射線，長度都是無限的，所以和邊的長短無關(guān)。

生2：因為射線可以無限延長，不管怎么延長，方向都是不變的，所以角的大小也不會變。

師：通過今天的學(xué)習(xí)，我們對角的認(rèn)識更加豐富了。其實角與直線也有聯(lián)系。這里有兩條直線，現(xiàn)在有角嗎？想一想，這兩條直線通過怎樣的操作就能得到角呢？（出示圖7）

生：雖然看上去沒有角，但是直線是可以無限延長的，所以可以延長到交叉的時候，就能得到角了。（出示圖8）

師：看來直線與角也有著密切的聯(lián)系。其實，角是描述兩條直線位置關(guān)系的重要工具，在以后的學(xué)習(xí)中，我們就能感受到角的作用。

【設(shè)計意圖】學(xué)生結(jié)合所學(xué)新知，用新的眼光重新審視角，從而建立射線與角的聯(lián)系。學(xué)習(xí)評價呈現(xiàn)兩個問題，一個是讓學(xué)生運(yùn)用射線的特征解釋“角的大小與邊的長短無關(guān)”，一個是讓學(xué)生結(jié)合直線特征進(jìn)行問題的思辨。學(xué)生經(jīng)歷解釋思辨的過程，豐富、加深了對射線、直線與角的認(rèn)知，凸顯圖形概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

二、教學(xué)反思

（一）借助操作想象，勾連新知與舊知

教材將燈射出的光線看作射線，隨后在線段的基礎(chǔ)上引入射線與直線的概念，并通過比較線段、射線、直線的不同點，豐富學(xué)生對射線、直線、線段特征的認(rèn)識。但燈射出的光線與“把線段的一端無限延長”并不能進(jìn)行有效的關(guān)聯(lián)，學(xué)生難以在頭腦中建立較為清晰、準(zhǔn)確的概念。僅僅關(guān)注三者的不同點，淡化了線段、射線和直線的共同特征——直，進(jìn)而導(dǎo)致學(xué)生獲得的都是碎片化的知識點，無法建立知識體系，觸及不到數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

因此，第一個學(xué)習(xí)任務(wù)首先通過動畫演示金箍棒的兩次變化，讓學(xué)生充分經(jīng)歷將線段一端無限延長和兩端無限延長的過程，同時通過空間想象，初次感受無限延長。隨后，將金箍棒抽象為線段，讓學(xué)生在線段上表示出兩次金箍棒的變化。不同層次的學(xué)生會呈現(xiàn)出不同的作品：有的學(xué)生用箭頭表示延長的方向，有的學(xué)生用省略號表示無限延長，有的學(xué)生能規(guī)范地畫出射線。展示作品，重在讓學(xué)生用自己的語言表達(dá)對無限延長的理解，進(jìn)而豐富對無限延長的認(rèn)識。呈現(xiàn)學(xué)生的多元表征后，教師將這些作品放在一起讓學(xué)生進(jìn)行比較，說說這些作品的相同點。在學(xué)生形成共性化的認(rèn)識后，教師順勢引出射線的概念，并啟發(fā)學(xué)生思考“用一種規(guī)范、簡潔的方法來表示射線，你會選哪幅作品”，從而幫助學(xué)生在頭腦中建構(gòu)射線的數(shù)學(xué)模型。認(rèn)識射線后，教師引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)習(xí)活動經(jīng)驗進(jìn)行遷移，把第二次變化的作品進(jìn)行調(diào)整并將兩次變化進(jìn)行對比，自然引出直線的概念。最后，教師組織學(xué)生比較直線、射線與線段的相同點與不同點，在建構(gòu)知識體系的同時感受到本節(jié)課的學(xué)習(xí)是由有限向無限的拓展。

（二）運(yùn)用新的眼光，完成知識的再建構(gòu)

在認(rèn)識了射線、直線后，我們設(shè)計了第二個學(xué)習(xí)任務(wù)“你對角有了哪些新的認(rèn)識”，引導(dǎo)學(xué)生用新的眼光重新審視曾經(jīng)認(rèn)識的圖形——角，促成知識的再建構(gòu)。

在匯報對角的新認(rèn)識時，許多學(xué)生都能聯(lián)想到“角的大小與邊的長短無關(guān)”這一舊知。因此，我們在學(xué)習(xí)評價中讓學(xué)生用本節(jié)課所學(xué)的知識解釋“角的大小與兩條邊張開的大小有關(guān)，與邊的長短無關(guān)”。通過匯報交流，學(xué)生形成共性化的數(shù)學(xué)認(rèn)知，在知識再建構(gòu)的過程中緊密關(guān)聯(lián)射線與角，為之后建立角與直線的聯(lián)系積累了學(xué)習(xí)、活動經(jīng)驗。

（三）經(jīng)歷解釋思辨的過程，豐富、深化對特征的認(rèn)識

學(xué)生對知識的理解與認(rèn)識是否清晰，可以通過設(shè)計學(xué)習(xí)評價得到反饋。在設(shè)計學(xué)習(xí)評價時，教師可以創(chuàng)設(shè)問題情境讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行解釋，也可以呈現(xiàn)容易混淆、誤判的變式問題讓學(xué)生進(jìn)行思辨。大部分學(xué)生都能根據(jù)問題情境的需要選擇最合適的“兵器”——直線，并能清楚地解釋選擇的原因。通過運(yùn)用知識解釋選擇理由的過程，學(xué)生進(jìn)一步感受到線段、射線與直線的不同點，并且對“無限延長”這一特征的理解更加深入。

總之，圖形概念的教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷自主表征、觀察比較的過程，讓學(xué)生通過空間想象主動建立知識之間的聯(lián)系，在頭腦中建構(gòu)清晰的數(shù)學(xué)模型，凸顯圖形概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)。