重視邏輯推理　關(guān)注全局變化

陸萍　王劍

摘 要：通過(guò)對(duì)2022年高考三角函數(shù)與解三角形有關(guān)試題的歸類解析，對(duì)比近幾年高考中本專題考查的幾個(gè)側(cè)重點(diǎn)，分析考查的變化. 在此基礎(chǔ)上總結(jié)解決三角函數(shù)問(wèn)題的一般思想方法，并給出三角函數(shù)與解三角形的教學(xué)建議與高考復(fù)習(xí)備考建議.

關(guān)鍵詞：2022年高考;三角函數(shù);解三角形;試題分析;解法分析;備考建議

根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》），三角函數(shù)作為函數(shù)主線中的重要組成部分，成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容，也是歷年高考的熱點(diǎn)之一. 一方面，作為研究周期性現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，三角函數(shù)是函數(shù)主線不可或缺的內(nèi)容，在現(xiàn)行各版本高中數(shù)學(xué)教材中，三角函數(shù)知識(shí)基本上由三部分構(gòu)成，即“三角函數(shù)”“三角恒等變換” “解三角形”. 其主要內(nèi)容有：任意角三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等. 另一方面，三角函數(shù)部分的教學(xué)在提升學(xué)生邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)方面起到了較大的作用. 在 2022 年的高考數(shù)學(xué)試題中，既有對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的考查，也出現(xiàn)了體現(xiàn)知識(shí)的綜合性和三角函數(shù)的工具性等有一定難度的試題，對(duì)學(xué)生的基本運(yùn)算能力和知識(shí)綜合應(yīng)用能力有一定的要求.

下面通過(guò)對(duì)2022年部分高考試題的解答與分析，歸納三角函數(shù)與解三角形的知識(shí)和方法，總結(jié)出一般的解題方法和解題規(guī)律，并對(duì)高考復(fù)習(xí)備考提出合理建議.

一、試題特點(diǎn)分析

2022年高考數(shù)學(xué)試卷中，對(duì)三角函數(shù)與解三角形考查最多的是浙江卷，分值將近30分;考查最少的是全國(guó)甲卷（文、理科），只考查了兩道客觀題，分值為10分;其余試卷基本以一道客觀題和一道主觀題的形式考查. 整體來(lái)看，與前幾年的高考考查情況基本持平，難度穩(wěn)中有升. 從命題風(fēng)格上看，與過(guò)去一致，三角函數(shù)與解三角形試題未出現(xiàn)創(chuàng)新形式的命題，結(jié)構(gòu)不良試題未在此內(nèi)容中進(jìn)行考查. 從內(nèi)容上看，有以下兩個(gè)層次的分析.

1. 從考查題型分析，分為客觀題和主觀題

客觀題以三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和三角恒等變換為主，囊括了對(duì)方程思想、函數(shù)思想、化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想的考查，靈活多變，對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算能力要求較高. 除常規(guī)的三角函數(shù)性質(zhì)考查外，以函數(shù)觀點(diǎn)解讀三角函數(shù)的性質(zhì)解決三角函數(shù)有關(guān)問(wèn)題成為命題的新趨勢(shì)，所占比重越來(lái)越大，這符合 《標(biāo)準(zhǔn)》 中對(duì)“函數(shù)”部分的要求：選取“函數(shù)”為核心，將整個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)組織成以“函數(shù)”為核心的輻射狀的網(wǎng)絡(luò)體系，并以“函數(shù)”的某些子概念與其他領(lǐng)域知識(shí)的聯(lián)系為載體，發(fā)展不同領(lǐng)域間的聯(lián)系.

解答題常以三角形為命題背景，以正弦定理和余弦定理為工具，結(jié)合適當(dāng)?shù)娜呛愕茸冃谓鉀Q三角形的邊角關(guān)系，難度不大，屬于基礎(chǔ)題. 除全國(guó)新高考Ⅰ卷要求較高外，其他均屬于容易題. 全國(guó)新高考Ⅰ卷第18題綜合考查了三角恒等變換、正弦定理，以及運(yùn)用方程思想和函數(shù)思想解決問(wèn)題，除對(duì)基礎(chǔ)公式的考查外，對(duì)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)有較高要求.

2. 從考查方式分析，可分為顯性考查和隱性考查

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圖象變換、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理都是顯性考查的主要對(duì)象，命題形式也是歷年高考三角函數(shù)部分的常規(guī)形式;隱性考查包括用作為數(shù)學(xué)工具的三角函數(shù)來(lái)解決平面向量、立體幾何、解析幾何和函數(shù)等問(wèn)題，以及在這些章節(jié)內(nèi)容中出現(xiàn)的與三角函數(shù)相關(guān)的且可結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)來(lái)解決的內(nèi)容. 運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題，著重考查了數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等素養(yǎng)，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高.

二、優(yōu)秀試題分析

通過(guò)分析近年來(lái)高考數(shù)學(xué)中三角函數(shù)與解三角形的試題，可以看到該部分試題對(duì)學(xué)生素養(yǎng)的考查比較全面，關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)基本技能和基本思想方法的考查，關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的通性、通法的考查，重視邏輯推理，關(guān)注全局變化. 具體表現(xiàn)為：關(guān)注數(shù)形結(jié)合和整體代換，關(guān)注“角”“名”“次”恒等變換，關(guān)注公式、方程、函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，關(guān)注三角綜合性問(wèn)題的全局分析，關(guān)注多角度運(yùn)用三角函數(shù)解題，等等.

