例談含參數(shù)的函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題幾種解題策略

摘 要：本文例析含參數(shù)的函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題的解題策略，提高學(xué)生分析和解決函數(shù)綜合問題的能力，促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達成.

關(guān)鍵詞：函數(shù)不等式;恒成立;參數(shù)范圍;解題策略

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0023-03

近年來，全國高考試題及高考模擬試題中出現(xiàn)了頗有新意、構(gòu)思精巧的函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的綜合題，這類題涉及知識面廣、綜合性強，對能力要求較高，能較好地考查學(xué)生的思維能力，很值得重視和探究.

1 特值探路

例1 已知函數(shù)f（x）=aex-1-lnx+lna，若f（x）≥1，求a的取值范圍.

解析 將x取特殊值1代入不等式中，不等式應(yīng)該成立，即f（1）≥1，也即a+lna≥1.

令g（a）=a+lna-1，易知函數(shù)g（a）單調(diào)遞增，g（1）=0，所以a≥1.

點評 利用特殊值探路可以迅速化解題目難度，快速找到題目的答案（準答案），減輕解題思想壓力，轉(zhuǎn)換解題思維角度，補全充分性證明過程即可完美收官.一般對數(shù)函數(shù)可將真數(shù)取特值1，指數(shù)函數(shù)的指數(shù)可取特值0.2 分類篩選

點評 含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題可以利用逐段篩選討論法求解，對參數(shù)按照重要節(jié)點進行分類，在每一類中證明不等式成立或舉反例說明不成立，最后得解，體現(xiàn)了化整為零的思想和歸類整理的思想.

3 分離參數(shù)

例3 設(shè)函數(shù)f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]，設(shè)f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍.

點評 不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，只要容易實現(xiàn)參變分離，就可以很容易轉(zhuǎn)化為最值（或上、下界）問題求解，但在求最值（或上、下界）時常常要用到洛必達法則.

4 構(gòu)造函數(shù)

點評 在含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題中，將不等式兩邊轉(zhuǎn)化成同構(gòu)式，根據(jù)同構(gòu)式構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)單調(diào)性進一步轉(zhuǎn)化問題，使得問題得到降維求解，此法雖然有一定難度，但能夠發(fā)現(xiàn)命題人的命題路徑及數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).

5 虛設(shè)零點

點評 虛設(shè)零點體現(xiàn)設(shè)而不求思想，是解決導(dǎo)數(shù)問題常用方法，當導(dǎo)數(shù)的零點存在但不易求出的時候，就可以虛設(shè)零點，回代到原函數(shù)解析式中求值，確定函數(shù)值的符號.

6 數(shù)形結(jié)合

構(gòu)造函數(shù)g（x）=ax-1，h（x）=sinx-cosx，x∈[0，π]，畫出函數(shù)g（x），h（x）圖象如圖1，g（x）圖象是過（0，-1）點的直線，h（x）的圖象也過（0，-1）點，在[0，3π4]上單調(diào)遞增，在[3π4，π]上單調(diào)遞減，要使ax-1≤sinx-cosx在[0，π]上恒成立，只需x∈[0，π]時g（x）圖象在h（x）圖象下方，由圖象知a≤2π時不等式恒成立，即a的范圍是（-@，2π].

點評 數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，通過挖掘數(shù)學(xué)式子背后形的特征，以形助數(shù)，是解決數(shù)學(xué)問題的常用方法.

參考文獻：

[1] 張平.函數(shù)與不等式中參數(shù)的取值范圍[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（18）：30-32.

[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：趙忠平（1972-），男，甘肅省慶陽人，本科，中學(xué)高級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項目：2020年度甘肅省“十三五”教育科學(xué)規(guī)劃課題“優(yōu)化教學(xué)環(huán)節(jié)，構(gòu)建三段六環(huán)‘一模多型高效數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)模式的實踐研究.（項目編號：GS[2020]GHB1964）.