新課標(biāo)“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容分析：從結(jié)構(gòu)到要求

呂世虎，顏飛

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容進(jìn)行了結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)，使主題更加明確，核心內(nèi)容更加突出，更有利于核心素養(yǎng)的培育;內(nèi)容呈現(xiàn)按照“領(lǐng)域+學(xué)段”的思路設(shè)計(jì)，在“內(nèi)容要求”的基礎(chǔ)上增加了“學(xué)業(yè)要求”與“教學(xué)提示”等表述形式，使課程標(biāo)準(zhǔn)更具操作性與指導(dǎo)性;內(nèi)容要求依據(jù)“數(shù)據(jù)分類”“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)”“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”“抽樣與數(shù)據(jù)分析”“隨機(jī)事件的概率”這五個(gè)主題由淺入深、層層遞進(jìn)，注重整體性與階段性，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，并融入了百分?jǐn)?shù)、平均數(shù)分布式計(jì)算的方法等，以適應(yīng)大數(shù)據(jù)時(shí)代的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn);義務(wù)教育;統(tǒng)計(jì)與概率;課程內(nèi)容;結(jié)構(gòu)化

呂世虎教授團(tuán)隊(duì)的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》課程內(nèi)容深度分析系列文章之一?；仡欀腥A人民共和國(guó)成立以來(lái)，歷次頒布的小學(xué)和初中階段的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（教學(xué)大綱），統(tǒng)計(jì)內(nèi)容一直都有設(shè)置，而概率內(nèi)容在2000年以前均沒有設(shè)置。在21世紀(jì)的義務(wù)教育課程改革中，“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容在數(shù)學(xué)課程中得到了很大的發(fā)展，不僅作為獨(dú)立的學(xué)習(xí)領(lǐng)域，而且在學(xué)習(xí)要求上更加聚焦“統(tǒng)計(jì)觀念”和“數(shù)據(jù)分析觀念”的培養(yǎng)。參見：劉久成.小學(xué)統(tǒng)計(jì)教學(xué)六十年發(fā)展研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011（5）;謝益民.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱比較研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003（1）。本文從內(nèi)容結(jié)構(gòu)、內(nèi)容呈現(xiàn)、內(nèi)容要求三方面對(duì)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）中的“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容做具體分析。

一、新課標(biāo)中“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容結(jié)構(gòu)分析

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，內(nèi)容結(jié)構(gòu)主要是指不同學(xué)段的課程內(nèi)容所涵蓋的知識(shí)領(lǐng)域及其主題的分布?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2011年版課標(biāo)”）將義務(wù)教育階段分為三個(gè)學(xué)段（小學(xué)分為兩個(gè)學(xué)段，初中為第三學(xué)段），而新課標(biāo)將義務(wù)教育階段分為四個(gè)學(xué)段（小學(xué)分為三個(gè)學(xué)段，初中為第四學(xué)段）。兩版課標(biāo)均設(shè)置了數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四個(gè)領(lǐng)域。與2011年版課標(biāo)相比，新課標(biāo)明確和整合了各領(lǐng)域下的主題。其中，統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域的主題變化不大（如表1所示）。

由表1可知，與2011年版課標(biāo)相比，新課標(biāo)明確了“數(shù)據(jù)分類”主題。數(shù)據(jù)分類是信息分析的基礎(chǔ)，其本質(zhì)是根據(jù)信息對(duì)事物分類。學(xué)生在學(xué)前階段已經(jīng)有對(duì)事物進(jìn)行分類的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，比如果蔬分類、垃圾分類等。在第一學(xué)段，以“數(shù)據(jù)分類”主題為切入點(diǎn)，有利于學(xué)生順利進(jìn)入統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域的學(xué)習(xí)。因此，第一學(xué)段“數(shù)據(jù)分類”主題的教學(xué)目標(biāo)主要是幫助學(xué)生從一般意義的事物分類過(guò)渡到統(tǒng)計(jì)學(xué)中的數(shù)據(jù)分類。同時(shí)，數(shù)據(jù)分類是數(shù)據(jù)整理的基礎(chǔ)，比如制作條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、頻數(shù)直方圖等的第一步就是數(shù)據(jù)分類或分組。

