談?wù)勥\(yùn)用分類討論思想解題的步驟

劉春雪

分類討論思想是根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，把所有研究的問題分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問題，按不同情況分類，然后再逐一進(jìn)行討論、求解的思想.分類討論思想是解答復(fù)雜問題的重要工具，尤其對(duì)于一些結(jié)論不唯一，表示形式不唯一，含有參數(shù)的復(fù)雜問題，運(yùn)用分類討論思想求解最為有效.

運(yùn)用分類討論思想解題的步驟可以概括為以下幾步：

1.明確研究的對(duì)象.仔細(xì)分析題意，明確哪些變量、參數(shù)可直接影響所求的結(jié)果，據(jù)此確定研究的對(duì)象.常見的研究對(duì)象有參數(shù)、自變量、絕對(duì)值內(nèi)部式子、方程的根，函數(shù)的定義域、直線的位置、角度等.

2.明確分類標(biāo)準(zhǔn).在確定了需要討論的對(duì)象后，就可以選擇合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，按照其特征將所有可能會(huì)出現(xiàn)的情況全部羅列出來.常見的分類標(biāo)準(zhǔn)有概念、公式、定理的應(yīng)用條件，代數(shù)式的意義，曲線的范圍等.

3.逐級(jí)討論.在分類后，原先的復(fù)雜、困難的問題已經(jīng)被分為若干個(gè)簡單、容易的子問題，把所有子問題逐個(gè)逐級(jí)進(jìn)行解答，計(jì)算出結(jié)果即可.當(dāng)子問題也無法解答時(shí)，需要對(duì)子問題進(jìn)一步分類，并且依然要遵循分類標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一的原則，分類時(shí)要做到不重復(fù)、不遺漏任何一種情況.

4.得出結(jié)論.最后需要將所有子問題的結(jié)果進(jìn)行匯總，得到完整的結(jié)論.

下面舉例說明.

例1.

對(duì)于集合中求參數(shù)的值和參數(shù)的取值范圍問題，通常要運(yùn)用分類討論思想求解.往往需討論集合中元素的取值，集合是否為空集，含參方程是否有解.只有明確參數(shù)的不同取值會(huì)導(dǎo)致哪些不同的結(jié)果，找到進(jìn)行分類討論的原因，才能確定問題研究的對(duì)象和分類原則，合理進(jìn)行分類.

例 2.

含參函數(shù)問題主要有兩種類型，一是由于函數(shù)的概念或性質(zhì)的限制，需要分類討論參數(shù)的取值或取值范圍;二是當(dāng)參數(shù)為函數(shù)的系數(shù)時(shí)，需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，此時(shí)要根據(jù)函數(shù)圖象及函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的判別式來確定分類討論的分界點(diǎn).對(duì)于二次函數(shù) y = ax2 +bx + c ，當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù) a > 0 時(shí)，二次函數(shù)圖象的開口向上;當(dāng) a = 0 時(shí)，該函數(shù)為一次函數(shù);當(dāng) a < 0 時(shí)，二次函數(shù)圖象的開口向下.二次方程 ax2 + bx + c = 0 的判別式?? 又決定了二次函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，如下表所示.因此，在討論二次函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，可以分?? > 0、= 0、< 0 三種情況來進(jìn)行分類討論.

例?3.

解答含參不等式問題，通常需要運(yùn)用分類討論思想對(duì)不等式的二次項(xiàng)系數(shù)以及一元二次不等式對(duì)應(yīng)的方程的根來進(jìn)行分類討論.若含參一元二次不等式對(duì)應(yīng)的方程存在兩個(gè)根，則需要討論兩根的大小關(guān)系，進(jìn)而確定解集.

例 4.

要求 |PF1||PF2|，需尋找滿足|PF1|>|PF2|的條件，分兩種情況討論 Rt△PF1F2的直角所在的位置.解答幾何問題，經(jīng)常要討論圖形中點(diǎn)、直線、曲線的位置，圖形的形狀、角的取值范圍等.

總之，對(duì)于某些不確定的數(shù)量、不確定圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都需運(yùn)用分類討論思想，通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性.分類討論思想是解答含參集合問題、含參函數(shù)問題、含參不等式問題、含參解析幾何問題、含參數(shù)列問題的重要工具.同學(xué)們要熟練掌握分類討論思想的應(yīng)用技巧和步驟，使復(fù)雜問題簡單化.

（作者單位：哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院）