指向核心素養(yǎng)的高考概率與統(tǒng)計(jì)試題新變化

蔣鳳君　金克勤

摘 要：2022 年高考數(shù)學(xué)試卷中的概率與統(tǒng)計(jì)試題，具有背景豐富、難度穩(wěn)定、考查主干知識(shí)和考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)等特點(diǎn). 從目標(biāo)解析、解法分析、試題分析和類題賞析四個(gè)方面對(duì)優(yōu)秀試題進(jìn)行解析，在此基礎(chǔ)上對(duì)2023年高考概率與統(tǒng)計(jì)的復(fù)習(xí)備考提出了建議.

關(guān)鍵詞：概率與統(tǒng)計(jì);解題分析;復(fù)習(xí)建議

2022年高考數(shù)學(xué)試卷中概率與統(tǒng)計(jì)試題考查的內(nèi)容與 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2017 年版 2022 年修訂）》保持一致，與教材中知識(shí)內(nèi)容的比例相當(dāng)，注重考查內(nèi)容的全面性和層次性，突出對(duì)核心概念、主干知識(shí)和重要思想的考查. 2022年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題重在對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，強(qiáng)調(diào)基本思想方法，以及對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)的基本原理的深入理解和應(yīng)用，在通性、通法的基礎(chǔ)上，適度進(jìn)行了綜合與創(chuàng)新. 試題有較好的信度和區(qū)分度，達(dá)到了考查的目的.

一、試題特點(diǎn)分析

1. 試題背景豐富

2022年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題突出反映了概率與統(tǒng)計(jì)和現(xiàn)實(shí)之間的緊密聯(lián)系. 試題設(shè)置了與社會(huì)經(jīng)濟(jì)密切聯(lián)系的情境. 例如，分析地方性疾病與居民生活衛(wèi)生習(xí)慣之間的關(guān)系，普及垃圾分類知識(shí)的統(tǒng)計(jì)，長(zhǎng)途客車運(yùn)營(yíng)情況分析，林區(qū)某種樹木材積量的估計(jì)和預(yù)測(cè)，流行病調(diào)查，學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)優(yōu)秀獎(jiǎng)人數(shù)和冠軍得主預(yù)測(cè)，等等. 這些試題情境與我國(guó)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和生產(chǎn)、生活實(shí)際相結(jié)合，與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)緊密聯(lián)系，富有時(shí)代特征，突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用性和實(shí)踐性. 在實(shí)際情境中考查學(xué)生運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法解決實(shí)際問題的能力，具有鮮明的時(shí)代特征.

2. 難度保持穩(wěn)定

2022 年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題容量基本保持穩(wěn)定，分值近幾年相比幾乎沒有變化. 全國(guó)甲卷（文、理科）和全國(guó)乙卷 （文、理科） 都是兩道客觀題和一道主觀題，共22分;全國(guó)新高考Ⅰ卷和全國(guó)新高考Ⅱ卷都是一道客觀題和一道主觀題，共17分，占全卷的11.3%～14.7%，與概率與統(tǒng)計(jì)在高中課程中的內(nèi)容比例相當(dāng).2022年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題難度適中，與2021年不同的是沒有出現(xiàn)作為壓軸題的難題. 與全國(guó)甲卷 （文、理科）和全國(guó)乙卷（文、理科）相比，全國(guó)新高考Ⅰ卷和全國(guó)新高考Ⅱ卷難度稍大，今后也可能會(huì)以概率與統(tǒng)計(jì)建模內(nèi)容作為壓軸試題.

3. 考查主干知識(shí)

2022年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題圍繞概率與統(tǒng)計(jì)的主干知識(shí)進(jìn)行考查.