新課標(biāo)將“簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)過(guò)程”主題改為“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)”主題，并貫穿于第二、第三學(xué)段中，明確地體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)的核心內(nèi)容。本次課程標(biāo)準(zhǔn)修訂聚焦于數(shù)學(xué)課程應(yīng)著力培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)。學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)需要通過(guò)相應(yīng)的數(shù)學(xué)核心內(nèi)容去發(fā)展。數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)是數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的具體過(guò)程，也是數(shù)據(jù)分析的關(guān)鍵步驟。新課標(biāo)中，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，第二學(xué)段處理的數(shù)據(jù)相對(duì)簡(jiǎn)單一些，用條形統(tǒng)計(jì)圖與平均數(shù)基本上可以描述其特征;第三學(xué)段處理的數(shù)據(jù)相對(duì)復(fù)雜一些，增加了折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖以及百分?jǐn)?shù)來(lái)刻畫其特征。2011年版課標(biāo)將百分?jǐn)?shù)內(nèi)容設(shè)置在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，而新課標(biāo)將其設(shè)置在統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域。事實(shí)上，百分?jǐn)?shù)的本質(zhì)是對(duì)兩個(gè)數(shù)量倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)，不僅可以表達(dá)確定數(shù)據(jù)，而且可以表達(dá)隨機(jī)數(shù)據(jù)。新課標(biāo)將百分?jǐn)?shù)作為表達(dá)統(tǒng)計(jì)量的形式，更多地應(yīng)用于隨機(jī)數(shù)據(jù)的表達(dá)，比如下雨概率、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率、投籃命中率等。這可以讓學(xué)生初步感受數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，為決策提供依據(jù)。

與2011年版課標(biāo)相比，新課標(biāo)中“抽樣與數(shù)據(jù)分析”“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”“隨機(jī)事件的概率”三個(gè)主題在表達(dá)上變化不大，只是將“事件的概率”變更為“隨機(jī)事件的概率”。第四學(xué)段設(shè)置的“抽樣與數(shù)據(jù)分析”主題，是“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)”主題的延續(xù)，標(biāo)志著該學(xué)段的統(tǒng)計(jì)內(nèi)容由描述統(tǒng)計(jì)進(jìn)入推斷統(tǒng)計(jì)。具體來(lái)看，要求采用“抽樣”的方法收集數(shù)據(jù)，其目的是通過(guò)樣本的特征推斷總體的特征。同時(shí)，對(duì)“統(tǒng)計(jì)圖”和“統(tǒng)計(jì)量”的內(nèi)容在前三個(gè)學(xué)段的基礎(chǔ)上做了進(jìn)一步的擴(kuò)充?！敖y(tǒng)計(jì)圖”中設(shè)置了頻數(shù)直方圖、箱線圖等，“統(tǒng)計(jì)量”中設(shè)置了眾數(shù)、中位數(shù)、方差、四分位數(shù)等。其中，箱線圖、四分位數(shù)為新增內(nèi)容。此外，在大數(shù)據(jù)分析的背景下，還融入了分布式計(jì)算平均數(shù)與百分?jǐn)?shù)的內(nèi)容，增加了數(shù)據(jù)分組的內(nèi)容?！半S機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”“隨機(jī)事件的概率”兩個(gè)主題分別設(shè)置在第三、第四學(xué)段中，主要從定性與定量?jī)蓚€(gè)層次刻畫隨機(jī)現(xiàn)象。

二、新課標(biāo)中“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容呈現(xiàn)分析

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，內(nèi)容呈現(xiàn)主要是指課程內(nèi)容的設(shè)計(jì)思路與表述形式。新課標(biāo)中，“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容的設(shè)計(jì)思路和表述形式有新的變化。

（一）“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容設(shè)計(jì)思路分析

2011年版課標(biāo)按照“學(xué)段+領(lǐng)域”的思路設(shè)計(jì)課程內(nèi)容，統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域的內(nèi)容分散在三個(gè)學(xué)段中呈現(xiàn)。而新課標(biāo)按照“部分+領(lǐng)域+學(xué)段”的思路設(shè)計(jì)課程內(nèi)容，統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域四個(gè)學(xué)段的內(nèi)容按照小學(xué)、初中部分集中呈現(xiàn)，順序展開。每個(gè)學(xué)段都有明確的主題（有的主題貫穿于不同學(xué)段），有效銜接形成整體。這種“領(lǐng)域+學(xué)段”的設(shè)計(jì)思路，突顯了統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域的核心內(nèi)容，加強(qiáng)了主題之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了內(nèi)容統(tǒng)整的理念，在一定程度上避免了知識(shí)的碎片化，有助于教材編寫與教學(xué)設(shè)計(jì)中明確核心內(nèi)容，凸顯核心內(nèi)容與核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)，推動(dòng)核心素養(yǎng)的落實(shí)。

