從“怎么做”走向“怎么想”，增強學生的思考意識

龔瓏

[摘? 要] 要促進學生數(shù)學思維的發(fā)展，必須讓他們由“怎么做”轉變?yōu)椤霸趺聪搿保鰪娝麄兊乃伎家庾R，并教給他們思考的方法. 文章結合教學實踐，提出相應的策略，讓學生從根本上消除機械模仿，逐漸由形象思維過渡到理性思維，進而提升數(shù)學核心素養(yǎng).

[關鍵詞] 怎么做;怎么想;追問;初中數(shù)學

學生講解試題時，僅能講出試題的解答過程，講不出是如何想的;教師往往只關注學生解答試題正確與否，而不關心他們的分析過程. 久而久之，學生的思維缺乏脈絡，解答試題一直處于模仿階段. 筆者以為，要促進學生數(shù)學思維的發(fā)展，必須讓他們由“怎么做”轉變?yōu)椤霸趺聪搿?，增強他們的思考意識，并教給他們思考的方法.

不斷追問，激起學生的思考欲望

追問是在學生回答問題的基礎上進一步提問，以使學生做進一步的思考. 當學生只講解解答過程時，教師可以追問：題中的什么條件給了你啟發(fā)？你是從哪里入手的？從這一步到下一步的依據(jù)是什么？這樣的追問能促使學生展現(xiàn)思維過程，并解釋過程的合理性.

案例1如圖1所示，在矩形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩線交于點P.

（1）求證：四邊形CODP是菱形;

（2）若AD=6，AC=10，求四邊形CODP的面積.

師：哪位同學來講一下這道題怎么做？并說明理由.

生1：對于第（1）問，因為四邊形ABCD是矩形，對角線AC與BD交于點O，所以OD=OC. 因為DP∥AC，CP∥BD，所以四邊形ODPC是平行四邊形. 所以四邊形CODP是菱形.

生2：對于第（2）問，因為四邊形ABCD是矩形，所以∠ADC=90°. 因為AD=6，AC=10，根據(jù)勾股定理，得DC=8，所以△ADC的面積=×8×6=24. 所以△ODC的面積=×△ADC的面積=12. 因為四邊形CODP的面積=2×△ODC的面積，所以四邊形CODP的面積=24.

對于第（1）問，等學生完成試題的解答之后，教師可通過如下追問引導學生從矩形的對角線入手思考問題：判斷四邊形CODP是菱形時，你們采用的判定方法是什么？菱形的判定方法比較多，為什么要使用這一方法？這樣追問能讓學生發(fā)現(xiàn)矩形ABCD與菱形CODP之間的聯(lián)系，即菱形CODP相鄰的兩條邊（OC和OD）恰好是矩形ABCD對角線的一半，而矩形的對角線相等，所以OC=OD. 所以要證明四邊形CODP是菱形，可采用“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”這一判定方法.

對于第（2）問，教師可進行如下追問：在求四邊形CODP面積的過程中，最關鍵的是哪一步？為什么求出△ODC的面積是最關鍵的一步？為什么△ODC的面積是△ADC面積的一半？為什么四邊形CODP的面積是△ODC面積的2倍？通過這一系列的追問，學生能逐漸厘清問題的轉化過程. 只有厘清了△ODC的面積、△ADC的面積和四邊形CODP的面積之間的關系，才能知道解決問題時應先求什么、再求什么.

強化分析，讓學生掌握思考的方法

數(shù)學家喬治·波利亞強調解決數(shù)學問題分四步走：一是弄清題意;二是制訂做題計劃;三是實施計劃;四是回顧解答過程，進行檢驗. 如果學生只會做，那么解答問題就直接從第三步開始. 其實，弄清題意是最基礎的一環(huán)，在這一環(huán)節(jié)，學生能知道試題的已知條件是什么，由哪個條件可以推理出什么結論，將若干個條件結合起來又會產生什么新結論，以及試題所求是什么，要完成所求需要滿足什么條件. 作為教師，應引領學生分析問題，并在教給他們分析問題的方法的同時，讓他們掌握思考問題的策略.

1. 想已知條件，由因導果，培養(yǎng)正向思維

從已知條件出發(fā)，由因導果，這種思考問題的方法就是綜合法. 采用綜合法時，教師應引導學生讀懂試題有幾個條件，分別是哪幾個條件，并讓他們逐條列出來，一個都不能少. 接著，讓學生根據(jù)這些條件推一些結論，逐步進入問題的核心，從而培養(yǎng)學生的正向思維品質.

案例2如圖2所示，已知A（0，4），B（0，-6），C為x軸正半軸上一點，且滿足∠ACB=45°，則點C的坐標為______.

思路1如圖3所示，因為∠ACB=45°，要讓45°這一特殊銳角發(fā)揮作用，就必須構造直角三角形，所以應先構造等腰直角三角形AHC（∠HAC=90°），然后構造“一線三直角全等模型”（EF∥OC，且HF⊥EF，CE⊥EF），利用三角形全等，即△ACE≌△HAF，得到FH=AE，再利用△OCB∽△DHB（HD⊥AB），得到BD與OC的關系，最后求出點C的坐標.

