“適度優(yōu)化”燭照數(shù)學(xué)思維的光芒

范林偉 曹炯

【摘? ?要】學(xué)生在小學(xué)四年級時(shí)已經(jīng)具備了用量角器量角和畫角的經(jīng)驗(yàn)，他們進(jìn)入中學(xué)之后還將學(xué)習(xí)用尺規(guī)畫角。由于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在小學(xué)階段引入了“尺規(guī)作圖”，“用尺規(guī)畫角”一課應(yīng)運(yùn)而生。通過本課教學(xué)，學(xué)生既豐富了畫角的技能，又拓寬了對尺規(guī)作圖的理解，深刻感悟數(shù)學(xué)作圖的價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】適度優(yōu)化;尺規(guī)作圖;畫角;幾何直觀

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）在小學(xué)階段新增了“尺規(guī)作圖”的內(nèi)容，主要包括用尺規(guī)作三角形的周長、用尺規(guī)作等長線段和用尺規(guī)作三角形等，那么能否將“用尺規(guī)畫角”進(jìn)一步拓展?jié)B透到小學(xué)階段呢？經(jīng)過數(shù)次實(shí)踐，“用尺規(guī)畫角”的教學(xué)路徑逐步清晰，它既豐富了學(xué)生畫角的技能，鞏固了他們尺規(guī)作圖的方法，而且還使學(xué)生深刻感悟了這種新的作圖方式的數(shù)學(xué)價(jià)值。

【課前慎思】

隨著“2022年版課標(biāo)”的頒布，“尺規(guī)作圖”作為新增內(nèi)容進(jìn)入教師的視野。為了使學(xué)生深刻感受“尺規(guī)”的功能及其作圖的數(shù)學(xué)價(jià)值，本節(jié)課教師立足畫等長線段、畫三角形的教學(xué)基礎(chǔ)，在六年級設(shè)計(jì)“用尺規(guī)畫角”一課，使學(xué)生在畫角中進(jìn)一步熟悉尺規(guī)作圖的數(shù)學(xué)道理與基本方法，充分體驗(yàn)“數(shù)學(xué)好玩”的魅力，為中小銜接做好準(zhǔn)備。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下。

1.會(huì)用尺規(guī)作圖的方法作一個(gè)角等于已知角，能作一個(gè)角等于兩個(gè)角的和，會(huì)驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和是180度。

2.經(jīng)歷用尺規(guī)畫角、驗(yàn)證三角形內(nèi)角和的過程，提高動(dòng)手操作、推理論證的能力，進(jìn)一步發(fā)展推理意識與幾何直觀。

3.感受尺規(guī)作圖的數(shù)學(xué)價(jià)值與魅力，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

【教學(xué)實(shí)踐】

一、關(guān)聯(lián)經(jīng)驗(yàn)，探索新知

師：同學(xué)們，這節(jié)課我們將要挑戰(zhàn)一個(gè)新任務(wù)——用尺規(guī)畫角。

1.嘗試畫角

師（呈現(xiàn)任務(wù)一，如圖1）：第一個(gè)任務(wù)是用尺規(guī)作圖的方法畫一個(gè)與∠A同樣大小的角。注意，畫角時(shí)請保留作圖痕跡，便于大家能更快地看懂你的想法。

（學(xué)生畫角，教師巡視）

2.交流反饋

師（投影呈現(xiàn)學(xué)生作品，如圖2）：大家能看懂嗎？請這位同學(xué)說一說是怎樣畫出這個(gè)角的。

生：首先，我把這個(gè)角的兩個(gè)端點(diǎn)連起來，變成了一個(gè)三角形。（教師在圖上標(biāo)出三角形B、C兩個(gè)頂點(diǎn)）接著，我在右邊畫了一條射線，用圓規(guī)量出AB的長度，在射線上截取和AB同樣的一個(gè)長度;用圓規(guī)量出AC的長度，以A' 為中心畫出一段弧;用圓規(guī)量出BC的長度，以B' 為中心再畫出一段弧。最后，我把這個(gè)交點(diǎn)和A' 點(diǎn)連起來。

師：誰聽懂了？他是怎么想的？

生：他先畫了一個(gè)三角形，再畫了和它一樣大的三角形，這個(gè)角就畫好了。

師（呈現(xiàn)作品2，如圖3）：讓我們再來聽聽這位同學(xué)的想法！

生：我的方法和剛才這位同學(xué)的方法是一樣的，只是我沒有把第三條邊補(bǔ)出來。

師（小結(jié)）：看來大家都是先在這個(gè)角的基礎(chǔ)上創(chuàng)造了一個(gè)三角形，然后通過畫三角形的方法畫出了一個(gè)與∠A同樣大小的角。