（二）“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容表述形式分析

與2011年版課標(biāo)相比，新課標(biāo)中課程內(nèi)容的表述形式不僅有“內(nèi)容要求”，而且增加了“學(xué)業(yè)要求”“教學(xué)提示”，即從“學(xué)什么”“學(xué)到什么程度”“怎樣學(xué)”三個(gè)方面全面地表述課程內(nèi)容。這加強(qiáng)了課程標(biāo)準(zhǔn)在教材編寫、教學(xué)設(shè)計(jì)以及教學(xué)評(píng)價(jià)中的操作性與指導(dǎo)性。以統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域第一學(xué)段的“數(shù)據(jù)分類”主題為例，具體表述如下：

【內(nèi)容要求】

會(huì)對(duì)物體、圖形或數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，初步了解分類與分類標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系，形成初步的數(shù)據(jù)意識(shí)。

【學(xué)業(yè)要求】

能依據(jù)事物特征，按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類;能發(fā)現(xiàn)事物的特征并制訂分類標(biāo)準(zhǔn)，依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)事物分類;能用語(yǔ)言簡(jiǎn)單描述分類的過(guò)程;感知事物的共性和差異，形成初步的數(shù)據(jù)意識(shí)。

【教學(xué)提示】

要重視對(duì)接學(xué)生學(xué)前階段已有的生活經(jīng)驗(yàn)，鼓勵(lì)學(xué)生在活動(dòng)中學(xué)會(huì)物體的簡(jiǎn)單分類，在親身參與的動(dòng)手活動(dòng)中感悟分類的價(jià)值，在分類的過(guò)程中認(rèn)識(shí)事物的共性與區(qū)別，學(xué)會(huì)分類的方法。鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用文字、圖畫或表格等方式記錄并描述分類的結(jié)果，體會(huì)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，形成初步的數(shù)據(jù)意識(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)中的數(shù)據(jù)分類打好基礎(chǔ)。

由此可知，“數(shù)據(jù)分類”主題的內(nèi)容要求主要是對(duì)學(xué)習(xí)范圍的表述，包括物體、圖形或數(shù)據(jù)的分類以及分類標(biāo)準(zhǔn)等。學(xué)業(yè)要求主要是對(duì)學(xué)習(xí)程度的表達(dá)，比如：按照給定標(biāo)準(zhǔn)對(duì)事物進(jìn)行分類;自己制訂標(biāo)準(zhǔn)對(duì)事物進(jìn)行分類;能用語(yǔ)言簡(jiǎn)單描述分類的過(guò)程，為數(shù)據(jù)分類奠定基礎(chǔ)。教學(xué)提示則主要是對(duì)相關(guān)內(nèi)容教學(xué)實(shí)施的建議，比如：重視對(duì)接學(xué)生學(xué)前階段已有的生活經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)合適的教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生形成初步的數(shù)據(jù)意識(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)中的數(shù)據(jù)分類打好基礎(chǔ)。

三、新課標(biāo)中“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容要求分析

新課標(biāo)中，統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域下設(shè)置了“數(shù)據(jù)分類”“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)”“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”“抽樣與數(shù)據(jù)分析”“隨機(jī)事件的概率”五個(gè)主題。這些主題分布在各個(gè)學(xué)段，內(nèi)容要求由淺入深、層層遞進(jìn)。以下具體分析這五個(gè)主題的內(nèi)容要求。