思路2如圖4所示，因為∠ACB=45°是固定角度的角，∠ACB的對邊AB=10也是固定的長度，根據(jù)定邊定角必有隱圓，可以作出△ABC的外接圓☉P. 根據(jù)圓周角定理，得∠BPA=90°，可求得PE，PA，PB的長（PE⊥AB），進而可求得OF，PF的長（PF⊥OC），接著在Rt△PCF中根據(jù)勾股定理求得FC的長，從而求出點C的坐標.

思路3如圖5所示，因為圖形已經有一個45°的角，所以可以再構造一個45°的角（∠CDA=45°，點D在y軸負半軸上），以產生Rt△ODC和“母子型相似”結構. 然后設OC=x，利用相似三角形的性質，結合勾股定理，通過建立方程求出x的值，從而求出點C的坐標.

學生只有講出分析過程，才能把每個條件的作用理解得透徹，也才能在不斷的聯(lián)想中發(fā)現(xiàn)不同的解題思路，從而產生智慧的火花. 此外，對比不同的解題方法，還能明晰解題方法的簡與繁. 讓學生由已知開始，有條理地聯(lián)想與想象，有利于其思維的發(fā)展.

2. 想問題解決，執(zhí)果索因，培養(yǎng)逆向思維

解題時，如果從已知條件出發(fā)思維受阻，學生此時不妨執(zhí)果索因，想一想要解決的問題是什么、目標是什么、解決問題需要什么條件，順著思路一步一步往前走，最終回到已知條件，實現(xiàn)問題的解決.

案例3民間流傳李白買酒的歌謠：李白街上走，提壺去買酒;遇店加一倍，見花喝一斗;三遇店和花，喝完壺中酒. 試問酒壺中，原有多少（斗）酒. 你能回答這個問題嗎？寫出具體的求解過程.

思路從“三遇店和花，喝完壺中酒”往回逆推，知三遇店時有酒（1÷2）斗;那么，二遇花時有酒（1÷2+1）斗，二遇店有酒[（1÷2+1）÷2]斗;于是一遇花時有酒[（1÷2+1）÷2+1]斗，一遇店時即壺中原有酒的數(shù)量，應列式為[（1÷2+1）÷2+1]÷2=（斗）. 所以酒壺中原有酒斗.

從問題出發(fā)，逆向思考，實施的是正難則反的策略. 從案例3不難看出，有時通過逆推能輕松地解決問題. 這說明正難則反的策略在代數(shù)式化簡、幾何證明中均有重要的作用.

重視積累，夯實思考的基礎

建構主義學習理論強調，學習過程是學生在已有經驗的基礎上獲得新的經驗. 學生原來的數(shù)學活動經驗是思考的基礎，是產生解題思路與方法的本源性經驗，只有具有一定的知識儲備，才能構建問題與所求結論的聯(lián)系，從而實現(xiàn)重組與優(yōu)化.

案例4已知方程組x+y=-7-a，

x-y=1+3a 的解x為非正數(shù)，y為負數(shù).

（1）求a的取值范圍;

（2）化簡a-3+a+2;

（3）在a的取值范圍中，當a為何整數(shù)時，不等式2ax+x>2a+1的解為x<1？

師：如何解答此題？

生1：先解方程組，求出x，y的值，再根據(jù)x為非正數(shù)，y為負數(shù)，建立不等式組，通過解不等式組求得a的取值范圍.

生2：根據(jù)第（1）問求出的a的取值范圍，可以去掉第（2）問中的絕對值的符號，從而化簡代數(shù)式.

生3：因為2ax+x>2a+1可以變形為（2a+1）x>2a+1，要使不等式的解為x<1，必須滿足2a+1<0，并結合第（1）問中求出的a的取值范圍，得到a的最終取值范圍，最后取整數(shù)值.

師：從本題的解答中，你們獲得了什么解題經驗？

生4：求方程組中字母的取值范圍，要把問題轉化為解不等式或不等式組.

生5：在有關不等式的問題中，要求字母的整數(shù)值，需要先求出字母的取值范圍，再取取值范圍內的整數(shù)值.

學生在解答本題時，將所求問題與方程組、不等式組的相關知識進行關聯(lián)，通過解方程組、建立不等式組、解不等式組，解決了問題. 需要注意的是，在解題中，教師要引導學生經歷與積累數(shù)學活動經驗，如代數(shù)中的代入法、配方法、待定系數(shù)法、方程思想、函數(shù)思想等，幾何圖形中的圖形變換思想、手拉手模型、“一線三直角”模型、軌跡思想等.

其實“怎么做”與“怎么想”之間并不矛盾，學生既要做好“怎么做”，更要做好“怎么想”. 只有弄清了思考的來源，才能獲得解題的策略，懂得破題之道，從而從根本上消除機械模仿，逐漸由形象思維過渡到理性思維，而這也是數(shù)學教學之所求.