數(shù)學(xué)化：“是什么”與“怎么做”

劉加霞

“化”作為后綴，加在名詞或形容詞后面構(gòu)成動(dòng)詞，表示轉(zhuǎn)變成某種性質(zhì)或狀態(tài)。數(shù)學(xué)化就是將“常識(shí)”轉(zhuǎn)變成“數(shù)學(xué)”，體現(xiàn)了弗賴登塔爾的著名論斷：數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識(shí)。一方面，常識(shí)是最原始、最接近于必然的;另一方面，數(shù)學(xué)被認(rèn)為是確定的、必然的知識(shí)或理論，好像遠(yuǎn)離常識(shí)，讓人敬畏，感到抽象枯燥。產(chǎn)生這種“悖論”的原因是把數(shù)學(xué)當(dāng)作“現(xiàn)成的結(jié)果”而沒(méi)有把它當(dāng)作“活動(dòng)”，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)沒(méi)有經(jīng)歷數(shù)學(xué)化。那么什么是數(shù)學(xué)化？如何進(jìn)行數(shù)學(xué)化呢？

一、數(shù)學(xué)化以及橫向、縱向數(shù)學(xué)化的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)化就是把不同層次的“常識(shí)”進(jìn)行提煉和組織，凝聚而成的概念、性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。其中，第一層次是對(duì)“生活常識(shí)”的提煉，所得到的結(jié)果又成為再提煉與組織的對(duì)象，形成新的“常識(shí)”。如此反復(fù)，數(shù)學(xué)就顯現(xiàn)出層次性，構(gòu)成許多等級(jí)，因此數(shù)學(xué)具有諸如抽象、嚴(yán)密、系統(tǒng)等特性。

數(shù)學(xué)化包括橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化。橫向數(shù)學(xué)化指將生活現(xiàn)實(shí)抽象為數(shù)學(xué)的概念與命題等，其基本方式是模型化，是數(shù)學(xué)化的基礎(chǔ)?？v向數(shù)學(xué)化是指數(shù)學(xué)概念、命題等內(nèi)容的再組織，其基本方式是結(jié)構(gòu)化，最高水平是公理化。橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化之間的界限模糊，它們的區(qū)別依賴于特定的環(huán)境。例如，數(shù)數(shù)活動(dòng)中既有橫向數(shù)學(xué)化，也有縱向數(shù)學(xué)化?！耙粋€(gè)、一個(gè)地”計(jì)數(shù)出個(gè)數(shù)相同但物理屬性不同的事物，認(rèn)識(shí)自然數(shù)，是橫向數(shù)學(xué)化;根據(jù)所數(shù)事物的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，用較為復(fù)雜的計(jì)數(shù)方法數(shù)出個(gè)數(shù)，比如，長(zhǎng)方形寬3、長(zhǎng)5，“三個(gè)、三個(gè)地”計(jì)數(shù)并用乘法[3×5=15]得到長(zhǎng)方形的面積，是縱向數(shù)學(xué)化。

二、模型化是小學(xué)階段數(shù)學(xué)化的主要內(nèi)容

廣義地說(shuō)，用直觀圖、抽象符號(hào)（數(shù)、字母及式）等刻畫有特點(diǎn)、有規(guī)律的事物的過(guò)程是模型化，也就是任何一個(gè)直觀圖或符號(hào)都能解決“一類”問(wèn)題，即“模型就是講故事”，是橫向數(shù)學(xué)化的主要內(nèi)容?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在小學(xué)階段提出模型意識(shí)——對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟，就是強(qiáng)調(diào)前述模型化的過(guò)程。例如，“2ɑ”能表示“每千克蘋果ɑ元，買2千克的錢數(shù)”“能被2整除的數(shù)”“你有ɑ元錢，我的錢數(shù)是你的2倍”等等。由此可見(jiàn)模型化無(wú)處不在，是應(yīng)用數(shù)學(xué)的基本體現(xiàn)。

模型化需要對(duì)現(xiàn)實(shí)情境進(jìn)行簡(jiǎn)化與理想化，跨學(xué)科的主題式或項(xiàng)目式學(xué)習(xí)為此提供了載體，讓學(xué)生感受到把模糊的、不太確定的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題濃縮成精確的數(shù)學(xué)問(wèn)題的必要性。

三、結(jié)構(gòu)化、公理化是數(shù)學(xué)化的終極目標(biāo)

弗賴登塔爾在《數(shù)學(xué)教育再探——在中國(guó)的講學(xué)》一書中提出，“把建模定義為理想化和簡(jiǎn)單化，這樣定義不那么精確，它還是切中了要害，把握某種（動(dòng)態(tài)或靜態(tài)）情境的要點(diǎn)，在豐富的相關(guān)情境中關(guān)注它們，并且隨著事物的進(jìn)展，會(huì)有更加豐富一些的內(nèi)容”。將“豐富的相關(guān)情境、更加豐富的內(nèi)容”建立聯(lián)系的過(guò)程即是結(jié)構(gòu)化。確定“誰(shuí)”是起點(diǎn)，將所有的內(nèi)容建立起一個(gè)演繹體系就是公理化。這兩個(gè)活動(dòng)過(guò)程是數(shù)學(xué)化的高階表現(xiàn)，小學(xué)階段主要是結(jié)構(gòu)化。

小學(xué)生的數(shù)學(xué)化不僅僅是動(dòng)手操作獲得提煉與組織的“原料”，更重要的是弗賴登塔爾所說(shuō)的“反思自己的活動(dòng)，從而改變看問(wèn)題的角度，并伴隨著局部結(jié)果的顛倒和整體的公理化（對(duì)小學(xué)生而言主要是結(jié)構(gòu)化）”。操作探究、感知感悟事物的性質(zhì)與蘊(yùn)含規(guī)律，再通過(guò)“反身抽象”學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述和刻畫，再在更大范圍運(yùn)用這些性質(zhì)與規(guī)律解決問(wèn)題等都是數(shù)學(xué)化的具體體現(xiàn)。

（北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)與教育科學(xué)學(xué)院? ?100120）