（一）“數(shù)據(jù)分類”內(nèi)容要求分析

“數(shù)據(jù)分類”主題設(shè)置在第一學(xué)段中，但該主題的相關(guān)內(nèi)容貫穿于整個(gè)統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域。數(shù)據(jù)分類的本質(zhì)是根據(jù)信息對(duì)事物分類，主要包括兩個(gè)層面。一是對(duì)“事物”分類，比如生活中物體的分類、數(shù)的分類、圖形的分類等。這種對(duì)事物的分類可以看作初級(jí)的數(shù)據(jù)分類，即在一組事物中把具有相同屬性的事物作為一類，比如按大小分類、按顏色分類、按形狀分類、按擺放的位置分類等。二是對(duì)通過(guò)調(diào)查等取得的“數(shù)據(jù)”分類。解決問題時(shí)經(jīng)常需要調(diào)查研究或?qū)嶒?yàn)探究，收集數(shù)據(jù)，通過(guò)具體調(diào)查或?qū)嶒?yàn)取得數(shù)據(jù)是統(tǒng)計(jì)分析的前提，數(shù)據(jù)整理的第一步就是分類。

第一學(xué)段要求“會(huì)對(duì)物體、圖形或數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，初步了解分類與分類標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系，形成初步的數(shù)據(jù)意識(shí)”，目的便是讓學(xué)生經(jīng)歷從事物分類到數(shù)據(jù)分類的過(guò)程。這一學(xué)段的教學(xué)要和學(xué)生的學(xué)前經(jīng)驗(yàn)結(jié)合起來(lái)，尤其要注重過(guò)程，讓學(xué)生參與分類的活動(dòng)，感知分類的價(jià)值與方法。第二、第三、第四學(xué)段均要求會(huì)利用統(tǒng)計(jì)圖整理與表達(dá)數(shù)據(jù)，而統(tǒng)計(jì)圖的學(xué)習(xí)與數(shù)據(jù)分類緊密相關(guān)：制作統(tǒng)計(jì)圖的第一步就是對(duì)收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類或分組。其中，數(shù)據(jù)分組在大數(shù)據(jù)分析中非常重要，其本質(zhì)就是數(shù)據(jù)分類，比如，頻數(shù)直方圖事實(shí)上是對(duì)數(shù)據(jù)按照確定的組距和組數(shù)分類的直觀表示。此外，第四學(xué)段設(shè)置了“按照組內(nèi)離差平方和最小的原則進(jìn)行數(shù)據(jù)分類”的內(nèi)容，這是統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上對(duì)數(shù)據(jù)分組的具體方法。雖然可以有各種方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，但使得“組內(nèi)離差平方和達(dá)到最小”的方法是最傳統(tǒng)的，也是非常合理的。綜上，數(shù)據(jù)分類的教學(xué)應(yīng)該有意識(shí)地滲透數(shù)據(jù)分類的思想，注重?cái)?shù)據(jù)分類的過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)據(jù)分類的必要性，掌握數(shù)據(jù)分類的基本方法與應(yīng)用。

（二）“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)”內(nèi)容要求分析

“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)”主題貫穿于第二、第三學(xué)段中。這一主題主要圍繞數(shù)據(jù)分析的過(guò)程展開，包括收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，利用統(tǒng)計(jì)圖表、平均數(shù)和百分?jǐn)?shù)等表達(dá)數(shù)據(jù)等。這是描述統(tǒng)計(jì)的主要內(nèi)容，也是第四學(xué)段中推斷統(tǒng)計(jì)內(nèi)容學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。數(shù)據(jù)是統(tǒng)計(jì)的基本要素，不同學(xué)段學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知發(fā)展存在差異，因此，第二、第三學(xué)段雖然都設(shè)置了“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)”主題，但是所針對(duì)的數(shù)據(jù)的復(fù)雜程度是有區(qū)別的。具體來(lái)看，第二學(xué)段要求在“具體實(shí)例”中經(jīng)歷簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)分析的過(guò)程，重點(diǎn)是讓學(xué)生在具體實(shí)例中感受數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含著豐富的信息，并采用簡(jiǎn)單的方法整理和表達(dá)數(shù)據(jù)及其特征;第三學(xué)段則要求根據(jù)“實(shí)際問題”經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的整個(gè)過(guò)程，重點(diǎn)是讓學(xué)生在實(shí)際情境中收集數(shù)據(jù)，并采用合適的方法整理和表達(dá)數(shù)據(jù)，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。隨著所面臨的問題以及數(shù)據(jù)復(fù)雜程度的增大，處理數(shù)據(jù)的方法也逐漸豐富，這主要體現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)圖與統(tǒng)計(jì)量?jī)煞矫妗?/p>

