談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)教學(xué)對學(xué)生直觀素養(yǎng)的培育

陸麗華

[摘? 要] 直觀素養(yǎng)有助于催生學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)猜想. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過感知、觀察、建構(gòu)和建模等，豐富學(xué)生的原型直觀、表象直觀、想象直觀和模型直觀等. 作為教師，必須有意識地培育學(xué)生直覺思維能力、想象能力. 通過“本質(zhì)直觀”能力的培育，讓學(xué)生形成一種有創(chuàng)新性、創(chuàng)造性的能力.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);直觀想象;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

直觀素養(yǎng)是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分，是溝通“數(shù)”與“形”兩者之間的認(rèn)知橋梁、紐帶. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)有意識地借助實(shí)物、模型（包括圖片、圖形）等培育學(xué)生的直觀素養(yǎng). 高中生的認(rèn)知特點(diǎn)是以抽象邏輯思維為主，但同時(shí)也必須輔之以直觀思維[1]. 可以這樣說，直觀素養(yǎng)有助于催生學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)猜想，而抽象邏輯演繹思維則有助于學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)定理等進(jìn)行證明. 有時(shí)，直觀素養(yǎng)還能直接洞察數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，這就是一種“本質(zhì)直觀”（胡塞爾語）.

[?] 引導(dǎo)學(xué)生感知，豐富學(xué)生的“原型直觀”

學(xué)生的直觀想象與直觀能力是密不可分的. 學(xué)生的直觀素養(yǎng)可以分為原型直觀、表象直觀、想象直觀和模型直觀. 所謂原型直觀，是指“教師在教學(xué)中向?qū)W生呈現(xiàn)原型以便讓學(xué)生通過視覺建立初步認(rèn)識的過程”. 相較于初中階段、小學(xué)階段，高中階段的數(shù)學(xué)知識的原型可能更隱蔽、更難找尋一些.

尤其是學(xué)生學(xué)習(xí)“立體幾何初步”等相關(guān)知識時(shí)，就需要借助現(xiàn)實(shí)世界中的幾何原型來認(rèn)識特征. 原型直觀不同于日常生活中的一些物體，原型直觀是數(shù)學(xué)模型的標(biāo)準(zhǔn)外化，或者說是一種“物化模型”. 借助這種“物化模型”，不僅能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、操作，而且能引發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考、想象、探究. 原型直觀（物化模型）是從現(xiàn)實(shí)世界、現(xiàn)實(shí)生活中抽象出來的，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)關(guān)系. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，盡管學(xué)習(xí)主體是高中生，但他們在感知復(fù)雜的立體圖形時(shí)，其視知覺還是很不穩(wěn)定的，前面的視覺感知往往容易被后續(xù)的視覺感知所覆蓋. 在培養(yǎng)學(xué)生原型直觀（物化模型）的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理性表征和操作等. 因此，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行原型感知時(shí)，要提供前后一致的物體. 當(dāng)學(xué)生初步建立了知覺形象后，教師就可以對相關(guān)的形體進(jìn)行變式，比如從位置、方向等方面進(jìn)行改變，從而凸顯形體的本質(zhì)特征. 尤其是，要引導(dǎo)學(xué)生從形體的面、棱、頂點(diǎn)等方面獲得感知，從而讓學(xué)生能區(qū)分形體，比如棱柱與棱臺，棱柱與棱錐，直棱柱與斜棱柱或正棱柱，棱錐與圓錐，等等. 在培養(yǎng)學(xué)生視知覺的過程中，教師不僅要讓學(xué)生看，更要將事物的原型保存在學(xué)生的頭腦之中，這就是通過感知對形體的初級加工. 在此基礎(chǔ)上，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行形體辨別，引導(dǎo)學(xué)生通過視覺調(diào)控，把握一種形體與另一種形體的共同點(diǎn)和不同點(diǎn). 通過豐富學(xué)生的原型直觀，能讓學(xué)生從生活原型中形成對幾何圖形的大致認(rèn)識.

