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    從數(shù)學(xué)抽象角度看平方根(1)的教學(xué)

    2022-05-30 04:43:28沈卓
    新課程·上旬 2022年9期
    關(guān)鍵詞:概念數(shù)學(xué)教學(xué)

    沈卓

    平方根是蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第四章第一節(jié)的內(nèi)容,第1課時(shí)主要解決平方根、開(kāi)平方的概念問(wèn)題。根據(jù)教材情境的創(chuàng)設(shè),我們可以看出設(shè)計(jì)者的意圖,第三章學(xué)生剛剛學(xué)過(guò)勾股定理,這一節(jié)內(nèi)容以直角三角形算斜邊來(lái)引入,既體現(xiàn)了一種承上啟下的自然過(guò)渡,又凸顯了平方根的實(shí)用價(jià)值,解決了為什么要學(xué)的問(wèn)題。但在這節(jié)課的學(xué)習(xí)中,學(xué)生還是經(jīng)常產(chǎn)生疑問(wèn)和混淆,比如:平方和開(kāi)平方的關(guān)系到底是怎樣的?因?yàn)槲覀冊(cè)谧鳂I(yè)中經(jīng)常遇到這樣的問(wèn)題,“2的平方是4”這句話(huà)是對(duì)的,但“4的平方根是2”這句話(huà)就錯(cuò)了,因?yàn)檫@種非對(duì)偶性,學(xué)生容易對(duì)這兩種運(yùn)算之間的互逆性產(chǎn)生疑問(wèn)。還有為什么要引進(jìn)根號(hào)這個(gè)符號(hào)?為什么只有非負(fù)數(shù)才有平方根?什么時(shí)候保留根號(hào)什么時(shí)候算出結(jié)果?諸如此類(lèi)的問(wèn)題,很多時(shí)候都是草草而過(guò),學(xué)生只知其然,而不知其所以然,核心素養(yǎng)并未得到提升。為了解決這些問(wèn)題,筆者根據(jù)徐利治、鄭毓信所著的《數(shù)學(xué)抽象方法與抽象度分析法》一書(shū)中數(shù)學(xué)抽象方法的若干原則,嘗試對(duì)這節(jié)課進(jìn)行思考和整合,通過(guò)幾個(gè)教學(xué)片段的分析,探尋方法論指導(dǎo)下概念課教學(xué)的方向。

    一、符號(hào)意識(shí)促進(jìn)概念生成

    教學(xué)片段1:

    師:在課本94頁(yè)的圖4-1中,小方格的邊長(zhǎng)為1,你能算出圖中AB的長(zhǎng)嗎?

    生:由勾股定理可得AB2=32+42=25,所以AB=5。(負(fù)舍)

    師:那你能算出圖中A′B′的長(zhǎng)嗎?

    生:可以算出A′B′2=41,但A′B′算不出來(lái)。

    師追問(wèn):為什么算不出來(lái)呢?

    生:“A′B′不是整數(shù)?!薄俺槐M?!薄安皇怯欣頂?shù)。”“表示不出來(lái)?!薄?/p>

    生:我會(huì)了。

    師:那么,當(dāng)x2=41時(shí),x等于多少?

    師小結(jié):很好,當(dāng)x2=41時(shí),x叫做41的平方根,也稱(chēng)為二次方根,顧名思義,這個(gè)方程涉及的運(yùn)算是平方(二次方)運(yùn)算,x也是這個(gè)方程的解(根)。

    生:知道了。

    師:那么x又等于多少呢?

    生2:不對(duì)x也有可能不存在。

    師追問(wèn):為什么呢?

    生:任何一個(gè)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù),當(dāng)a是一個(gè)負(fù)數(shù)的時(shí)候,x就不存在了。

    二、辯證思維突出概念特征

    教學(xué)片段2:

    師:剛剛我們知道了什么是開(kāi)平方,為了研究它的特點(diǎn),我們可以把它和什么運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)?

    生:平方運(yùn)算,它們互為逆運(yùn)算。

    師:那么平方運(yùn)算有什么特點(diǎn)呢?

    生:“任何一個(gè)數(shù)都可以平方。”“平方的結(jié)果都是非負(fù)數(shù)?!薄坝欣頂?shù)的平方還是有理數(shù),無(wú)理數(shù)的平方可能是無(wú)理數(shù),可能是有理數(shù)?!薄?/p>

    師:在此基礎(chǔ)上,請(qǐng)你思考開(kāi)平方的特點(diǎn),它和平方運(yùn)算之間有哪些區(qū)別和聯(lián)系呢?(給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間)

    師:請(qǐng)你和組員分享交流你的發(fā)現(xiàn),越全面越好。(給學(xué)生小組交流的時(shí)間)

    師:說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)。

    生:“任何一個(gè)數(shù)都可以進(jìn)行平方,但只有非負(fù)數(shù)才能開(kāi)平方?!薄捌椒竭\(yùn)算的結(jié)果只有1個(gè),開(kāi)平方的結(jié)果可能有互為相反數(shù)的兩個(gè)(正數(shù)),也可能只有一個(gè)(0),也可能沒(méi)有(負(fù)數(shù))?!薄耙粋€(gè)有理數(shù)的平方根可能是有理數(shù),也可能是無(wú)理數(shù),一個(gè)無(wú)理數(shù)的平方根還是無(wú)理數(shù)?!薄?/p>

    師小結(jié):經(jīng)過(guò)剛才的討論和分享,相信同學(xué)們對(duì)開(kāi)平方的理解更加清晰了,平方和開(kāi)平方互為逆運(yùn)算,它們存在一定的聯(lián)系,但不是完全統(tǒng)一,在應(yīng)用的過(guò)程中不能靠想當(dāng)然來(lái)解決問(wèn)題,必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎肌?/p>

