埃及單分?jǐn)?shù)及相關(guān)問題

梁宗巨

埃及數(shù)學(xué)的顯著特點(diǎn)是用單分?jǐn)?shù)表示分?jǐn)?shù).除了2/3 是用特殊的符號(hào)表示之外，其他所有分?jǐn)?shù)的分子都是1.對(duì)于 23 ，在象形文中用“ ”表示，在僧侶文中用“ ”表示. 12 的寫法很也特別，在象形文中用“ ”表示，在僧侶文中用“フ”表示.其他的單分?jǐn)?shù)，是在數(shù)字的上面加一個(gè)扁圓，如用“ ”表示 14 ，用“ ”表示 1112 .

一、2n 可分解成幾個(gè)單分?jǐn)?shù)之和現(xiàn)存的古埃及數(shù)學(xué)文獻(xiàn)主要有莫斯科紙草書和萊因德紙草書.賴因德紙草書的開頭就列出了 2n 型的分?jǐn)?shù)被分解成幾個(gè)單分?jǐn)?shù)的結(jié)果.所謂分解，就是做一次除法，把 2n 化為幾個(gè)單分?jǐn)?shù)之和，n是從3到101的奇數(shù). 23 保存原狀，并不分解成 23 = 12 + 16 .為什么要保留這一例外？這是一個(gè)謎.

例如 25 ，即2被5除，可列成算式：

在右列中選出若個(gè)數(shù)來，使其和等于被除數(shù)2.在123，-3 旁打上*號(hào)，左列中對(duì)應(yīng)的數(shù)是 -3，-15，得出的結(jié)果是 2 ÷ 5 = -3 -15. 算式的第2步，是用 23 乘以5，得 3 -3，實(shí)際上這是多余的.再將5乘以 -15 ，得 -3，右列的 123 與3相加等于被除數(shù)2，左列中對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)之和 -3 -15. 就是分解的結(jié)果.

再看一個(gè)例子，分解 213 ，算式是：

二、由單分?jǐn)?shù)引起的一些問題

1.單分?jǐn)?shù)是如何產(chǎn)生的

單分?jǐn)?shù)引出了許多令人深思的問題.例如，單分?jǐn)?shù)是不是從實(shí)際問題中產(chǎn)生的？卡納漢（Walter H.Car?nahan）認(rèn)為確實(shí)如此，他舉了一個(gè)例子來說明.設(shè)想有2個(gè)面包，要平分給5個(gè)人，問怎樣分.如果每個(gè)人得 12個(gè)面包，則面包不夠;每個(gè)人得 13 個(gè)面包，則還剩下 13個(gè)面包.再將這 13 個(gè)面包分給5個(gè)人，每個(gè)人得 115 個(gè)面包.于是每個(gè)人共得 13 + 115 個(gè)面包.如果按照現(xiàn)在的分法，每個(gè)人應(yīng)得 25 個(gè)面包，但具體操作起來，不見得會(huì)方便.另外，按照埃及人的除法法則計(jì)算，所得的商自然是若干個(gè)單分?jǐn)?shù)之和.

2.單分?jǐn)?shù)具有什么特性

現(xiàn)在，研究單分?jǐn)?shù)的特性，已成為數(shù)論中的一個(gè)重要專題.是不是每一個(gè) 2n（n是奇數(shù)）型的分?jǐn)?shù)都可以分為兩個(gè)單分?jǐn)?shù)之和？這問題很容易回答，只要代入公式2n = 1（n + 1）2+ 1n（n + 1）2（1）即可.

用（1）式分解 213 = 17+ 191，這比莫斯科紙草書和萊因德紙草書上的分解式 213 = 18 + 152 = 1104 要簡單得多.

（1）式還可以推廣成2n = 2pq = 1p（p + q）2+ 1q（p + q）2（2），其中p，q是n的兩個(gè)因子（必為奇數(shù)），若n為素?cái)?shù)，取p=1，則（2）式化為（1）式.用（2）式分解 299 ，可得 3 種不同的結(jié)果 299 = 190+ 1110 = 150 + 14950 = 154 + 1594 .

這與莫斯科紙草書和萊因德紙草書上的結(jié)果 166 + 1198并不相同，它符合另一個(gè)公式 23k = 12k + 16k（3），或更一般的公式 2（2m + 1）= 1（m + 1k）+ + 1（2m + 1）（m + 1）k （. 4）

是否每一個(gè)真分?jǐn)?shù)都可以分解成幾個(gè)單分?jǐn)?shù)之和？斐波那契在他的名著《算盤書》（1202年）中給出了肯定的答案，并指出了具體的算法，但未加以證明.直到1880年，西爾威斯特（J.J.Sylvester，1814年-1897年）才給予證明.

