體驗(yàn)生長(zhǎng)過程，感悟數(shù)學(xué)思想

謝立輝

[摘? 要] 文章以人教版九年級(jí)下冊(cè)“正切”教學(xué)為例，從學(xué)生認(rèn)知的實(shí)際出發(fā)，根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)結(jié)構(gòu)的需要，展現(xiàn)概念的自然生長(zhǎng)過程，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)概念的過程中，養(yǎng)成主動(dòng)研究問題、自主解決問題的方式方法，領(lǐng)悟探索數(shù)學(xué)問題的基本思想方法.

[關(guān)鍵詞] 正切;數(shù)學(xué)思想;初中數(shù)學(xué)

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，重視數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，也應(yīng)重視知識(shí)的生長(zhǎng)與延續(xù). 數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)理論體系的基本元素，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的原點(diǎn). 概念教學(xué)應(yīng)從學(xué)生認(rèn)知的實(shí)際出發(fā)，根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)結(jié)構(gòu)的需要，展現(xiàn)概念的自然生長(zhǎng)過程，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)概念的過程中，養(yǎng)成主動(dòng)研究問題、自主解決問題的方式方法，領(lǐng)悟探索數(shù)學(xué)問題的基本思想方法. 在傳統(tǒng)教學(xué)中，重視訓(xùn)練、以練代講、片面追求課堂容量的現(xiàn)象不同程度地存在，這種教學(xué)忽略了數(shù)學(xué)本質(zhì)，忽略了學(xué)生的主體地位，使學(xué)生對(duì)知識(shí)生長(zhǎng)過程的體驗(yàn)流于形式. 那么，如何在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的生長(zhǎng)過程，感悟數(shù)學(xué)的思想，筆者以九年級(jí)“正切”概念教學(xué)為例嘗試進(jìn)行說明.

教學(xué)實(shí)錄

當(dāng)小球在斜坡上滾動(dòng)時(shí)，哪些量是固定不變的？哪些量是變化的呢？它們分別叫什么呢？在滾動(dòng)過程中，小球的滾動(dòng)速度與什么量密切相關(guān)？斜坡陡或緩，會(huì)引起小球滾動(dòng)速度與滾動(dòng)時(shí)間的變化. 那么在斜坡的陡峭程度中，存在哪些變化的量？它們之間有什么關(guān)系呢？以上問題，就是教師研究的課題.

設(shè)計(jì)意圖? 從現(xiàn)實(shí)問題引入課題，以小球運(yùn)動(dòng)為載體，讓學(xué)生從熟悉的生活情境中提煉常量與變量，歸納其中變量的依賴關(guān)系，容易獲得函數(shù)模型的直接體驗(yàn). 實(shí)際上，本節(jié)課研究的正切就是一種函數(shù)，它反映了坡角與鉛直高度、水平寬度之間的關(guān)系.

師：生活中，同學(xué)們不乏爬坡的經(jīng)歷，如何判定坡面的陡峭程度呢？如圖1所示，請(qǐng)同學(xué)們從數(shù)學(xué)的角度看待爬坡問題，其中，有我們熟知的幾何圖形嗎？

生：判定坡面的陡峭程度，主要看坡面與水平面的夾角，夾角越大說明坡面越陡，夾角越小說明坡面越緩. 在圖1中，有直角三角形存在.

師：圖1中的兩個(gè)坡面，哪個(gè)更陡一些？為什么？

生：第一個(gè)坡面更陡一些，因?yàn)樗钠旅媾c水平面的夾角比較大. （板書：角度）

設(shè)計(jì)意圖? 對(duì)于坡面陡峭程度的探究，仍是從生活情境入手，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)源于生活，與生活密切相關(guān)[1]. 在情境上，筆者沒有花費(fèi)太多的時(shí)間，而是直接把爬坡問題抽象成如圖1所示的圖形，如此，學(xué)生可以順利地利用坡面、夾角等詞語表情達(dá)意. 同時(shí)，在這個(gè)生活問題中，筆者充分設(shè)疑，把生活問題數(shù)學(xué)化，幫助學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為理性認(rèn)識(shí)，帶著問題去探究，從中學(xué)習(xí)思考數(shù)學(xué)問題的方式方法.