三、復(fù)習(xí)備考建議

1. 夯實(shí)基礎(chǔ)，搭建牢固的知識(shí)體系

三角函數(shù)與解三角形有三部分基本內(nèi)容. 一是任意角三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì). 在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，教師應(yīng)該幫助學(xué)生將單位圓和三角函數(shù)圖象結(jié)合起來(lái)全面理解三角函數(shù)，建構(gòu)研究三角函數(shù)問(wèn)題的思路，有效提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng). 二是三角恒等變換，公式多，從和 （差） 角公式和倍角公式的推導(dǎo)過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，這些公式之間存在緊密的邏輯關(guān)系，且推導(dǎo)過(guò)程中蘊(yùn)含豐富的思想方法. 這部分內(nèi)容對(duì)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的提升起到了重要的作用. 三是解三角形，需要學(xué)生具備直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 以上所述三部分內(nèi)容相互關(guān)聯(lián). 除了知識(shí)內(nèi)容的聯(lián)系外，教師還應(yīng)該幫助學(xué)生建立研究三角函數(shù)與解三角形的邏輯體系. 教師不但要清晰地知道研究?jī)?nèi)容，更要知道研究方法，掌握研究脈絡(luò)，這樣才能有效培養(yǎng)學(xué)生研究問(wèn)題的能力.

2. 加強(qiáng)聯(lián)系，形成解題的基本策略

聯(lián)系既有學(xué)習(xí)內(nèi)容上的聯(lián)系，也有解題分析時(shí)的聯(lián)系. 從內(nèi)容上聯(lián)系，即三角函數(shù)與解三角形內(nèi)部知識(shí)的聯(lián)系. 例如，在解三角形中研究角時(shí)需要具備三角恒等變換知識(shí)，研究三角函數(shù)性質(zhì)時(shí)需要聯(lián)系導(dǎo)數(shù)知識(shí)研究函數(shù)局部性質(zhì). 解題能力是邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)的綜合體現(xiàn)，不能一蹴而就，而要在平時(shí)一步步形成. 在三角恒等變換時(shí)，觀察角、函數(shù)名、次數(shù)，聯(lián)系條件與解題目標(biāo);在研究三角函數(shù)性質(zhì)時(shí)，運(yùn)用整體代換思想刪繁就簡(jiǎn)，將復(fù)雜式子的研究化歸到研究較為簡(jiǎn)單的 y = sin x ， y = cos x ， y = tan x的圖象與性質(zhì). 這些都是對(duì)學(xué)生解題綜合能力的考查，也是對(duì)學(xué)生全面掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、應(yīng)用數(shù)學(xué)思想的考查. 復(fù)習(xí)時(shí)，教師應(yīng)該多講聯(lián)系 （知識(shí)的聯(lián)系和方法的聯(lián)系），從而幫助學(xué)生形成對(duì)三角函數(shù)與解三角形內(nèi)容的全面認(rèn)識(shí).

3. 回歸教材，尋找試題的命制原型

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2017年版）》解讀中提到：數(shù)學(xué)本質(zhì)不在于它的結(jié)論，而在于它的思想. 在學(xué)習(xí)三角函數(shù)與解三角形知識(shí)時(shí)，學(xué)生會(huì)認(rèn)為這部分內(nèi)容公式多，難記憶;方向多，難化簡(jiǎn). 這就需要教師在教學(xué)中用數(shù)學(xué)的思維方法和推理方法幫助學(xué)生學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在掌握“四基”的基礎(chǔ)上提升“四能”. 例 如，在教學(xué)“誘導(dǎo)公式”的內(nèi)容時(shí)，借助單位圓，抓住兩角終邊的對(duì)稱關(guān)系和任意角三角函數(shù)的定義，既能讓學(xué)生掌握具有特殊關(guān)系的兩個(gè)角的三角函數(shù)特征，即誘導(dǎo)公式的內(nèi)容，也能獲得研究特殊幾何位置關(guān)系的方法. 在研究解三角形的兩個(gè)基本工具——正弦定理和余弦定理時(shí)，平面向量的工具性優(yōu)勢(shì)更能體現(xiàn)，人教A版新教材直接將這部分內(nèi)容作為平面向量的應(yīng)用部分的內(nèi)容. 這些是教材上的知識(shí)講解素材，利用好這些素材，可以有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 如果在平時(shí)的教學(xué)中注意挖掘教材中的素材，就可以對(duì)三角函數(shù)與解三角形內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位有整體的認(rèn)識(shí). 教材上的習(xí)題也是可以挖掘的素材. 例如，2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷第18題雖然難度較大，但是在各版本教材中都可以獲得原型. 可見，體現(xiàn)重要知識(shí)、重要方法和關(guān)鍵思想方法的試題在教材中都有所體現(xiàn). 教師要帶領(lǐng)學(xué)生厘清、想透這樣的題目. 在新授課教學(xué)時(shí)，就應(yīng)用好教材及其習(xí)題，打好基礎(chǔ);在高考第一輪復(fù)習(xí)時(shí)，還應(yīng)該不脫離教材，再次將教材中的優(yōu)秀素材融入復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)，如必要的定理推導(dǎo)要重新回顧，好的習(xí)題要進(jìn)行變形、聯(lián)系形成問(wèn)題鏈，使學(xué)生獲得新的收獲.

在高考復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要有大局觀和全局觀，不脫離教材，取之用之，著重提升學(xué)生研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，從而更好地幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

四、典型模擬題1. （多選題） 圖 1 是函數(shù) f （x） = sin（ ） ωx + φ （ω > 0）的部分圖象，則下列說(shuō)法正確的有（ ）

參考文獻(xiàn)：

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