由一道最值題引發(fā)的思考

劉玲玲 湯強(qiáng)

很多高中數(shù)學(xué)問(wèn)題不止有一種解法，有時(shí)從不同角度去進(jìn)行分析，可以尋找到多種不同的解題方案.筆者從不同的角度對(duì)一道最值問(wèn)題及其解法進(jìn)行了探究，并總結(jié)出了一些解題的規(guī)律.

題目：若 a，b 是正數(shù)，ab = a + b + 3， 求 ab 的最小值.

該題目中給出的條件較少，且較為簡(jiǎn)單，但關(guān)系式中含有兩個(gè)變量，要求得目標(biāo)式的最小值，需對(duì)兩個(gè)雙變量進(jìn)行研究，利用基本不等式、判別式法、函數(shù)最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解.

一、利用基本不等式

基本不等式 a + b ≥ 2 ab（a、b > 0）是解答雙變量最值問(wèn)題的重要工具.一般地，若兩式的和為定值，則由基本不等式可得當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時(shí)，兩式的積取最大值;若兩式的積為定值，則由基本不等式可得當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時(shí)，兩式的和取最小值.在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，要把握三個(gè)前提條件：“一正”“二定”“三相等”.

解法一：因?yàn)?a > 0， b > 0， 所以 a + b ≥ 2 ab，

又因?yàn)?ab = a + b + 3，

所以 ab ≥ 2 ab + 3，

即 ab - 2 ab - 3 ≥ 0，a = b 時(shí)取等，

解得 ab ≥ 3 或 ab ≤ -1（舍），

所以 ab ≥ 9，當(dāng)且僅當(dāng) a = b = 3 時(shí)取等號(hào).

本題中的 a，b 是正數(shù)，且 ab = a + b + 3，題設(shè)已具備運(yùn)用基本不等式的兩個(gè)條件，所以很多同學(xué)首先會(huì)想到運(yùn)用基本不等式來(lái)求最值.根據(jù)基本不等式求得a + b ≥ 2 ab，便可根據(jù)已知條件，建立關(guān)于ab的不等式，解不等式即可求得ab的最小值.

解法二：因?yàn)?a > 0，b > 0，ab = a + b + 3，

所以 （a - 1）（b - 1）= 22

即 a - 1，2，b - 1成等比數(shù)列，

所以 b - 1

該解法是先將已知關(guān)系式變形，根據(jù)等比數(shù)列等比中項(xiàng)的性質(zhì)構(gòu)造出兩式 2q、2q 的和，且其積為定值，便可運(yùn)用基本不等式求得 ab 的最小值.基本不等式的使用條件為（1）一正：q > 0;（2）二定：2q ??2q = 2;（3）三相等：2q = 2q，即 q = 1時(shí)取等號(hào).

解法三：

該解法中巧妙運(yùn)用了配湊法和分離常數(shù)法，配湊出了兩式的和：（b - 1）+ 4b - 1，其中?b - 1 > 0，（b - 1）??4b - 1 = 4為定值，利用基本不等式即可解題.

可見(jiàn)運(yùn)用基本不等式求最值，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到滿足應(yīng)用基本不等式的三個(gè)條件：“一正”“二定”“三相等”.有時(shí)題目中并未給出這些條件，那么我們就需要根據(jù)題意，構(gòu)造或選取合適的兩式，配湊出兩式的和或積，并使其一為定值，這便可使用基本不等式求最值.

二、構(gòu)造函數(shù)

構(gòu)造函數(shù)法是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求得最值的方法.運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法求最值，需先根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，或?qū)Ш瘮?shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而根據(jù)變量的取值范圍，求得函數(shù)的最值.

將 b 視為主元，構(gòu)造函數(shù) f （x），通過(guò)研究導(dǎo)函數(shù)與0之間的大小關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，便可求得函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性和極值，進(jìn)而求得函數(shù)的最值.運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法求最值，關(guān)鍵在于構(gòu)造出合適的函數(shù)模型.

三、運(yùn)用判別式法

對(duì)于二次雙變量最值問(wèn)題，可采用判別式法求解.首先根據(jù)題意構(gòu)造一元二次方程，然后根據(jù)方程有解，建立關(guān)于判別式的不等式△≥0，通過(guò)解不等式求得目標(biāo)式的最值.

由 ab，a + b 聯(lián)想到一元二次方程中的兩根之和、兩根之積，于是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造一元二次方程 x2 -（t - 3）x + t = 0，其中a、b是該一元二次方程的兩根，所以根的判別式 Δ ≥ 0 .通常，可根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)構(gòu)造一元二次方程;也可將其中一個(gè)變量視為主元，來(lái)構(gòu)造一元二次方程.

四、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法是解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法.對(duì)于雙變量最值問(wèn)題，需首先挖掘題目中代數(shù)式的幾何意義，如 y = kx + b 表示的是一條直線，y = ax2 + bx + c 表示的是一條拋物線，x2 + y2 = r2表示的是一個(gè)圓等，然后畫(huà)出相應(yīng)的圖形，通過(guò)分析圖形的幾何性質(zhì)、位置關(guān)系，找到目標(biāo)式取得最值的情形，從而求得最值.

該方法是很多同學(xué)難以想到的.通過(guò)構(gòu)造出長(zhǎng)方體，利用數(shù)形結(jié)合法，巧妙地將 ab 轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的面積?ab = a ??1 + b ??1 +（a - 1）（b - 1）- 1 .然后通過(guò)換元，配湊出基本不等式的應(yīng)用條件，從而利用基本不等式求得ab的最小值.

可見(jiàn)，解答最值問(wèn)題，可以從基本不等式、函數(shù)、方程、幾何圖形幾個(gè)不同的角度入手，來(lái)尋找不同的解題方案.這就要求我們?cè)诮忸}時(shí)，根據(jù)題目中所給的信息，運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)觀察、推測(cè)和想象，從不同的角度進(jìn)行思考、重組已有信息，這樣才能獲得多種不同的解題方法和思路.

（作者單位：西華師范大學(xué)）