概率考查的主要內(nèi)容有：（1） 古典概型的概率計(jì)算，如全國(guó)新高考Ⅰ卷和全國(guó)新高考Ⅱ卷的第 5 題，全國(guó)甲卷理科第15題，全國(guó)甲卷文科第6題，全國(guó)乙卷理科第13題 （文科第14題）;（2） 概率的性質(zhì)和相互獨(dú)立事件的概率，如全國(guó)甲卷理科第19題，全國(guó)乙卷文科第10題;（3） 條件概率與全概率公式，如全國(guó)新高考Ⅰ卷第20題，全國(guó)新高考Ⅱ卷第19題，天津卷第13題;（4）隨機(jī)變量分布列與數(shù)字特征、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布，如全國(guó)新高考Ⅱ卷第13題，全國(guó)甲卷理科第19題，北京卷第18題，浙江卷第15題.

統(tǒng)計(jì)考查的內(nèi)容有：（1） 隨機(jī)抽樣與數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，如全國(guó)新高考Ⅰ卷第 20 題，全國(guó)甲卷理科第2題 （文科第2題），全國(guó)甲卷文科第17題;（2） 統(tǒng)計(jì)圖表與數(shù)據(jù)數(shù)字特征，如全國(guó)新高考Ⅱ卷第19題，全國(guó)甲卷理科第 2 題 （文科第 2 題），全國(guó)乙卷文科第4題，天津卷第4題;（3）統(tǒng)計(jì)相關(guān)性與一元線性回歸模型，如全國(guó)乙卷文科第19題;（4） 獨(dú)立性檢驗(yàn)，如全國(guó)新高考Ⅰ卷第20題，全國(guó)甲卷文科第17題.

2022年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題涵蓋高中概率與統(tǒng)計(jì)的主要知識(shí)，全面考查了概率與統(tǒng)計(jì)的主要知識(shí)和方法，考查的知識(shí)覆蓋面廣，系統(tǒng)性、聯(lián)系性強(qiáng)，體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的特點(diǎn).

4. 考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)

2022年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題體現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查要求.

首先，是數(shù)學(xué)閱讀，概率與統(tǒng)計(jì)主觀題的文字量是所有數(shù)學(xué)試題中最多的，學(xué)生要審讀試題，在短時(shí)間內(nèi)依據(jù)概率與統(tǒng)計(jì)的概念和知識(shí)理解題意，了解問題的背景，形成解決問題的思路與方案.

其次，概率與統(tǒng)計(jì)試題突出對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，試題往往從概率與統(tǒng)計(jì)的相互聯(lián)系之處提出問題，很多試題都體現(xiàn)了“用頻率估計(jì)概率”“用樣本估計(jì)總體”的思想. 例如，全國(guó)新高考Ⅱ卷第19題就是用隨機(jī)抽樣的100名某種疾病患者的信息，估計(jì)該地區(qū)某年齡段人群患這種疾病的概率;又如，北京卷第18 題中要求根據(jù)甲、乙、丙三名學(xué)生以往比賽的成績(jī)，去估計(jì)誰(shuí)獲得冠軍的概率最大. 這些都是概率與統(tǒng)計(jì)思想在解題中的應(yīng)用.

最后，概率與統(tǒng)計(jì)試題中滲透了數(shù)學(xué)建模的思想方法，試題呈現(xiàn)出這樣的建模思想：將現(xiàn)實(shí)問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，然后建立一個(gè)概率模型或統(tǒng)計(jì)模型，再選擇合適的數(shù)學(xué)方法加以求解，并且對(duì)求得的結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，或者對(duì)出現(xiàn)的結(jié)果加以解釋或做出預(yù)測(cè). 例 如，全國(guó)新高考Ⅰ卷第 20 題，構(gòu)建了一項(xiàng)度量指標(biāo)

二、優(yōu)秀試題分析

三、復(fù)習(xí)建議

依據(jù)以上對(duì)2022年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題的特點(diǎn)分析和優(yōu)秀試題分析，對(duì)2023年高考概率與統(tǒng)計(jì)的復(fù)習(xí)提出以下幾點(diǎn)建議.