（設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生自覺地將畫線段與畫三角形的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)遷移到畫角的探究過程中，成功畫出了與∠A同樣大小的角。這說明學(xué)生能夠借助用尺規(guī)作三角形的辦法來畫角。）

3.豐富體驗(yàn)

師（呈現(xiàn)任務(wù)二，如圖4）：銳角會(huì)畫了，其他的角你們會(huì)畫嗎？請大家拿出練習(xí)紙，分別畫出與∠B、∠C一樣大的角。

（學(xué)生畫角，教師巡視）

師：誰愿意和大家分享一下，你是怎么畫出和∠B同樣大的角的？

（師投影呈現(xiàn)學(xué)生作品，如圖5）

生：首先，我在原來這個(gè)角上，把這兩個(gè)點(diǎn)連起來，補(bǔ)全了一個(gè)鈍角三角形。然后，我畫了一條射線，用圓規(guī)在上面畫了一條與AB一樣長的線段，用圓規(guī)量出線段BC的長度，并以這個(gè)點(diǎn)（射線頂點(diǎn)）為圓心、BC為半徑畫弧，量出這段連接線AC的長度，以這個(gè)點(diǎn)為圓心再畫了一段弧。最后，我把這個(gè)交點(diǎn)和頂點(diǎn)連起來。

師：仔細(xì)觀察右邊這個(gè)角的作圖痕跡，他畫對了嗎？

生：畫對了。

師：你們畫對了嗎？請用尺規(guī)作圖的方法幫你的同桌也來驗(yàn)證一下。

（同桌相互驗(yàn)證）

（設(shè)計(jì)意圖：教師改變學(xué)習(xí)任務(wù)再次驅(qū)動(dòng)學(xué)生畫角，使他們在畫鈍角、直角的過程中熟練掌握畫角的技能，為后續(xù)學(xué)習(xí)優(yōu)化方法做準(zhǔn)備。）

4.微課學(xué)習(xí)

師：剛才大家借助畫三角形的方法畫出了指定大小的角。還有不同的畫角方法嗎？我們一起來看一個(gè)微課！（如圖6）

（學(xué)生觀看微課后，教師呈現(xiàn)關(guān)鍵步驟）

師：你們都看懂了嗎？微課中的畫法和你們剛才的畫法有什么不同呢？

生：微課中的畫法是任意定一個(gè)長度，畫一條弧。

生：這條弧與角的兩邊各有一個(gè)交點(diǎn)。

生：比我們多了一次用圓規(guī)畫弧。

師：請大家再仔細(xì)觀察，微課中的畫法和大家剛才的畫法，有什么相同的地方？

（學(xué)生沒有反應(yīng)，教師追問）

師：微課中的畫法有沒有創(chuàng)造出三角形呢？

生：有的，把點(diǎn)B和點(diǎn)C連起來之后就是一個(gè)三角形。

師：仔細(xì)觀察，微課中創(chuàng)造的這個(gè)三角形有什么特別之處？

生：這是一個(gè)等腰三角形。

生：我發(fā)現(xiàn)微課中的畫法也是借助畫三角形來畫角的。

5.優(yōu)化畫角

師：微課中介紹的這種方法，在后面的學(xué)習(xí)中你會(huì)發(fā)現(xiàn)它的好處的。下面，我們就來練習(xí)一下這個(gè)新的方法，請?jiān)趧偛诺膬蓚€(gè)角中任選一個(gè)，用微課中介紹的新方法來畫一畫。

（學(xué)生畫角，教師指導(dǎo)）

師：你們畫好了嗎？誰來說說你是怎么用新方法來畫角的？

（師投影呈現(xiàn)學(xué)生作品，如圖7）

生：我先用圓規(guī)在原來的角上畫了一條弧，標(biāo)出點(diǎn)B和點(diǎn)A，然后以CA為半徑在下面的射線上畫一條弧，再以AB的長度為半徑畫一條弧，最后把這兩條弧的交點(diǎn)E和射線的端點(diǎn)連起來。