師：我們根據(jù)坡角的大小可以判定坡面的陡與緩，如果沒有測(cè)量角度的工具，只知道兩個(gè)臺(tái)階的數(shù)據(jù)（如圖2所示），即臺(tái)階1的水平寬度是8，鉛直高度是4，臺(tái)階2的水平寬度是8，鉛直高度是6，那么，比較這兩個(gè)臺(tái)階，哪個(gè)臺(tái)階更陡呢？

生：第二個(gè)臺(tái)階比較陡，它們的水平寬度相同，鉛直高度不同，鉛直高度越高的越陡. （板書：水平寬度、鉛直高度）

師：如果已知臺(tái)階1的水平寬度是8，鉛直高度是6;臺(tái)階2的水平寬度是10，鉛直高度是6.那么這兩個(gè)臺(tái)階哪個(gè)陡呢？

生：第一個(gè)臺(tái)階比較陡，因?yàn)檫@兩個(gè)臺(tái)階，鉛直高度相同，水平寬度越大臺(tái)階越緩，水平寬度越小的臺(tái)階越陡.

設(shè)計(jì)意圖? 通過兩組臺(tái)階的比較，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)據(jù)說理的能力，要求學(xué)生能用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)量關(guān)系. 這兩組臺(tái)階，學(xué)生都是根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行判斷，主要用的是合情推理[2].

師：如果已知兩個(gè)臺(tái)階，第一個(gè)臺(tái)階水平寬度是8，鉛直高度是4，第二個(gè)臺(tái)階水平寬度是10，鉛直高度是6，那么這兩個(gè)臺(tái)階哪個(gè)陡一些呢？

此時(shí)，學(xué)生沒有章法，有的學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)畫出了圖形，發(fā)現(xiàn)第二個(gè)臺(tái)階陡一些，但沒有合適的理由說明. 課堂上一時(shí)熱鬧了起來.

設(shè)計(jì)意圖? 筆者利用這個(gè)問題旨在引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，此時(shí)兩個(gè)臺(tái)階的水平寬度與鉛直高度都不相同，前面的經(jīng)驗(yàn)已經(jīng)失效. 有的學(xué)生把水平寬度化為相同，再比較鉛直高度的大小，有的學(xué)生畫出圖形，觀察比較坡度大小. 在學(xué)生的合作交流中，學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，以及物理學(xué)科中的“控制變量法”.

師：把第一個(gè)臺(tái)階都擴(kuò)大5倍，得到水平寬度是40，鉛直高度是20，把第二個(gè)臺(tái)階都擴(kuò)大4倍，得到水平寬度是40，鉛直高度是24，顯然第二個(gè)臺(tái)階比較陡.

師：放大后的圖形與原圖是什么關(guān)系呢？為什么說放大后的圖形與原圖坡面的傾斜程度相同呢？

生：放大后的圖形與原圖是相似圖形，因?yàn)橄嗨茍D形的對(duì)應(yīng)角相等，所以它們的坡角也相同，所以坡面的傾斜程度相同.

師：如果兩個(gè)臺(tái)階，第一個(gè)臺(tái)階水平寬度是8，鉛直高度是4，第二個(gè)臺(tái)階的水平寬度是12，鉛直高度是6，那么這兩個(gè)臺(tái)階哪個(gè)更陡呢？為什么？

生：這兩個(gè)臺(tái)階的傾斜程度一樣，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，所以這兩個(gè)直角三角形相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，所以它們的坡角大小一樣，所以這兩個(gè)臺(tái)階的坡度大小一樣.

此時(shí)，筆者板書=，有了直角三角形中兩直角邊的比，于是筆者引入了正切的概念. 在直角三角形中，我們把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比，叫∠A的正切，記作tanA.

