大單元視角下自然數(shù)概念教學(xué)的思考與實(shí)踐

張優(yōu)幼

【摘? ?要】自然數(shù)概念是小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要分支。從大單元視角組織教學(xué)，關(guān)注教學(xué)的共性，區(qū)分不同階段的教學(xué)屬性，基于學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)開展教學(xué)活動(dòng)，有助于學(xué)生感悟自然數(shù)的豐富內(nèi)涵。通過(guò)比較自然數(shù)概念的本質(zhì)屬性，學(xué)生能夠更好地建構(gòu)抽象的數(shù)概念，促進(jìn)數(shù)感培養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】大單元;自然數(shù);計(jì)數(shù)單位;概念教學(xué)

自然數(shù)概念的教學(xué)可以分為四個(gè)階段：“20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)、100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)、萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)、大數(shù)的認(rèn)識(shí)”。這四個(gè)階段的自然數(shù)概念教學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別。教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)基于大單元視角，關(guān)注自然數(shù)概念的本質(zhì)屬性，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)數(shù)的過(guò)程中感悟計(jì)數(shù)單位的疊加，讓學(xué)生在寫數(shù)、讀數(shù)和多元表征過(guò)程中感悟數(shù)的含義。如何在不同階段實(shí)現(xiàn)數(shù)概念本質(zhì)的同化和順應(yīng)？怎樣選取合適的結(jié)構(gòu)化學(xué)具，設(shè)計(jì)具有層次的教學(xué)活動(dòng)？筆者試圖從大單元視角出發(fā)，以點(diǎn)及面，把一節(jié)課的教學(xué)思考推廣到一類系列課中，將理性的思考與教學(xué)實(shí)踐結(jié)合起來(lái)，引發(fā)對(duì)階段性學(xué)法遷移的深度研究。

一、關(guān)注數(shù)概念的本質(zhì)屬性，解讀教學(xué)的共性

教師只有很好地把握自然數(shù)概念的本質(zhì)屬性，才能更好地解讀這一類系列課的教學(xué)共性。自然數(shù)概念的本質(zhì)可以從以下幾個(gè)方面來(lái)解讀。

（一）計(jì)數(shù)單位的疊加

自然數(shù)是由若干個(gè)計(jì)數(shù)單位疊加得到的。自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位有“一（個(gè)）、十、百、千……”。數(shù)（shù）來(lái)源于數(shù)（shǔ），自然數(shù)概念課的起點(diǎn)是數(shù)數(shù)。數(shù)數(shù)是基于計(jì)數(shù)單位的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。學(xué)生首先從小到大或從大到小“一個(gè)一個(gè)”地?cái)?shù)（非進(jìn)位制），接著過(guò)渡到“一組一組”地?cái)?shù)（進(jìn)位制）。這個(gè)“一組”，就是進(jìn)位，就是計(jì)數(shù)單位，“一組一組”地?cái)?shù)就是計(jì)數(shù)單位的疊加過(guò)程。整十、整百?gòu)男〉酱髷?shù)，則是疊加計(jì)數(shù)單位“十”和“百”。往后延伸，小數(shù)和分?jǐn)?shù)也可以理解為由小數(shù)計(jì)數(shù)單位和分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位疊加產(chǎn)生。只是它們的計(jì)數(shù)單位是“均分”得到的，但在計(jì)數(shù)單位疊加的方法上與自然數(shù)具有一致性。

（二）位值制的統(tǒng)一

十進(jìn)制源于生活中數(shù)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，人們往往將十個(gè)物品作為一個(gè)整體。以此類推，產(chǎn)生了將一百、一千等作為一個(gè)整體的按群計(jì)數(shù)法。教師可以借助十進(jìn)制計(jì)數(shù)法描述數(shù)是怎樣由計(jì)數(shù)單位組成的。位值制對(duì)于學(xué)生而言則比較陌生，它是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的表現(xiàn)形式，賦予不同位置不同的含義，即相同的數(shù)字填寫在不同的位置上表示不同的含義。例如3202，百位的2表示2個(gè)百，個(gè)位的2表示2個(gè)一。位值制使計(jì)數(shù)單位疊加的過(guò)程可視化。某一位置上沒(méi)有相應(yīng)的計(jì)數(shù)單位，需要用0來(lái)占位。各個(gè)階段的自然數(shù)教學(xué)都以十進(jìn)制和位值制作為基石。學(xué)生把握自然數(shù)系列課中十進(jìn)制和位值制這條隱形的主線，就能循序漸進(jìn)地認(rèn)識(shí)更大的數(shù)。

（三）數(shù)感的培養(yǎng)