（設(shè)計(jì)意圖：教師通過微課向?qū)W生介紹了畫角的新方法，并引導(dǎo)他們將其與之前的方法進(jìn)行比較。這既有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光，發(fā)現(xiàn)此方法背后的數(shù)學(xué)原理，又有利于發(fā)展學(xué)生的推理意識，發(fā)現(xiàn)優(yōu)化方法的數(shù)學(xué)本質(zhì)。）

二、拓展轉(zhuǎn)化，思維挑戰(zhàn)

1.理解問題

師（呈現(xiàn)任務(wù)三，如圖8）：同學(xué)們，我們再來挑戰(zhàn)一個(gè)任務(wù)“畫一個(gè)角，使它等于∠1+∠2”。

（學(xué)生畫角，教師巡視）

（設(shè)計(jì)意圖：從“畫一個(gè)角”到“畫一個(gè)與兩角度數(shù)之和相等的角”對學(xué)生來說是一次思維的挑戰(zhàn)，是培養(yǎng)學(xué)生作圖能力的有效途徑，也為學(xué)生后續(xù)用尺規(guī)作圖的方法驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和是180°做準(zhǔn)備。）

2.對比分析

師：老師收集了兩幅作品，先來看第一幅，請他來介紹一下想法。

（師投影呈現(xiàn)學(xué)生作品1，如圖9）

生1：我先用剛才微課中介紹的方法畫了一個(gè)∠1，再以∠1的一條邊為起點(diǎn)，最后用同樣的方法畫出∠2。

師：第一位同學(xué)重復(fù)了兩次畫角的過程。我們再來看第二位同學(xué)的方法。

（師投影呈現(xiàn)學(xué)生作品2，如圖10）

生2：我先畫了一個(gè)∠2，再以∠2的一條邊為∠1的起始邊，取了與∠2一樣的長度（即圓的半徑不變），畫了一個(gè)∠1。

師（整體比較）：你們覺得哪種方法簡便一些？簡便在哪里？

生3：第二位同學(xué)的方法簡便一些。因?yàn)樗嫽〉臅r(shí)候半徑?jīng)]有變，可以少畫一次。

生4：第二位同學(xué)的方法看起來也比較清楚。

師：我們來整理一下這個(gè)好方法。第一步，確定同一個(gè)半徑的長度，用圓規(guī)分別在∠1和∠2上畫弧;第二步，先畫出其中的一個(gè)角，弧要畫的長一些，再畫出另一個(gè)角。

（設(shè)計(jì)意圖：通過對兩種不同畫法的比較，學(xué)生在觀察、理解和比較中優(yōu)化畫角的方法，再次體驗(yàn)前面微課中介紹的畫角方法的優(yōu)越性，充分感知數(shù)學(xué)操作活動(dòng)中的簡潔美。）

三、適度遷移，空間再塑

1.自主嘗試

師（呈現(xiàn)任務(wù)四，如圖11）：求兩個(gè)角的和你們會(huì)畫了，求三個(gè)角的和行不行？

生：行。

師：接下來，我們就進(jìn)入本節(jié)課的終極挑戰(zhàn)——任意畫一個(gè)三角形，用尺規(guī)作圖的方法驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和等于180度。這個(gè)問題其實(shí)是讓我們解決什么問題？

生：就是把三個(gè)角拼在一起。

（學(xué)生嘗試，教師巡視）

2.匯報(bào)展示

師：如果你已經(jīng)完成了，可以把自己的想法說給組內(nèi)的同學(xué)聽一聽。

（生交流。數(shù)分鐘后，師投影呈現(xiàn)學(xué)生作品，如圖12）

師：我們來看這位同學(xué)的作品，他是怎么畫的？

生：他先畫了一個(gè)三角形，然后把這個(gè)三角形的三個(gè)角分成三大塊，接著在右邊畫了一條射線，再用拼接的方法，把這三個(gè)角依次畫下來，拼起來正好是一個(gè)平角，就是180度。

生：他畫弧的時(shí)候，半徑保持不變，這樣比較簡便。

師：我們來觀察一下他的作圖痕跡，他畫了三段弧，所創(chuàng)造的這三個(gè)三角形有什么特點(diǎn)？

生：它們都是等腰三角形。

師：畫弧的時(shí)候，半徑保持不變，有什么好處呢？

生：我們在后面把三個(gè)角拼在一起時(shí)，可以先畫一條長的弧，后面要拼幾個(gè)角，只要再畫幾次就可以了。

師：我們來數(shù)一數(shù)，拼三個(gè)角，我們只畫了四次弧，簡便了不少?。?/p>

（設(shè)計(jì)意圖：教師組織學(xué)生使用優(yōu)化的方法來進(jìn)行驗(yàn)證，即先用同樣長的半徑，構(gòu)造了三個(gè)等腰三角形，再將三個(gè)角拼接在一起，既體驗(yàn)了方法的簡便性，又了解了用尺規(guī)作圖的方法驗(yàn)證三角形內(nèi)角和的操作步驟，掌握了作圖的關(guān)鍵，發(fā)展了幾何直觀水平和空間觀念。）