師：兩個(gè)比值相等，即兩個(gè)角的正切值相等，所以坡角相等，反之，當(dāng)兩個(gè)坡角相等時(shí)，它們的正切值相等嗎？

生：也相等，因?yàn)楫?dāng)兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等時(shí)，這兩個(gè)直角三角形相似，所以對(duì)應(yīng)邊成比例，即銳角的正切值相等. （板書：因?yàn)閠anA=tanB，所以∠A=∠B.）

設(shè)計(jì)意圖? 用正切的新概念解讀坡面的陡峭程度，讓學(xué)生歸納用兩種方法比較坡面的傾斜程度，一是比較坡角的大小，二是比較坡角正切值的大小. 這樣一來，不論水平寬度是否相同，鉛直高度是否相同，都可以利用正切值比較坡角的大小，當(dāng)正切值大時(shí)，坡角就大，當(dāng)正切值小時(shí)，坡角就小.

師：請(qǐng)同學(xué)們拿出一副三角板，仔細(xì)觀察三角板，說說30°、45°、60°角的正切值分別是多少？當(dāng)角度確定時(shí)，它的正切值確定嗎？當(dāng)角度變化時(shí)，它的正切值變化嗎？

生：tan30°=，tan45°=1，tan60°=，所以當(dāng)角度確定時(shí)，它的正切值也就確定了，當(dāng)角度變化時(shí)，它的正切值也變化.

師：在直角三角形ABC中，∠C是直角，已知tanA=，AB=10，求兩條直角邊的長(zhǎng).

……

教學(xué)感悟

1. 感性向理性的自然過渡

初中數(shù)學(xué)課堂在注重學(xué)生感性觀察的同時(shí)，還要引導(dǎo)學(xué)生理性地思考. 有了理性思考才能理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)[3]. 本節(jié)課，筆者從學(xué)生身邊的實(shí)例出發(fā)，讓學(xué)生思考其中的變量與常量，從斜面、水平寬度、豎直高度三個(gè)方向看坡面的傾斜程度，在實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的過程中，學(xué)生逐漸發(fā)現(xiàn)坡面的傾斜程度由鉛直高度與水平寬度的比值大小決定，在抽象、歸納與建模中，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律解決問題的能力.

2. 形成向發(fā)展的自然過渡

本節(jié)課展現(xiàn)了正切概念的形成與深化的過程，以及數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程. 筆者把正切概念與相似三角形聯(lián)系，從而引出線段的比值，建立了正切的概念. 通過變量之間的相互關(guān)系，把正切歸到函數(shù)系列，建立了銳角三角函數(shù)的概念，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的形成與發(fā)展，學(xué)生收獲了知識(shí)，延伸了思維，同時(shí)也感受了“控制變量法”這一研究方法.

3. 提問向發(fā)問的自然過渡

鄭毓信教授指出，數(shù)學(xué)教學(xué)，教師要善于提問. 筆者從生活實(shí)例出發(fā)，從當(dāng)水平寬度不同時(shí)、當(dāng)鉛直高度不同時(shí)、當(dāng)兩者都不同時(shí)提出問題，層進(jìn)式的提問符合學(xué)生的認(rèn)知水平，抽絲剝繭式的提問，積累了學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，激活了學(xué)生的思維. 從教師的示范問、學(xué)生類比發(fā)問、反思發(fā)問，實(shí)現(xiàn)了教師提問向?qū)W生提問的自然過渡.

4. 知識(shí)向思想的自然過渡

學(xué)生在掌握一定的數(shù)學(xué)知識(shí)后，應(yīng)具備用數(shù)學(xué)的眼光看問題，用數(shù)學(xué)的思想方法解決問題. 在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)向思想的自然過渡，向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等. 在不斷積累的過程中，能加深學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí). 在筆者的教學(xué)中，通過有梯度的情境，學(xué)生逐步領(lǐng)會(huì)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想;通過結(jié)合圖形的性質(zhì)，學(xué)生逐步領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)結(jié)合的數(shù)學(xué)思想;通過分析特殊角度的比值變化，學(xué)生逐步領(lǐng)會(huì)了函數(shù)思想.

參考文獻(xiàn)：

[1]金燕. 生活實(shí)例引入? 問題探究提升——以“正切”一課的教學(xué)為例[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019（08）：23-25.

[2]李東. 經(jīng)歷與思想并重——“正切（1）”教學(xué)實(shí)錄與反思[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2020（09）：1-3+6.

[3]羅增儒. 銳角正切的教學(xué)分析與課例點(diǎn)評(píng)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（29）：23-29.