引導(dǎo)學(xué)生感知，要打開學(xué)生的感知覺的門戶，讓學(xué)生充分地看、聽、觸摸等. 從具身認(rèn)知的視角來看，感知不僅要用眼睛來看，還要用身體來感受、體驗(yàn). 當(dāng)然，在這個過程中，視知覺具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢，應(yīng)當(dāng)予以彰顯. 在學(xué)習(xí)的過程中，要引導(dǎo)學(xué)生將其他的知覺方式方法與視知覺聯(lián)系起來、聯(lián)通起來，從而促進(jìn)學(xué)生獲得感知. 如在上述幾何形體的教學(xué)中，對特征感知是基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上，還要對形體進(jìn)行比較、操作、辨別，這就是一種高級感知.

[?] 引導(dǎo)學(xué)生觀察，培育學(xué)生的“表象直觀”

從某種意義上來說，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效能的高低，在很大程度上取決于學(xué)生的數(shù)感. 所謂數(shù)感，就是指“對數(shù)學(xué)學(xué)科中的數(shù)與形的感覺”[2]. 數(shù)學(xué)學(xué)科中的數(shù)感與語文學(xué)科中的語感、音樂學(xué)科中的樂感一樣，都是一種直觀、直覺的產(chǎn)物. 當(dāng)然，這種直觀、直覺依賴經(jīng)驗(yàn)的累積、知識的豐富等. 為了讓學(xué)生形成良好的數(shù)感，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)直感，教師必須引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)觀察.

數(shù)學(xué)觀察是一種“有目的地看”. 數(shù)學(xué)觀察不是將學(xué)生投入“數(shù)的海洋”或“形的海洋”，而是引導(dǎo)學(xué)生有序、有向、有法地看. 通過數(shù)學(xué)觀察，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)知識的表象. 可以這樣說，表象是學(xué)生數(shù)學(xué)直感的根基，也是學(xué)生數(shù)學(xué)直感的開端，表象對于學(xué)生的知覺加工有著重要的影響. 荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家赫爾經(jīng)過研究認(rèn)為，學(xué)生直觀素養(yǎng)可以分為五個層次，即視覺層次的直觀、描述分析層次的直觀、抽象直觀、推理直觀、公理化直觀等. 顯然，積累學(xué)生表象是提升學(xué)生直觀水平、直觀能力等的基石. 在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行表象直觀的過程中，教師要對學(xué)生的直觀活動進(jìn)行設(shè)計(jì)，從而避免學(xué)生數(shù)學(xué)直觀的隨意性、虛假性等，讓學(xué)生能夠借助直觀素養(yǎng)在操作、理解之間穿行. 比如人教版“基本立體圖形”中的“棱臺”這部分內(nèi)容的教學(xué)，筆者就提供了多個圖形讓學(xué)生觀察，從而幫助學(xué)生建立棱臺的正確表象，引導(dǎo)學(xué)生在觀察中感悟圖形的本質(zhì)特征，舍棄圖形的非本質(zhì)特征. 通過這樣的觀察，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)直感. 學(xué)生由于受到了多個棱臺圖形的刺激，能夠在大腦皮層中建立表象，并將這種表象儲存到記憶的深處. 在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對比、研判，讓學(xué)生認(rèn)識到“棱臺不是長方體”“長方體是底面為長方形的直四棱柱”等. 在判斷的過程中，讓學(xué)生說出這兩種形體的異同. 從某種意義上來說，學(xué)生的數(shù)學(xué)直感依賴學(xué)生記憶中儲存的表象.

表象是原型直觀的結(jié)果，為了豐富學(xué)生的表象，教師有必要向?qū)W生提供數(shù)學(xué)知識的原型，從而豐富學(xué)生的感知，豐盈學(xué)生的表象，深化學(xué)生的記憶，促進(jìn)學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的理解. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，表象不僅是學(xué)生感知的結(jié)果，表象更具有過程的意義，表象能促進(jìn)、發(fā)展、提升學(xué)生的感知. 對于高中生來說，數(shù)學(xué)直感依賴學(xué)生頭腦中積累的數(shù)學(xué)表象，表象越豐富、越完善，學(xué)生的直感就越精準(zhǔn)、直感思維能力就越強(qiáng).