    在種種數(shù)學(xué)模式的探索、設(shè)計(jì)與建構(gòu)過(guò)程中,應(yīng)當(dāng)力求按照簡(jiǎn)單性、統(tǒng)一性、對(duì)稱(chēng)性和奇異性等審美標(biāo)準(zhǔn)去選擇目標(biāo)和方法,即抽象方法中提到的審美直覺(jué)選擇性原則。這種審美直覺(jué)的引導(dǎo)和培養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科育人的一種重要體現(xiàn)。在初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,很多命題都會(huì)成對(duì)出現(xiàn),容易令人形成一種思維的慣性(某種低層次的審美直覺(jué)),數(shù)學(xué)概念存在必然可逆性或必然對(duì)稱(chēng)性。這其實(shí)也是導(dǎo)致平方根(1)這節(jié)課中為什么總是有孩子犯這樣的錯(cuò)誤,即他認(rèn)為4的平方根只有2,因?yàn)榈惯^(guò)來(lái)2的平方是4是正確的。所以我們?cè)诮虒W(xué)中要注意,審美直覺(jué)是需要培養(yǎng)的,沒(méi)有這種直覺(jué),學(xué)生就會(huì)缺乏思考問(wèn)題的方向,但在審美直覺(jué)的引導(dǎo)下,我們不應(yīng)想當(dāng)然,而應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地去培養(yǎng)一種辯證的思維。在平方根(1)這節(jié)課的教學(xué)中,我們可以先鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)聯(lián)系過(guò)往經(jīng)驗(yàn)去發(fā)現(xiàn)平方和開(kāi)平方的互逆性,再根據(jù)逆向分析精確化原則,即在數(shù)學(xué)的研究中,應(yīng)當(dāng)注意通過(guò)命題及其逆命題的綜合分析更好地把握有關(guān)概念的本質(zhì)特性,并最終建立有關(guān)概念的嚴(yán)格定義,通過(guò)分析它們之間的聯(lián)系和差異去發(fā)現(xiàn)開(kāi)平方的特性并使得這種特性被反復(fù)強(qiáng)化,那這節(jié)課的重難點(diǎn)也就解決了。這一過(guò)程也是一種強(qiáng)抽象思想的體現(xiàn),利于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系,形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

    三、細(xì)節(jié)突破加深概念理解

    師:沒(méi)錯(cuò),在乘方運(yùn)算中,乘方既表示運(yùn)算又可能表示冪。根號(hào)這個(gè)符號(hào)既可以表示開(kāi)平方這種運(yùn)算,在一些結(jié)果是無(wú)理數(shù)的情況下,又可以表示結(jié)果。區(qū)分清楚根號(hào)的作用有利于我們正確地理解式子的含義,找出正確的答案。

    類(lèi)比聯(lián)想在教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,如學(xué)習(xí)了一元一次方程的定義就可以推出一元二次方程的定義。而因?yàn)閷W(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)研究了它的定義、圖象、性質(zhì)、應(yīng)用,所以學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)也可以從這幾個(gè)角度去研究,這就是一種思維方法的類(lèi)比了,就需要教師有意識(shí)地去引導(dǎo)和培養(yǎng)。在這節(jié)課中有一點(diǎn)值得細(xì)究的內(nèi)容,即對(duì)根號(hào)的理解,根號(hào)不僅能用來(lái)表示一個(gè)數(shù)的平方根作為結(jié)果存在,還能代表開(kāi)平方這種計(jì)算,而這種細(xì)節(jié)的問(wèn)題其實(shí)是很多老師在教學(xué)中忽略的。為了更好地理解這種雙重性,我們可以將開(kāi)平方與之前學(xué)過(guò)的乘方運(yùn)算進(jìn)行類(lèi)比,它們都身兼運(yùn)算、結(jié)果的雙重身份。明確了根號(hào)的意義就能讓學(xué)生正確列式或者正確理解式子的意思,在很大程度上能解決學(xué)生在求平方根時(shí)混淆不清,經(jīng)常漏解、多解、化簡(jiǎn)有疑問(wèn)的情況。所以,我們的概念課教學(xué)應(yīng)在概念的細(xì)節(jié)上多琢磨,練習(xí)則可以適當(dāng)精簡(jiǎn),教學(xué)效果可能會(huì)更好。

    我們?cè)谶@一教學(xué)過(guò)程中用到的建模、類(lèi)比、逆向思考等思想方法在日常教學(xué)中常常用到,初中階段的學(xué)生對(duì)這些思想方法的認(rèn)識(shí)是模糊的,而教師則是有這樣的意識(shí)但很難教給學(xué)生,大部分人都不清楚這些都是數(shù)學(xué)抽象的體現(xiàn)。其實(shí)數(shù)學(xué)抽象既是解決問(wèn)題的手段,又是需要培養(yǎng)的能力,它非?!俺橄蟆保晕覀兏枰鄳?yīng)的方法論的指導(dǎo)。而由于概念與抽象不可分割的特性,概念課就是應(yīng)用和培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力的最佳陣地,兩者相輔相成。借助數(shù)學(xué)抽象的方法和原則去審視概念課的教學(xué)應(yīng)成為概念課教學(xué)的一個(gè)新視角,讓概念課脫離僵硬生成、練習(xí)強(qiáng)化的老套路,真正培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

    參考文獻(xiàn):

    徐利治,鄭毓信.數(shù)學(xué)抽象方法與抽象度分析法[M].南京:江蘇教育出版社,1990.

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