想象與推理并重　幾何與代數(shù)齊飛

趙小強　張海營

要：對2022年10份高考數(shù)學(xué)試卷中的立體幾何試題進行系統(tǒng)整理與分析，從試題考點、解題方法的角度進行梳理與總結(jié)，通過分析學(xué)生解題中出現(xiàn)的困惑與常見錯誤，在研究高考立體幾何試題的命題規(guī)律與方向的基礎(chǔ)上，為新一輪高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考提出建議.

關(guān)鍵詞：2022年高考;立體幾何;解題分析

立體幾何研究的是現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系，是高中數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，也是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和邏輯推理能力的重要載體.2022年的高考數(shù)學(xué)試卷共有10份：全國甲卷（文、理 科）、全國乙卷 （文、理科）、全國新高考Ⅰ卷、全國新高考Ⅱ卷、北京卷、浙江卷、天津卷、上海卷. 10份試卷涉及的立體幾何試題，全面考查了對空間中的平行關(guān)系和垂直關(guān)系的判斷、推理和證明. 同時，空間角、距離、表面積和體積等基本量的計算仍然是考查的重點. 試題以考查立體幾何的基礎(chǔ)知識、基本方法、基本技能和基本活動經(jīng)驗為主線，結(jié)合生活實際，突出考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng). 下面主要圍繞全國甲卷 （文、理 科）、全國乙卷 （文、理科）、全國新高考Ⅰ卷、全國新高考Ⅱ卷，并兼顧地方卷，進行立體幾何高考試題的解題分析.

一、試題特點分析

2022年的10份高考數(shù)學(xué)試卷中，考查立體幾何的試題共有26道 （文、理科相同試題不累計），它們分布在試卷的第4題到第20題. 其中，16道選擇題或填空題中有2道題涉及三視圖，3道題涉及空間角，3道題涉及有關(guān)球的問題，5道題涉及體積、表面積，2道題涉及空間直線異面、平行和垂直關(guān)系的判定，還有1 道題與其他知識進行融合;解答題在每道小題的設(shè)置上力求證明與求解并重，全方位考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng). 與2021年相比，2022年高考全國乙卷和全國新高考Ⅱ卷立體幾何試題在題量上仍保持兩道客觀題和一道解答題，共計22分;全國甲卷和全國新高考Ⅰ卷立體幾何試題在題量上由兩道客觀題和一道解答題變?yōu)槿揽陀^題和一道解答題，共計27分;全國新高考Ⅰ卷和全國新高考Ⅱ卷延續(xù)了2021年立體幾何多選題的設(shè)置;全國甲卷和全國乙卷的立體幾何客觀題在考查內(nèi)容和表述方式上文、理科完全相同;全國乙卷文、理科對應(yīng)的解答題背景及第（1）小題完全一致，第（2）小題則因文、理科的要求不同而出現(xiàn)不同的設(shè)問，但是全國甲卷文、理科的立體幾何解答題采取了完全不同的背景材料. 整體來看，全國甲卷、全國乙卷、全國新高考Ⅰ卷和全國新高考Ⅱ卷在立體幾何知識的考查上基本保持穩(wěn)定，題型搭配協(xié)調(diào)合理.地方卷與全國卷情形大致相同.

1. 試題分布合理，難度穩(wěn)中有升

2022年的高考立體幾何試題，在考查立體幾何主干知識的基礎(chǔ)上，題型、題量、分值、難度分布合理，總體題量略有增加. 全國新高考Ⅱ卷的解答題由第19題移到第20題的位置，全國乙卷（文、理科）解答題雖然都在第 18 題的位置，但是推理中蘊含著運算，難度增大. 14道選擇題或填空題 （文、理科相同試題不累計） 中有8道題涉及體積或面積的計算，對數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素養(yǎng)的考查表現(xiàn)得尤為突出，學(xué)生達成度與近幾年相比有所下降.

2. 考查重點突出，載體形式更加多樣化

2022年高考立體幾何試題考查的知識點覆蓋了基本立體圖形，三視圖與直觀圖，表面積與體積，空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 （平行、垂直、角度和距離），以及利用空間向量解決立體幾何問題等，覆蓋面廣. 考查重點突出，集中在空間角與距離的求法、幾何體面積與體積的計算等主干知識上. 多以棱柱和棱錐為載體，但是與往年相比，載體形式更加多樣化. 例如，全國甲卷文科第19題和全國新高考Ⅱ卷 第11題均以切割柱體和錐體后的多面體為載體，浙江卷第 19 題以“楔形體”為載體，表現(xiàn)出更大的靈活性，體現(xiàn)了高考命題由“有綱”到“無綱”的過渡，反映了高考命題向“題海戰(zhàn)術(shù)”宣戰(zhàn)的決心.