雖然自然數(shù)概念教學(xué)分布在各個(gè)學(xué)段，但數(shù)感培養(yǎng)的目標(biāo)是相同的。因此，即使在不同的自然數(shù)教學(xué)課堂中，也應(yīng)該讓學(xué)生通過(guò)齊性學(xué)具（具有直觀性、齊性、結(jié)構(gòu)性的學(xué)具）充分感悟數(shù)與數(shù)量的關(guān)系，重視估計(jì)意識(shí)的培養(yǎng)，使學(xué)生形成主動(dòng)理解數(shù)和不自覺(jué)利用數(shù)知識(shí)的能力。然而，由于學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)具有階段性，不同階段數(shù)感培養(yǎng)的側(cè)重點(diǎn)有些不同。例如：20以內(nèi)數(shù)的教學(xué)過(guò)程更注重引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)有基數(shù)、序數(shù)兩層含義;100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)、萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)的教學(xué)過(guò)程側(cè)重于讓學(xué)生感受位值制思想;大數(shù)的認(rèn)識(shí)的教學(xué)過(guò)程側(cè)重于讓學(xué)生感受數(shù)級(jí)和無(wú)限思想。

二、區(qū)分不同階段的教學(xué)屬性，體現(xiàn)教學(xué)的一致性

雖然自然數(shù)概念的本質(zhì)具有共性，但不同階段的自然數(shù)教學(xué)是有不同側(cè)重點(diǎn)的。教師應(yīng)基于大單元視角，立足自然數(shù)概念的整體性、結(jié)構(gòu)性和一致性，在不同的階段選擇合適的素材，發(fā)揮齊性教具的作用，運(yùn)用合適的教學(xué)方式讓教學(xué)更具有層次性和學(xué)段性。

（一）學(xué)習(xí)素材的選擇策略

學(xué)習(xí)素材是開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)、感悟數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的基礎(chǔ)。在素材的選擇上，教師要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。第一階段可以從生活素材出發(fā)，重視自然數(shù)的基數(shù)與序數(shù)兩層含義。例如：在“11～20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)數(shù)一堆無(wú)序的小棒的活動(dòng)來(lái)讓學(xué)生理解11這個(gè)數(shù)的組成，再在數(shù)尺上找到這個(gè)數(shù)，感悟基數(shù)和序數(shù)這雙層含義（如圖1）。第二、三階段可以從生活素材走向數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化素材，凸顯位值制思想。第四階段可以將學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)作為媒介，開展類比、遷移的開放式學(xué)習(xí)促進(jìn)數(shù)感的培養(yǎng)。例如：在“大數(shù)的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中，教師呈現(xiàn)小、中、大三個(gè)杯子的素材，讓學(xué)生估測(cè)哪個(gè)杯子大約可以裝一萬(wàn)粒米，再用一萬(wàn)粒米作為度量單位認(rèn)識(shí)更大的數(shù)。

（二）齊性學(xué)具的不同價(jià)值

在數(shù)的認(rèn)識(shí)中，常用的齊性學(xué)具可以分為三類：（1）直觀操作型學(xué)具。例如：生活物件、圓片、第納斯方塊、小棒。這類學(xué)具有助于培養(yǎng)學(xué)生的量感，形成對(duì)于數(shù)的直觀認(rèn)知。其中小棒的使用有助于學(xué)生感悟計(jì)數(shù)單位，促進(jìn)十進(jìn)制概念的建構(gòu)。（2）半直觀結(jié)構(gòu)型學(xué)具。例如：點(diǎn)子圖。它的結(jié)構(gòu)化更明顯，學(xué)生可以通過(guò)數(shù)量多少帶來(lái)的視覺(jué)刺激感受數(shù)的大小。學(xué)生可以點(diǎn)數(shù)、圈數(shù)，留下操作痕跡，讓數(shù)數(shù)過(guò)程可視化，便于過(guò)程性反饋。（3）抽象理解型學(xué)具。例如：計(jì)數(shù)器、數(shù)位筒、算盤、數(shù)位圖。計(jì)數(shù)器有助于抽象化數(shù)數(shù)活動(dòng)的開展，便于學(xué)生理解位值制。教師要結(jié)合教學(xué)需要與學(xué)生認(rèn)知，選擇合適的齊性學(xué)具，助力教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。

（三）學(xué)習(xí)方式的序列遞進(jìn)

各個(gè)階段自然數(shù)概念教學(xué)是有共性的，將新知識(shí)與舊知識(shí)進(jìn)行溝通，能幫助學(xué)生更好地建構(gòu)認(rèn)知體系?；诖髥卧暯?，教師應(yīng)當(dāng)充分利用自然數(shù)概念教學(xué)的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)、序列遞進(jìn)的學(xué)習(xí)活動(dòng)。如在低段課堂中充分發(fā)揮齊性學(xué)具的作用，調(diào)動(dòng)學(xué)生的感官進(jìn)行學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生擺、數(shù)、圈，在操作中反思，在反思中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);在高段課堂中不斷喚醒舊知，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與到知識(shí)的構(gòu)建中。教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多元表征方式理解數(shù)的內(nèi)涵，通過(guò)圖式表征抽象到符號(hào)表征，完善數(shù)概念的建構(gòu)。