在統(tǒng)計(jì)圖方面，新課標(biāo)在統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域設(shè)置的統(tǒng)計(jì)圖包括條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、頻數(shù)直方圖與箱線圖。其中，第二學(xué)段要求學(xué)習(xí)條形統(tǒng)計(jì)圖;第三學(xué)段要求學(xué)習(xí)折線統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，對(duì)扇形統(tǒng)計(jì)圖只要求認(rèn)識(shí)并知道其功能;第四學(xué)段要求學(xué)習(xí)頻數(shù)直方圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖和箱線圖，對(duì)扇形統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)一步要求會(huì)制作，對(duì)箱線圖只要求會(huì)從圖中看出數(shù)據(jù)分布信息，不要求會(huì)畫。這五種統(tǒng)計(jì)圖均是直觀描述數(shù)據(jù)的重要方法，且各具優(yōu)勢(shì)。條形統(tǒng)計(jì)圖可以直觀呈現(xiàn)不同類別數(shù)據(jù)數(shù)量的多少;折線統(tǒng)計(jì)圖不僅呈現(xiàn)了不同類別數(shù)據(jù)數(shù)量的多少，而且反映出其數(shù)量的增減變化;扇形統(tǒng)計(jì)圖可以直觀呈現(xiàn)不同類別數(shù)據(jù)數(shù)量在整體中的占比情況，可以用百分?jǐn)?shù)表示;頻數(shù)直方圖可以直觀呈現(xiàn)不同類別數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)分布情況;箱線圖可以直觀呈現(xiàn)數(shù)據(jù)分布情況。因此，教學(xué)中，要讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)各種統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)，能根據(jù)不同的實(shí)際情況選擇更適合的統(tǒng)計(jì)圖;同時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生理解，選擇哪種統(tǒng)計(jì)圖來(lái)表征數(shù)據(jù)，只有合適與不合適之分，沒有對(duì)與錯(cuò)之分。

在統(tǒng)計(jì)量方面，新課標(biāo)在統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域設(shè)置的統(tǒng)計(jì)量包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、離差平方和、方差、四分位數(shù)、百分位數(shù)等。其中，第二學(xué)段學(xué)習(xí)平均數(shù)，具體要求是：“知道用平均數(shù)可以刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，知道平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義;知道平均數(shù)是介于最大數(shù)與最小數(shù)之間的數(shù)，能描述平均數(shù)的含義;能用平均數(shù)解決有關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際問題，形成初步的數(shù)據(jù)意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。”這不僅說(shuō)明了平均數(shù)的教學(xué)要求，而且闡明了平均數(shù)的本質(zhì)。教學(xué)時(shí)，要從現(xiàn)實(shí)生活問題入手，讓學(xué)生通過(guò)調(diào)查研究或?qū)嶒?yàn)探究，收集數(shù)據(jù)，體會(huì)平均數(shù)產(chǎn)生的必要性，知道平均數(shù)可以刻畫數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和代表一組數(shù)據(jù)的“整體水平”，培育學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)。第三學(xué)段沒有要學(xué)習(xí)的統(tǒng)計(jì)量，但將百分?jǐn)?shù)作為表達(dá)統(tǒng)計(jì)量的形式來(lái)學(xué)習(xí)，目的是讓學(xué)生結(jié)合扇形統(tǒng)計(jì)圖，了解百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義，利用百分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界中的隨機(jī)現(xiàn)象。因此，百分?jǐn)?shù)的教學(xué)，要從真實(shí)的問題情境出發(fā)，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生真切地感受到百分?jǐn)?shù)好似一把標(biāo)尺，使不好比較的兩個(gè)量變得可以比較，使不容易比較的兩個(gè)量變得容易比較，進(jìn)而感受到百分?jǐn)?shù)可以幫助人們作出判斷和預(yù)測(cè)，體會(huì)到百分?jǐn)?shù)的價(jià)值。第四學(xué)段不僅要學(xué)習(xí)刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等），而且要學(xué)習(xí)刻畫數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量（離差平方和、方差）和刻畫數(shù)據(jù)分布位置的統(tǒng)計(jì)量（四分位數(shù)、百分位數(shù)）。這些統(tǒng)計(jì)量都能反映數(shù)據(jù)的特征，但各具特點(diǎn)。例如，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)均能反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，但它們作為一組數(shù)據(jù)的代表又具有不同的特點(diǎn)：平均數(shù)由所有數(shù)據(jù)計(jì)算產(chǎn)生，能充分反映數(shù)據(jù)提供的信息，因此在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用較廣，但它容易受到極端值的影響;中位數(shù)對(duì)極端值不敏感，但它沒有利用數(shù)據(jù)中的所有信息;眾數(shù)只能反映一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻次最多的數(shù)據(jù)，也沒有利用數(shù)據(jù)中的所有信息。因此，教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的統(tǒng)計(jì)量刻畫數(shù)據(jù)的特征。

