對一道二元方程條件下最值試題的探究

摘 要：在簡要梳理2020年天津卷第14題多視角解答的基礎上，揭示了試題命制的高等數學背景，并對試題進行了變式與推廣研究，得到了一些有趣的結論.

關鍵詞：拉格朗日乘數法;極值問題;邏輯推理;數學運算

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0048-04

1 試題呈現

題目 （2020年高考天津卷第14題）已知a>0，b>0，且ab=1，則12a+12b+8a+b的最小值為.

本題是二元方程約束條件下的二元函數最值問題，試題設計簡潔清新，構思別具匠心，解法靈動多變，飽含數學思想，凝聚命題專家的智慧. 同時，試題涉及知識點較多，綜合性較強，呈現出一定的綜合性與選拔性，需要較高的邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養(yǎng).

2 初等解法

在高中階段，解決此類問題可從方程有解、函數最值（三角代換或導數）、不等式（如基本不等式、柯西不等式等）等視角解答.其中，消參減元轉化是解題的基本原則，即把雙變量問題轉化為一元函數或方程問題，再輔以轉化與化歸、函數與方程、分類討論、換元法、配方法等典型數學思想和方法，妙趣橫生.

3 命制背景

本題命制的背景是拉格朗日乘數法求極值問題. 其基本原理是：設給定二元函數z=f（x，y）和附加條件φx，y=0，為尋找z=f（x，y）在附加條件下的極值點，先構造拉格朗日函數L（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y），其中λ為參數，求L（x，y）對x，y的一階偏導數，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立，即

點x，y即是函數z=f（x，y）在附加條件φx，y=0下的可能極值點.若這樣的點只有一個，可確定此點即為所求的點.

其幾何意義是：設給定目標函數為f（x，y），約束條件是φx，y=0.如圖1示，曲線L為約束條件φx，y=0，f（x，y）=C為目標函數的等值線族.在f（x，y），φ（x，y）偏導數都連續(xù)的條件下，目標函數

f（x，y）在約束條件φx，y=0下的可能極值點M（x0，y0）必是目標函數等值線族中與約束條件曲線的切點.

參考文獻：

[1]于先金，楊瑜.一道最大值高考模擬題的探究[J].中學數學研究，2021（03）：33-35.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：張志剛（1983-），男，山東省泰安人，中學一級教師，從事高中數學教學研究.