四、課堂總結(jié)，深度交流

師：今天我們學(xué)習(xí)了用尺規(guī)作圖的方法來畫角，這節(jié)課中令你印象最深刻的是什么？

生：我知道了，不用量角器也能畫出與已知角同樣大小的角。

生：要把多個(gè)角畫在一起時(shí)，用同樣的半徑畫弧能更加簡便。

【教學(xué)反思】

“2022年版課標(biāo)”在第四學(xué)段中提出“能用尺規(guī)作圖：作一個(gè)角等于已知角”。顯然，這是初中數(shù)學(xué)的教學(xué)要求，所以本節(jié)課屬于小學(xué)階段的拓展課，安排在六年級。實(shí)踐表明，在前面兩節(jié)課的教學(xué)基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生自主探究“用尺規(guī)畫角”是完全可行的。這節(jié)課既有效地利用了學(xué)生用尺規(guī)畫線段和畫三角形的操作經(jīng)驗(yàn)，又銜接了第四學(xué)段尺規(guī)作圖的相關(guān)內(nèi)容。

一、從動(dòng)到靜，內(nèi)化思維過程

課始，教師喚醒學(xué)生“畫三角形”的經(jīng)驗(yàn)，開門見山地提出第一個(gè)畫角任務(wù)。大多數(shù)學(xué)生自然地想到將角補(bǔ)成三角形，用圓規(guī)量出三條邊的長度，再借助畫三角形的方法畫出與∠A同樣大小的角。在畫完鈍角、直角之后，學(xué)生對于畫角的步驟、方法以及原理已經(jīng)了然于胸了?？梢?，多樣化的畫角活動(dòng)豐富了學(xué)生的操作體驗(yàn)，使其成功地將作圖的道理內(nèi)化于心、外化于行。

二、從會(huì)到慧，提升思維品質(zhì)

課中，教師通過微課引入中學(xué)階段的畫角方法，使學(xué)生感到耳目一新。為了使學(xué)生充分感知此方法的優(yōu)越性，教師運(yùn)用對比策略使他們明白“通過畫一條長弧創(chuàng)造出一個(gè)等腰三角形，相當(dāng)于少畫一條邊”。之后，教師組織學(xué)生利用優(yōu)化的方法二次畫角，落實(shí)“做中學(xué)”的教學(xué)理念。在畫一個(gè)度數(shù)等于兩角之和的角時(shí)，教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對作圖痕跡進(jìn)行辨析，感受解決問題策略的多樣化，體會(huì)“取同樣長的半徑畫長弧”的巧妙之處。這兩次優(yōu)化便于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的簡潔美，使他們的數(shù)學(xué)思考更加通透與敞亮，也為后續(xù)通過作圖解釋三角形的內(nèi)角和為什么是180°提供了經(jīng)驗(yàn)。

三、從習(xí)到用，體驗(yàn)作圖價(jià)值

“尺規(guī)作圖”源于古希臘的數(shù)學(xué)課題。它要求在限制工具的條件下，用有限次操作解決數(shù)學(xué)作圖問題。教學(xué)本節(jié)課時(shí)，當(dāng)學(xué)生掌握畫一個(gè)度數(shù)等于兩角之和的角的作圖方法之后，教師組織學(xué)生利用尺規(guī)作圖的方法來驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和是否為180度。這其實(shí)就是在引導(dǎo)學(xué)生打破原有的量角、拼角、撕角的經(jīng)驗(yàn)，利用尺規(guī)作圖的方法進(jìn)行數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”。

這節(jié)課不僅有利于學(xué)生進(jìn)一步提高動(dòng)手操作能力和幾何直觀，而且能使他們充分感悟尺規(guī)作圖在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要價(jià)值，深刻地體會(huì)尺規(guī)作圖是一種有效的解決問題的新方式。

（1.浙江師范大學(xué)附屬嘉善實(shí)驗(yàn)學(xué)校? ?314100

2.浙江省嘉興市嘉善縣教育研究培訓(xùn)中心? ?314100）