1. 注重基礎(chǔ)，加強(qiáng)聯(lián)系

高考概率與統(tǒng)計(jì)試題重視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法的考查，復(fù)習(xí)過程中要加強(qiáng)對(duì)基本概念的理解和基本性質(zhì)的掌握，重視概率與統(tǒng)計(jì)方法的歸納與總結(jié). 要形成系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，可以借助知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，厘清知識(shí)間的相互關(guān)系. 在知識(shí)和方法的重要節(jié)點(diǎn)下工夫去明概念、熟方法，按概率與統(tǒng)計(jì)課程的核心內(nèi)容組織復(fù)習(xí)，通過強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的復(fù)習(xí)，做到事半功倍.

2. 規(guī)劃專題，重點(diǎn)突破

高考概率與統(tǒng)計(jì)試題特征明顯，分類清楚，建議分以下幾個(gè)專題進(jìn)行有側(cè)重的復(fù)習(xí)和訓(xùn)練. 概率可以分為“古典概型與概率的性質(zhì)”“獨(dú)立事件的概率與條件概率”“離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征”“特殊分布及其數(shù)字特征”四個(gè)專題;統(tǒng)計(jì)可以分為“隨機(jī)抽樣和頻率分布直方圖”“樣本估計(jì)總體”“相關(guān)性與回歸模型”“ 2 × 2 列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)”四個(gè)專題. 對(duì)于每個(gè)專題從知識(shí)、方法和思想三個(gè)方面進(jìn)行復(fù)習(xí)，針對(duì)常見題型、易混概念、易錯(cuò)問題進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，逐步形成解決一類問題的思想方法.

3. 關(guān)注本質(zhì)，提煉內(nèi)涵

高考概率與統(tǒng)計(jì)試題背景豐富，形式多樣，但本質(zhì)一致. 許多試題形異質(zhì)同. 因此，在復(fù)習(xí)過程中，要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，從紛繁復(fù)雜的問題背景中看到其數(shù)學(xué)本質(zhì)，提煉、簡(jiǎn)化為基本模式. 對(duì)基本模式的提煉本質(zhì)上是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)涵的再認(rèn)識(shí). 要學(xué)會(huì)在各種不同的情境中識(shí)別基本模式，形成解決基本模式問題的一般思路與方法，把對(duì)解題的思考轉(zhuǎn)化為對(duì)基本模式的判別，然后再按一定的解題程序解決問題. 這是面對(duì)復(fù)雜問題的解決方案，也是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)、抓住關(guān)鍵要點(diǎn)進(jìn)行復(fù)習(xí)的有效策略.

4. 聚焦素養(yǎng)，思想引領(lǐng)

概率與統(tǒng)計(jì)的復(fù)習(xí)要聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)和能力. 概率與統(tǒng)計(jì)的解題過程處處體現(xiàn)出對(duì)素養(yǎng)的要求，復(fù)習(xí)過程中要時(shí)刻用數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)復(fù)習(xí)的方向. “隨機(jī)抽樣的原理”“隨機(jī)性中的規(guī)律性”“統(tǒng)計(jì)結(jié)論的或然性”“頻率穩(wěn)定于概率的原理”“樣本估計(jì)總體的思想”“隨機(jī)變量的概念與含義”“獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想”等概率與統(tǒng)計(jì)中特有的思想方法對(duì)于掌握概率與統(tǒng)計(jì)的解題方法至關(guān)重要，要把對(duì)這些數(shù)學(xué)思想方法的參悟貫穿在復(fù)習(xí)解題過程中，使復(fù)習(xí)過程能夠體現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)積累和思想升華.

四、典型模擬題

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國(guó)教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2] 中華人民共和國(guó)教育部制定. 中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[3]《現(xiàn)代數(shù)學(xué)手冊(cè)》 編纂委員會(huì). 《現(xiàn)代數(shù)學(xué)手冊(cè)》 隨機(jī)數(shù)學(xué)卷[M]. 武漢：華中科技大學(xué)出版社，2001.

[4] 范俊明，蔣志方，徐新斌. 2020年高考“計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)”專題解題分析[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2020（11）：41-50，58.

[5] 高霞，吳麗華. 2021年高考“概率與統(tǒng)計(jì)、計(jì)數(shù)原理”專題解題分析[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2021（9）：45-53.