（三）“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”內(nèi)容要求分析

“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”主題設(shè)置在第三學(xué)段中，主要是對(duì)不確定現(xiàn)象的定性描述。自然界和人類社會(huì)中的現(xiàn)象可以分為兩類：一類是在一定的條件下，必然會(huì)發(fā)生（出現(xiàn)）的現(xiàn)象，稱為確定現(xiàn)象，如“地球圍繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)”“水從高處往低處流”“同性電荷相互排斥”等;另一類則是在相同的條件下，試驗(yàn)或觀察之前不能確定會(huì)出現(xiàn)哪種結(jié)果，不同次的試驗(yàn)或觀察會(huì)得到不同的結(jié)果的現(xiàn)象，稱為隨機(jī)現(xiàn)象，如向上拋擲一枚硬幣，事先無(wú)法確定硬幣掉下來(lái)后哪一面朝上，不同次的拋擲會(huì)出現(xiàn)“正面朝上”和“反面朝上”兩種不同的結(jié)果。

第三學(xué)段有關(guān)可能性的教學(xué)內(nèi)容主要包括兩方面：一是通過(guò)實(shí)例認(rèn)識(shí)到生活中有些事情的發(fā)生是不確定的，而不確定的事件中可能發(fā)生的不同結(jié)果的可能性是有大小的;二是初步學(xué)會(huì)根據(jù)所有可能發(fā)生的情況，正確判斷某種結(jié)果發(fā)生的可能性大小。教學(xué)中，可以組織學(xué)生拋擲硬幣，每回拋擲相同的次數(shù)，收集到正面朝上和反面朝上的次數(shù)可能不相同。也就是，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)，了解簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象，定性描述隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小，體會(huì)利用數(shù)據(jù)提供的信息可以幫助人們進(jìn)行判斷;同時(shí)感悟?qū)τ谕瑯拥氖虑槊看问占降臄?shù)據(jù)可能不同，只要有足夠多的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)、歸納能力和創(chuàng)新意識(shí)。因此，滲透隨機(jī)思想是“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”教學(xué)的核心。

（四）“抽樣與數(shù)據(jù)分析”內(nèi)容要求分析

“抽樣與數(shù)據(jù)分析”主題設(shè)置在第四學(xué)段中，主要還是圍繞數(shù)據(jù)分析的整個(gè)過(guò)程展開，但是以推斷性統(tǒng)計(jì)分析為主（“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)”主題以描述性統(tǒng)計(jì)分析為主）。由此，可以呈現(xiàn)統(tǒng)計(jì)解決問題的完整思路：收集數(shù)據(jù)，整理與描述數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，利用數(shù)據(jù)解釋或說(shuō)明問題。

第四學(xué)段中，收集數(shù)據(jù)的方法主要是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。實(shí)際問題中，很多情況下收集全部研究對(duì)象的數(shù)據(jù)有困難，只能從全部研究對(duì)象中抽取一部分作為代表。例如，要收集電器產(chǎn)品使用壽命的數(shù)據(jù)，需要對(duì)電器產(chǎn)品通電使用，直到用壞為止。這是一種破壞性的收集數(shù)據(jù)的方法，因此，在研究中不能對(duì)全部產(chǎn)品使用。