三、基于認(rèn)知特征的教學(xué)設(shè)計(jì)，關(guān)注數(shù)概念的形成過(guò)程

教師基于大單元教學(xué)框架進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，力求引導(dǎo)學(xué)生感悟自然數(shù)概念的本質(zhì)。不同階段的自然數(shù)概念教學(xué)的重點(diǎn)不同，呈現(xiàn)的學(xué)材各具特點(diǎn)。其中“10000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”一課包含了自然數(shù)認(rèn)識(shí)的所有要素，在數(shù)位、數(shù)級(jí)的建構(gòu)過(guò)程中有重要的承接作用。教學(xué)時(shí)需要進(jìn)一步深化十進(jìn)制和位值制思想，為“億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)夯實(shí)基礎(chǔ)。

（一）內(nèi)容整合依序遞進(jìn)，關(guān)注數(shù)概念的形成

數(shù)量多少是直觀的，數(shù)概念是抽象的。筆者教學(xué)人教版教材二年級(jí)下冊(cè)“10000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，呈現(xiàn)了2577顆星星的主題圖，借助量感培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。請(qǐng)學(xué)生先估數(shù)，無(wú)論估得對(duì)不對(duì)，學(xué)生都產(chǎn)生了數(shù)數(shù)的需要。學(xué)生在圈一圈、數(shù)一數(shù)的過(guò)程中，感悟數(shù)是由計(jì)數(shù)單位疊加得到的。學(xué)生數(shù)數(shù)策略不同（如圖2），是因?yàn)橛?jì)數(shù)單位的選擇不同。怎樣數(shù)得又對(duì)又快？教師可引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化數(shù)數(shù)策略。

【教學(xué)片段1】

師：星星圖上的2577，如果用小正方體圖怎么表示？在計(jì)數(shù)器上怎么撥？

（學(xué)生在小正方體千、百、十、個(gè)的模型上圈2577，在計(jì)數(shù)器的相應(yīng)數(shù)位上畫珠子）

師小結(jié)：千位有2顆珠子，在千位寫2;百位有5顆珠子，在百位寫5;十位有7顆珠子，在十位寫7;個(gè)位有7顆珠子，在個(gè)位寫7。一起讀一讀這個(gè)數(shù)。

生：二千五百七十七。

師：為什么星星圖、小正方體、計(jì)數(shù)器這三幅圖都可以表示2577呢？

生：因?yàn)槎加?個(gè)千、5個(gè)百、7個(gè)十和7個(gè)一組成。

片段中，教師借助星星圖幫助學(xué)生初步建構(gòu)萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的組成，并對(duì)比星星圖、第納斯方塊和計(jì)數(shù)器幫助學(xué)生理解2577這個(gè)數(shù)的組成。教師從圖式表征逐步抽象到符號(hào)表征，豐富數(shù)的內(nèi)涵，將讀寫法與數(shù)的組成進(jìn)行整合，幫助學(xué)生形成數(shù)的概念。

（二）按計(jì)數(shù)單位數(shù)數(shù)，體會(huì)數(shù)概念的本質(zhì)

位值制思想對(duì)于二年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較抽象，課堂上要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知障礙。本節(jié)課中，筆者發(fā)揮齊性學(xué)具的作用，把抽象知識(shí)形象化。學(xué)生通過(guò)計(jì)數(shù)單位的疊加創(chuàng)造出新的數(shù)，感悟十進(jìn)制和位值制思想，體會(huì)自然數(shù)概念的本質(zhì)。

【教學(xué)片段2】

師：剛才同學(xué)們都撥出了2577。請(qǐng)你在計(jì)數(shù)器上選一個(gè)數(shù)位再撥3顆珠子。撥好后，寫出這個(gè)數(shù)，讀給同桌聽(tīng)，向同桌說(shuō)出它的組成。

生：我把3顆珠子撥在個(gè)位，個(gè)位滿十，向十位進(jìn)一。讀作：二千五百八十。2580是由2個(gè)千、5個(gè)百和8個(gè)十組成的。

師（用計(jì)數(shù)器呈現(xiàn)2607）：你知道這位同學(xué)又是怎么撥的嗎？

生：他把3顆珠子撥在了十位上。十位滿十，向百位進(jìn)一。讀作：二千六百零七，2607是由2個(gè)千、6個(gè)百和7個(gè)一組成的。

師：不同數(shù)位撥珠得到了不同的兩個(gè)數(shù)。2607和2580都有0，讀法上有什么不同嗎？

生：萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的讀數(shù)、寫數(shù)與千以內(nèi)的數(shù)一樣，中間的0要讀，末尾的0不讀。