[?] 引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)，培育學(xué)生的“想象直觀”

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，原型直觀是幫助學(xué)生建立空間觀念的過程，表象直觀是幫助學(xué)生建構(gòu)幾何表象的過程，而想象直觀則是引導(dǎo)學(xué)生對表象進(jìn)行深度加工、操作并建立新表象的過程. 作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)、培育想象直觀. 一般來說，培育學(xué)生想象直觀的過程就是幫助學(xué)生建立表象、構(gòu)建直觀模型的一個邏輯詳細(xì)的過程. 想象直觀能發(fā)展學(xué)生的直覺能力、想象能力.

直觀與想象是不可分割的. 可以這樣說，“直觀無想象則空，想象無直觀則盲”. 想象與直觀是相輔相成、相互促進(jìn)、相得益彰的. 在直觀想象的過程中，學(xué)生對頭腦中的已有表象進(jìn)行加工并改造，從而構(gòu)建新的形象. 直觀想象是一種特殊的思維樣式，它往往能突破原有的認(rèn)知局限、時(shí)空束縛等，能有效地預(yù)想未來，形成一種靈感思維. 作為教師，要精心架構(gòu)、打造培養(yǎng)學(xué)生直觀素養(yǎng)的平臺，引導(dǎo)學(xué)生把握直觀、表象與推理之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而有效地提升學(xué)生的直觀能力，發(fā)掘?qū)W生的直觀潛質(zhì)潛能，發(fā)展學(xué)生的直觀素養(yǎng). 比如學(xué)習(xí)“棱錐的體積”這一部分內(nèi)容時(shí)，有學(xué)生根據(jù)棱錐和棱柱的表象，聯(lián)想到圓錐的體積是圓柱的體積的三分之一. 有了這樣的直觀想象，學(xué)生就會調(diào)動已有知識經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行證明. 在引導(dǎo)學(xué)生直觀想象的過程中，教師要幫助學(xué)生擺脫原型直觀，同時(shí)融入一定的邏輯推理等. 這種邏輯推理有可能不是很嚴(yán)密的，而只是一種合情性、合理性的推理，因而屬于一種直觀想象. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解釋、認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生的主觀與客觀不斷相互作用，從而讓學(xué)生的意向性不斷豐富. 想象性的直觀，就是引導(dǎo)學(xué)生找尋已知和未知的邏輯關(guān)聯(lián)的過程. 借助直觀想象，學(xué)生能打開自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)視野，從而豐富自己的直觀認(rèn)知.

想象直觀是學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象的重要組成部分. 在學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)中，實(shí)物直觀是基礎(chǔ)，表象直觀是根基也是核心，而想象直觀則是關(guān)鍵. 在想象直觀中，學(xué)生能擺脫實(shí)物直觀，直接對表象直觀進(jìn)行加工. 由于想象直觀是一種對表象直觀的加工，因此這個過程需要教師有效引導(dǎo)、指導(dǎo). 只有這樣，才能讓學(xué)生的想象直觀不會偏離方向. 正如《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》所指出的那樣，“借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，是學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一”.

[?] 引導(dǎo)學(xué)生建模，培育學(xué)生的“模型直觀”

著名數(shù)學(xué)教育理論家范希爾曾經(jīng)將學(xué)生的幾何思維水平分為“直觀水平”“描述水平”和“理論水平”等. 過去，很多人簡單地認(rèn)為，直觀素養(yǎng)就是直觀水平，其實(shí)這是有失偏頗的. 筆者認(rèn)為，實(shí)物直觀、模型直觀主要依賴學(xué)生的直觀水平，而想象直觀、模型直觀則需要將想象、聯(lián)想、思維等融入其中.

