高中教學(xué)綜合訓(xùn)練（四）

趙紅琴

一、選擇題

A. {2，3} ???B.{-1，1} ???C.{1，2，3} ???D.?

4.已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，若log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a₈=8，則a₄a₅=（ ???）.

A.1 ???B.2 ???C.4 ???D.8

6.中國(guó)的計(jì)量單位可以追溯到4000多年前的氏族社會(huì)末期，公元前221年，秦王統(tǒng)一中國(guó)后，頒布同一度量衡的詔書(shū)并制發(fā)了成套的權(quán)衡和容量標(biāo)準(zhǔn)器.下圖是古代的一種度量工具“斗”（無(wú)蓋，不計(jì)量厚度）的三視圖（其正視圖和側(cè)視圖為等腰梯形，如圖1），則此“斗”的體積為（單位：立方厘米）（ ???）.

A.2000 ???B.2800

C.3000 ???D.6000

A.P₁=P₂=P₃B.P₃>P₂>P₁

C.P₁>P₂>P₃D.P₂>P₁>P₃

A.3 ???B.4 ???C.5 ???D.6

A.1695 ???B.1696 ???C.1697 ???D.1698

11.△ABC中，所有內(nèi)角都不是鈍角，有以下命題：①sin2A=sin2B?A=B;②sin2A>sin2B?Acos2B?A

A.1 ???B.2 ???C.3 ???D.4

12.如圖2所示，將33×33方格紙中每個(gè)小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個(gè)數(shù)相等，若相鄰兩個(gè)小方格的顏色不同，稱他們的公共邊為“分割邊”，則分割邊條數(shù)的最小值為（）.

A.33 ???B.56

C.64 ???D.78

二、填空題

13.“角谷定理”的內(nèi)容為對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則對(duì)它乘3再加1;如果它是偶數(shù)，則對(duì)它除以2;如此循環(huán)，最終都能夠得到1.圖3 為研究角谷定理的一個(gè)程序框圖，若輸入n的值為6，則輸出i的值為_(kāi)_______.

15.若（3+ax）（1+x）⁴展開(kāi)式中x的系數(shù)為13，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為_(kāi)_______（用數(shù)字作答）.

三、解答題

（1）求證：BC⊥平面A₁EF;

（1）若進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn)，求小球落入第7層第6個(gè)空隙處的概率;

（i）求X的分布列：

（ii）高爾頓板游戲火爆進(jìn)行，很多同學(xué)參加了游戲，你覺(jué)得小明同學(xué)能盈利嗎？

20.已知函數(shù)f（x）=cosx+ax²-1

（2）若f（x）在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

四、選做題

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

（1）求曲線C₁的普通方程和C₂的直角坐標(biāo)方程;

選修4-5：不等式選講

（1）解不等式f（x）≥6;

參考答案與解析

一、選擇題

1-12 ???ABDCD ???BCADA ???CB

二、填空題

三、解答題

又因?yàn)锽E是直角三角形ABC的斜邊AC的中線，

所以A₁B²=A₁E²+BE²，

所以△A₁EB是直角三角形，所以A₁E⊥BE，

所以A₁E⊥平面ABC，所以A₁E⊥BC，

又因?yàn)锽C⊥AB，A₁F∥AB，

所以BC⊥A₁F，所以BC⊥平面A₁EF.

（2）由（1）知BC⊥平面A₁EF，所以平面ABC⊥平面A₁EF，又由A₁E⊥AC，所以A₁E平面ABC，

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線BC為x軸，以射線BA為y軸，過(guò)B向上作平面ABC的垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A₁E∥z軸，

由（1）知BC⊥平面A₁B₁E，

∴T_n=1×4⁰+2×4¹+3×4²+…+n×4^n-1，

4T_n=1×4¹+2×4²+3×4³+…+n×4ⁿ，

即S²-4S+3=0，解得S=1或S=3.

對(duì)任意的n∈N^*，，均存在m∈N^*，

又a₁為正整數(shù)，

∴滿足條件的所有整數(shù)a₁的值構(gòu)成的集合為

∴數(shù)列{c_n}不是等差數(shù)列，舍去.

綜上，滿足條件的所有整數(shù)a₁的值構(gòu)成的集合為

（2）（i）由已知X的取值可為1，2，3，4，5，6，7.

∴X的分布列為

∴ξ的可能取值為0，5，10，15，

∴小明同學(xué)能盈利.

所以f（x）的定義域?yàn)镽，且f（-x）=f（x），

故f（x）為偶函數(shù).

當(dāng)x≥0時(shí)，f，（x）=-sinx+x，

記g（x）=f′（x）=-sinx+x，所以g′（x）=-cosx+1.

因?yàn)間′（x）≥0，所以g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，

即f′（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，故f′（x）≥f′（0）=0，

所以f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）≥f（0）=0，

因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）≥0.

（2）①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=cosx-1，

令cosx-1=0，解得x=2kπ（k∈Z），

所以函數(shù)f（x）有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，不符合題意;

②當(dāng)a<0時(shí)，f（x）=cosx+ac²-1≤ax²≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，故a<0符合題意;

③因?yàn)閒（-x）=f（x），所以f（x）是偶函數(shù)，

又因?yàn)閒（0）=0，故x=0是f（x）的零點(diǎn).

當(dāng)a>0時(shí)，f′（x）=-sinx+2ax，

記g（x）=f′（x）=-sinx+2ax，則g′（x）=-cosx+2a.

故g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，

故當(dāng)x>0時(shí)，g（x）>g（0）=0即f′（x）>0，

故f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，故f（x）>f（0）=0

所以f（x）在（0，+∞）沒(méi)有零點(diǎn).

因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以f（x）在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

即x∈（0，x₁）時(shí)，f′（x）<0，故f（x）在（0，x₁）單調(diào)遞減，f（x₁）

又f（2π）=cos2π+a（2π）²-1=4aπ²>0，

所以f（x₁）f（2π）<0，

由零點(diǎn)存在性定理知f（x）在（x₁，2π）上有零點(diǎn)，又因?yàn)閤=0是f（x）的零點(diǎn)，

四、選做題

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

21.【解析】（1）曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為x²+（y-6）²=2.

得x²+y²+9y²=10，

選修4-5：不等式選講

22.【解析】（1）不等式f（x）≥6，

即2≥6，無(wú)解;

當(dāng)且僅當(dāng)（2x-7）（2x-5）≤0時(shí)取等號(hào)，∴m=2.

∴2k²≥1，即k²m≥1.