生：還可以在2577的百位上撥3顆珠子變成2877，在千位上撥3顆珠子變成5577。

師：5577這個(gè)數(shù)有什么特別？

生：百位的5表示5個(gè)百，千位的5表示5個(gè)千。兩個(gè)7分別是7個(gè)十和7個(gè)一。

師：同樣的數(shù)在不同的數(shù)位上表示的意義是不同的。通過(guò)剛才的選數(shù)位撥珠，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：哪一位上滿十就要向前一位進(jìn)一。

撥珠子的活動(dòng)，是為了讓學(xué)生用不同的計(jì)數(shù)單位進(jìn)行數(shù)數(shù)（如圖3）。3顆珠子撥在個(gè)位，是計(jì)數(shù)單位“一”疊加;撥在十位，是計(jì)數(shù)單位“十”疊加……學(xué)生體會(huì)到數(shù)是由計(jì)數(shù)單位疊加得到的，相同數(shù)量的珠子在不同數(shù)位上表示的含義是不同的，進(jìn)一步體會(huì)位值制和十進(jìn)制。在操作過(guò)程中，比較聯(lián)系數(shù)的讀寫法和組成，讓學(xué)習(xí)活動(dòng)更具層次性和整體性。

（三）逆向開放練習(xí)，培養(yǎng)數(shù)感

數(shù)概念教學(xué)需要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。數(shù)感的培養(yǎng)可以通過(guò)感悟數(shù)與量的關(guān)系，也可以通過(guò)感悟數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。例如：“10000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”新課內(nèi)容結(jié)束后，筆者引導(dǎo)學(xué)生逆向思考。筆者呈現(xiàn)一條只標(biāo)著0和10000的數(shù)軸，讓學(xué)生估一估、數(shù)一數(shù)得到的兩個(gè)數(shù)“5577和2577”的位置。學(xué)生在探究中會(huì)想到將線段平均分成10份，先找到1000的位置，再進(jìn)一步借助計(jì)數(shù)單位“千”來(lái)度量。筆者通過(guò)估數(shù)和驗(yàn)證的過(guò)程逆向倒推，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

數(shù)概念的練習(xí)設(shè)計(jì)指向能力的提升，旨在讓學(xué)生靈活運(yùn)用自然數(shù)的知識(shí)。筆者呈現(xiàn)峨眉山、廬山、珠穆朗瑪峰和臺(tái)州白云山的高度數(shù)據(jù)，讓學(xué)生用畫圖的方式大致表示出四座山的高度。學(xué)生有的選擇在數(shù)軸上表示數(shù)，也有的讓山峰直立呈現(xiàn)，用自己定的線段長(zhǎng)度代表1000米，再創(chuàng)造性地表示各山峰的高度（如圖4）。這個(gè)練習(xí)的設(shè)計(jì)再次逆向運(yùn)用了數(shù)的組成，即將萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)按計(jì)數(shù)單位進(jìn)行拆分。教師借助學(xué)生身邊熟悉的白云山高度，以156米這個(gè)千以內(nèi)的數(shù)，讓學(xué)生進(jìn)一步感悟比千大的萬(wàn)以內(nèi)數(shù)。

總之，基于大單元視角，思考自然數(shù)概念教學(xué)的相同和不同之處，分析不同階段數(shù)概念的本質(zhì)和學(xué)生認(rèn)知特征之間的關(guān)系，有利于促進(jìn)數(shù)概念的意義建構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。教學(xué)中，教師依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯關(guān)系，結(jié)合學(xué)生認(rèn)知上的難點(diǎn)、興奮點(diǎn)、差異點(diǎn)，合理選擇學(xué)材，凸顯學(xué)材的典型性、適切性和新穎性;充分發(fā)揮齊性學(xué)具的價(jià)值，在多元表征中讓學(xué)生感悟數(shù)的內(nèi)涵，理解數(shù)的意義，體會(huì)數(shù)的關(guān)系，構(gòu)建數(shù)的概念。而對(duì)于自然數(shù)概念的意義建構(gòu)，需要貫穿在自然數(shù)教學(xué)的不同階段。教師要引導(dǎo)學(xué)生以類聚合，以序遞進(jìn)，以網(wǎng)鏈接，在直觀感悟和經(jīng)驗(yàn)的積累中，逐步理解，遷移應(yīng)用。

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（浙江省臺(tái)州市椒江區(qū)教育教學(xué)發(fā)展中心? ?318000）