3. 結(jié)合生活實際，更多回歸數(shù)學(xué)情境

全國甲卷以學(xué)生在參加綜合實踐活動中制作手工模型為試題情境，全國新高考Ⅰ卷以南水北調(diào)工程中水庫蓄水水位變化為試題情境，天津卷以古代中國建筑屋頂樣式之一的“十字歇山頂”為試題情境，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活密不可分，讓學(xué)生在潛移默化中體會到數(shù)學(xué)知識是有用的，考查學(xué)生的閱讀理解能力，以及直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 與往年相比，2022年高考立體幾何試題更多回歸數(shù)學(xué)情境，在對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素養(yǎng)的考查上更加濃墨重彩，指向數(shù)學(xué)本質(zhì).

二、題例解法分析

1. 三視圖，依據(jù)數(shù)量和位置關(guān)系，以及基本幾何體結(jié)構(gòu)特征還原出直觀圖

例1 （全國甲卷·文 / 理4）如圖1，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（ ）.

目標解析：該題重點考查學(xué)生的空間想象能力，對發(fā)展學(xué)生的空間觀念、提升學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)有針對性地推動作用.

解法分析：能從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體各元素之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建出空間直觀圖是該題解題的關(guān)鍵. 根據(jù)正視圖為直角梯形，且上下邊長之比為1∶2，左視圖為正方形，俯視圖為兩個相同的正方形，且邊長均為 2，可以推斷該幾何體為放平的直四棱柱，且上下底面為直角梯形. 由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.

試題分析：用三視圖呈現(xiàn)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征和度量關(guān)系，打破了以往直接給出空間幾何體的直觀圖和相關(guān)數(shù)據(jù)進行計算的傳統(tǒng)模式，化立體為平面，加大了幾何體的空間想象難度，對學(xué)生的空間想象、模型構(gòu)建和運算求解等能力提出了較高要求.

類題賞析：分析近幾年的高考數(shù)學(xué)試題，源于教材的問題很多. 例如，2018 年全國Ⅰ卷理科第 7 題 （文科第9題）利用空間幾何體的三視圖考查表面最短路徑問題;2018年全國Ⅲ卷文 （理） 科第3題通過展示中國古代建筑中的榫卯結(jié)構(gòu)考查空間幾何體的三視圖問題;2021年全國乙卷文（理）科第16題通過空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征考查三視圖的畫法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用的模型思想;2022年浙江卷第5題通過分析組合體的三視圖求幾何體的體積.

在復(fù)習(xí)過程中，要注意以下幾點：（1） 明確三視圖的形成原理，熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖. （2） 注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，看得到的部分用實線表示，遮擋部分用虛線表示. （3） 遇到由幾何體的部分畫出剩余部分的三視圖問題，可以先根據(jù)已知部分的三視圖，推測直觀圖的可能結(jié)構(gòu)，然后再找其剩下部分三視圖的可能結(jié)構(gòu). 作為選擇題，也可以逐項代入檢驗. （4） 運用轉(zhuǎn)化與化歸思想把所求幾何體放在長方體（或正方體）中思考.

2. 體積與表面積，基礎(chǔ)扎實，靈活轉(zhuǎn)化

三、優(yōu)秀試題分析

四、復(fù)習(xí)備考建議

綜觀2022年高考立體幾何試題，主要考查空間位置關(guān)系的論證和空間度量關(guān)系的計算，解決的辦法主要有綜合法、構(gòu)造法、向量法和轉(zhuǎn)化法等，對學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)提出了較高的要求. 因此，立體幾何解題能力的提升要在學(xué)生完全掌握基礎(chǔ)知識的情況下，從點、直線、平面最基本的性質(zhì)入手，構(gòu)建幾何圖形，尋找圖形特征.

通過對以上典型試題的分析，建議在復(fù)習(xí)備考中：一要重視引導(dǎo)學(xué)生用好教材. 教材是落實 《標 準》、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要教學(xué)資源，也是歷年高考命題的重要素材，通過對教材中的知識體系進行系統(tǒng)梳理，依托學(xué)生熟悉的幾何體，掌握線線、線 面、面面之間的相互轉(zhuǎn)化，準確把握立體幾何的本質(zhì)，形成基本的直觀想象素養(yǎng);二要重視引導(dǎo)學(xué)生進行“有圖想圖”與“無圖想圖”等思維過程，逐步提高他們的空間想象能力，建構(gòu)起立體的空間概念;三要重視引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范作圖，逐步弄清楚柱體、錐體和球體等基本圖形的幾何特征，進而能夠識別由基本圖形組合或分拆后形成的新圖形，強化其推理與計算相結(jié)合的意識;最后，要重視引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范書寫表達，在邏輯證明過程中注重規(guī)范嚴謹、思維連貫，要做到有果必有因，切忌無中生結(jié)論，憑空添題設(shè)，不斷提高學(xué)生的邏輯思維能力，提高解題效率.

五、典型模擬題

參考文獻：

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