美國著名教育心理學(xué)家卡羅爾·德韋克深刻地指出，“人與人之間的差距，就在于思維模式的不同”[3]. 模型直觀不僅引導(dǎo)學(xué)生思維，更將相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法等融入其中. 從這個意義來說，模型直觀也是一種方法直觀、思想直觀. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)助推學(xué)生的模型直觀，充分展現(xiàn)學(xué)生的直觀過程. 在模型直觀中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行文字表征、圖形表征以及命題表征等. 通過諸種表征方式，引導(dǎo)學(xué)生建立完整的表象. 比如教學(xué)“直線與平面的關(guān)系”時(shí)，筆者就借助“長方體”這一模型引導(dǎo)學(xué)生思維，幫助學(xué)生建立表象. 若向?qū)W生抽象地講解線與面的關(guān)系，學(xué)生往往難以理解;然若借助模型直觀，則能讓學(xué)生直接看到“棱”與“長方體各個面”的垂直、平行關(guān)系. 在模型直觀下，學(xué)生能將數(shù)學(xué)直觀表象整合成“關(guān)系表象”. 借助“關(guān)系表象”，學(xué)生能將相關(guān)的線、面等聯(lián)結(jié)成邏輯體系，如“直線與平面無交點(diǎn)→直線平行于平面內(nèi)的一條直線→直線所在平面與另一平面平行”等. 通過模型直觀，幫助學(xué)生認(rèn)識“直線與直線的位置關(guān)系”“直線與平面的位置關(guān)系”“平面與平面的位置關(guān)系”等. 在培養(yǎng)學(xué)生直觀素養(yǎng)的過程中，教師要注重學(xué)生的直觀思維與邏輯思維協(xié)同發(fā)展，要在發(fā)展學(xué)生直觀思維、直觀想象的同時(shí)發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力. 可以這樣說，在發(fā)展學(xué)生直觀素養(yǎng)的過程中，筆者認(rèn)為，學(xué)生的觀察能力、直覺能力、想象能力都會對學(xué)生的直觀素養(yǎng)產(chǎn)生影響;而將學(xué)生的觀察能力、想象能力、抽象能力等融入培育學(xué)生的直觀素養(yǎng)的過程中，應(yīng)當(dāng)是高中數(shù)學(xué)教師的努力方向. 通過對學(xué)生的直觀素養(yǎng)的培育，一定會讓學(xué)生生成富有創(chuàng)意的靈感思維.

“模型想象”是在學(xué)生“實(shí)物直觀”“表象直觀”“想象直觀”基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，是學(xué)生從感性認(rèn)知向理性認(rèn)知的一種過渡. 作為教師，要選擇、應(yīng)用相關(guān)的策略，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直觀表征，賦予數(shù)學(xué)知識形象化的支撐;要培養(yǎng)高中生“用圖說話”“用圖思考”“用圖探究”等能力，通過建構(gòu)圖形，引導(dǎo)學(xué)生直觀想象、操作，并讓學(xué)生把握數(shù)與形之間的關(guān)聯(lián). 在高中數(shù)學(xué)學(xué)科中，數(shù)與形是相互關(guān)聯(lián)的，把握數(shù)與形之間的關(guān)聯(lián)，也是培育學(xué)生直觀素養(yǎng)的重要使命與責(zé)任. “模型想象”就是要賦予數(shù)學(xué)“形”的意義，因而有助于促進(jìn)學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的意義建構(gòu). 在“模型直觀”過程中，學(xué)生能有效地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，有效地連接已有知識，從而完善知識網(wǎng)絡(luò)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)等.

學(xué)生的直觀素養(yǎng)是對幾何形體的形態(tài)變化、位置關(guān)系、運(yùn)動規(guī)律等的把握，也包括從形的視角來看待、處理數(shù)的問題的能力. 學(xué)生的直觀素養(yǎng)具有“直觀性”“思辨性”和“創(chuàng)造性”. 借助直觀素養(yǎng)，能開闊學(xué)生的思路，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式. 作為教師，必須有意識地培育學(xué)生的直觀想象素養(yǎng). 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，直覺思維與邏輯思維同等重要. 作為教師，必須有意識地培育學(xué)生的直覺思維能力、直覺想象能力，讓學(xué)生形成“本質(zhì)直觀”能力;通過培育“本質(zhì)直觀”能力，讓學(xué)生形成一種有創(chuàng)新性、創(chuàng)造性的能力.

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