他的方法是找出不超過 b 的最大單分?jǐn)?shù).

一般地，ab = 1ba= 1x + ra> 1x + 1 = 1x1 ，其中 x 是 b 除以a的商，r（r

下一步是從 ab 中減去這個(gè)單分?jǐn)?shù)，得 ab - 1x1=ax1 - bbx1= a1bx1.余數(shù)是一個(gè)分?jǐn)?shù)，其分子為ax1-b=a1，它小于a，可由不等式（5）推出來.如果 a1x1是單分?jǐn)?shù)，那么就說明 ab 可分成兩個(gè)單分?jǐn)?shù)之和;如果 a1bx1不是單分?jǐn)?shù)，那就要重復(fù)上述步驟，找出不超過它的最大單分?jǐn)?shù).每重復(fù)一次上述步驟，剩余分?jǐn)?shù)的分子就會(huì)至少減少1，這樣經(jīng)過有限次重復(fù)操作（不超過a-1次）之后，即可將分子減少至1，ab 就可分解成不超過a個(gè)單分?jǐn)?shù)之和.

任何真分?jǐn)?shù)是否都可表示成兩個(gè)單分?jǐn)?shù)的和？那不一定.先看一個(gè)單分?jǐn)?shù)分解為兩個(gè)單分?jǐn)?shù)的情形.假定 1n = 1x + 1y ，x、y 均應(yīng)大于 n，可設(shè) x = n + d，于是1y = 1n - 1n + d = 1n（n + d）d= 1n + n2d，只要選 n2的一個(gè)約數(shù)作d，分解即可完成.

對(duì)于一般的真分?jǐn)?shù) mn ，有mn = 1n + dm+ 1n + n2dm.只有當(dāng) m 能夠整除 n + d 及 n + nd 時(shí)，才能分解.例如 35 ，此時(shí) n=5、m=3. x = 5 + d3 ，y =5 + 25d3 ，n2= 25 ，其約數(shù)是1、5、25.若選1，可得 35 = 12 + 110 .而 45 ，就不能被分解.綜上所述，可以用多種方法將任意一個(gè)真分?jǐn)?shù)分解成幾個(gè)單分?jǐn)?shù)之和，而且每一個(gè)單分?jǐn)?shù)又可以按 1n= 1n + 1 + 1n（n + 1） 的方式無限地分解下去.

3.最優(yōu)分解問題

既然一個(gè)分?jǐn)?shù)的分解方式有無窮多種，那么哪種分解方式最優(yōu)呢？“最優(yōu)”可能有很多種不同的標(biāo)準(zhǔn).例如，（1）項(xiàng)數(shù)最少，不妨叫做第1類最優(yōu)分解;（2）最大的分母最小——第2類最優(yōu)分解;（3）分母的總和最小——第3類最優(yōu)分解;（4）運(yùn)算最簡便——第4類最優(yōu)分解……

通常，大家感興趣的是前兩類.項(xiàng)數(shù)少和分母小的要求常常是矛盾的.因此有時(shí)要先將項(xiàng)數(shù)固定，再去考慮分母.韋謝洛夫斯基將所有可能的二項(xiàng)分解式都列出來，發(fā)現(xiàn) 2n 表（n=5-101）只有20個(gè)最優(yōu)解.有的分?jǐn)?shù)的分解式多至7種，如

而 2n 表取 130 + 190 .有的分解式，如 295 = 160 + 1380+ 1570 可化簡為 160 + 1228 ，但沒有化簡.韋謝洛夫斯基還把可能的3項(xiàng)、4項(xiàng)分解式都列出來，發(fā)現(xiàn) 2n 表大多數(shù)取了最優(yōu)解（最大分母最小）.

2n 表大概不是由少數(shù)幾個(gè)人制作的，而是由眾多的學(xué)者長期探索積累起來的.韋謝洛夫斯基認(rèn)為是第3 至第 6 王朝（公元前 27-前 22 世紀(jì)）赫利奧波利斯（Heliopolis，在今開羅東北約 10 公里）學(xué)派的學(xué)者努力的結(jié)果.有點(diǎn)像現(xiàn)代的積分表，某個(gè)人一旦得到一個(gè)積分式，就立刻記錄下來備查，以免丟失.

埃及人在長期的生產(chǎn)活動(dòng)中積累了豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn).算術(shù)方面采用了單分?jǐn)?shù)，使得四則運(yùn)算非常麻煩，它實(shí)際上是阻礙數(shù)學(xué)前進(jìn)的“絆腳石”.

——摘自《世界數(shù)學(xué)通史》