整理與描述數(shù)據(jù)可以使用統(tǒng)計(jì)圖，如條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、頻數(shù)直方圖等。條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖（直觀認(rèn)識(shí)）在第二、第三學(xué)段學(xué)習(xí)過(guò)，頻數(shù)直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖（繪制）是第四學(xué)段要學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容。

分析數(shù)據(jù)主要是提取數(shù)據(jù)信息，即數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，包括刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)，刻畫數(shù)據(jù)離散程度的方差和刻畫數(shù)據(jù)分布位置的四分位數(shù)、百分位數(shù)等;還可以根據(jù)這些統(tǒng)計(jì)量畫出箱線圖，直觀地反映一組數(shù)據(jù)的最小值、第一四分位數(shù)、中位數(shù)、第三四分位數(shù)、最大值的情況。

最后，利用數(shù)據(jù)解釋或說(shuō)明問題主要是利用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征，利用樣本的變化趨勢(shì)估計(jì)總體的變化趨勢(shì)。

此外，第四學(xué)段還融入了分布式計(jì)算平均數(shù)或百分?jǐn)?shù)的內(nèi)容，這與我們所處的大數(shù)據(jù)時(shí)代緊密相關(guān)。首先，大數(shù)據(jù)最主要的兩個(gè)特征是“數(shù)據(jù)量大”“類型繁多”，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行快速計(jì)算和有效分類是高效發(fā)揮數(shù)據(jù)資源價(jià)值的手段。如今，阿里云、騰訊云等產(chǎn)業(yè)均是依靠大數(shù)據(jù)分析運(yùn)營(yíng)的，它們分析數(shù)據(jù)的主要方法是分布式計(jì)算。這種計(jì)算方式將需要解決的問題分解成許多小的部分，分配給多臺(tái)計(jì)算機(jī)處理，這樣可以大大提高計(jì)算效率。因此，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程融入分布式計(jì)算的思想，是對(duì)當(dāng)前時(shí)代發(fā)展的一種適應(yīng)。

（五）“隨機(jī)事件的概率”內(nèi)容要求分析

“隨機(jī)事件的概率”主題設(shè)置在第四學(xué)段中，主要是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的定量描述。隨機(jī)現(xiàn)象的特征是：可能發(fā)生，也可能不發(fā)生;可能以這樣的程度發(fā)生，也可能以那樣的程度發(fā)生。但是，許多隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小是可以預(yù)測(cè)的。這一主題的內(nèi)容提供的是一種不確定的思維方式，主要引導(dǎo)學(xué)生從不確定的角度觀察世界。

第四學(xué)段關(guān)于概率的教學(xué)內(nèi)容主要包括兩部分：一是用古典概型刻畫概率，二是用頻率刻畫概率。其中，用古典概型刻畫概率是在簡(jiǎn)單隨機(jī)事件背景下的。簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的特征是：所有可能發(fā)生的結(jié)果的個(gè)數(shù)是有限的，每個(gè)可能的結(jié)果發(fā)生的概率是相等的。在這樣的背景下，可以刻畫由某些可能的結(jié)果構(gòu)成的隨機(jī)事件的概率：用隨機(jī)事件包含的可能結(jié)果數(shù)除以簡(jiǎn)單隨機(jī)事件所有的可能結(jié)果數(shù)。這是用理論模型（經(jīng)驗(yàn)公式）來(lái)刻畫隨機(jī)事件的概率。但不是所有的隨機(jī)事件都符合古典概型的特征，例如拋擲一枚圖釘，“針尖朝上”和“針尖朝下”的概率并不相等。這時(shí)，就不能用古典概型刻畫概率，而可以用頻率刻畫概率。這是用一些經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)刻畫隨機(jī)事件的概率。事實(shí)上，用頻率估計(jì)概率更具有一般性，既能刻畫簡(jiǎn)單隨機(jī)事件條件下隨機(jī)事件的概率，也能刻畫不滿足這一條件的隨機(jī)事件的概率。在這一過(guò)程中，能體會(huì)到每次試驗(yàn)結(jié)果的不確定性和大量重復(fù)試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的規(guī)律性。因此，“隨機(jī)事件的概率”的教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷通過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)收集頻率數(shù)據(jù)的過(guò)程以及利用古典概型公式計(jì)算概率的過(guò)程，用頻率估計(jì)概率，用概率定量描述隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小，理解概率的意義。