結(jié)構(gòu)確定屬性方法反映本質(zhì)

楊春霞

一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），這是一個常態(tài)結(jié)構(gòu)，也是對現(xiàn)實問題刻畫的一個有效模型。在學(xué)習(xí)時，厘清這個模型結(jié)構(gòu)的特征以及與這個結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的其他結(jié)構(gòu)形式，有利于較為快捷地在實際問題應(yīng)用中建立模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決。

一、關(guān)注一般式結(jié)構(gòu)，抓住根與系數(shù)

我們知道，對于一個一元二次方程而言，其一般式結(jié)構(gòu)ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）中的系數(shù)確定，就意味著其對應(yīng)的根就確定。因此，確定了系數(shù)，實際上就是確定了一元二次方程的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)確定，就意味著其根的情況以及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系也確定。一元二次方程的根的情況可以借助根的判別式b2-4ac來判斷，而根與系數(shù)的關(guān)系是x1+x2=[-ba]，x1x2=[ca]。這里，我們可以看到，無論是根的判別式還是兩根之和以及兩根之積，均可以用一元二次方程一般式的系數(shù)來表示。因此，應(yīng)用根的判別式或者根與系數(shù)關(guān)系的前提就是要將一元二次方程先轉(zhuǎn)化為一般式結(jié)構(gòu)。

例1 （1）（2022·安徽）若一元二次方程2x2-4x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，則m= _______ 。

（2）（2022·江蘇揚州）請?zhí)顚懸粋€常數(shù)，使得關(guān)于x的方程x2-2x+_______=0有兩個不相等的實數(shù)根。

【解析】例1中的兩道題是基于確定的結(jié)構(gòu)與根的情況之間的關(guān)系來考查的，這里的確定是指結(jié)構(gòu)確定，即b2-4ac>0——方程有兩個不相等的實數(shù)根，b2-4ac=0——方程有兩個相等的實數(shù)根，b2-4ac<0——方程沒有實數(shù)根。故解決本題可將思路倒過來，從根的具體情況得到對應(yīng)的判別式的結(jié)構(gòu)與0的關(guān)系，從而建立不等式確定判別式中的字母值或者字母的取值范圍。其中（1）的答案是2，（2）的答案是小于1的任意實數(shù)，比如0。

例2 （2022·四川瀘州）已知關(guān)于x的方程x2-（2m-1）x+m2=0的兩實數(shù)根為x1、x2，若（x1+1）（x2+1）=3，則m的值為（）。

A.-3 B.-1

C.-3或1D.-1或3

【解析】此題是典型的對根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行考查的問題，需要同學(xué)們在關(guān)注兩根之和與兩根之積的基礎(chǔ)上對式子（x1+1）（x2+1）的結(jié)構(gòu)進(jìn)行變形，形成熟悉的和與積的結(jié)構(gòu)形式，從而得到x1x2+x1+x2+1=3，即m2+2m-1+1=3，解得m1=1，m2=-3。做到這里，方程有兩實數(shù)根，我們要注意，所得到的m值是否都滿足要求呢？這就需要進(jìn)一步借助根的判別式進(jìn)行驗證。因為（2m-1）2-4m2≥0，即m≤[14]，所以m1=1不合題意，要舍去，則符合要求的m值為-3。故選A。

二、關(guān)注配方式結(jié)構(gòu)，凸顯配方過程

在一元二次方程的學(xué)習(xí)中，配方式結(jié)構(gòu)（x+a）2=k是一元二次方程的一個重要的結(jié)構(gòu)形式，也是求最值的重要工具，可以為后面確定二次函數(shù)頂點等知識奠定基礎(chǔ)，有較為廣泛的應(yīng)用。要形成（x+a）2=k這樣的結(jié)構(gòu)，則要重點關(guān)注配方的過程，因此多年來的中考試題主要聚焦考查如何配方，配方后的完全平方式的結(jié)構(gòu)是否正確，以及依此判斷代數(shù)式最值等方面。

例3 （2022·甘肅武威）用配方法解方程x2-2x=2時，配方后正確的是（）。

A.（x+1）2=3 B.（x+1）2=6

C.（x-1）2=3 D.（x-1）2=6

【解析】本題是直接考查配方法，要求同學(xué)們在理解配方法的基礎(chǔ)上得到配方后的形式。這里我們可以直接在方程左右兩邊都加上1，左邊化為完全平方式，右邊合并即可得到結(jié)果。故選C。

例4 （2022·山東聊城）用配方法解一元二次方程3x2+6x-1=0時，將它化為（x+a）2=b的形式，則a+b的值為（）。

A.[103]B.[73]C.2D.[43]

【解析】將常數(shù)項移到方程的右邊，二次項系數(shù)化為1，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，配成完全平方式后，繼而得出答案。

∵3x2+6x-1=0，

∴3x2+6x=1，x2+2x=[13]，

則x2+2x+1=[13]+1，

即（x+1）2=[43]。

∴a=1，b=[43]。

∴a+b=[73]。故選B。

三、關(guān)注乘積式結(jié)構(gòu)，活用因式分解

一元二次方程的解法中常用的還有因式分解法，即將一般式結(jié)構(gòu)因式分解成（x+a）（x+b）=0這一乘積式結(jié)構(gòu)，一旦形成這樣的結(jié)構(gòu)就能很快得到方程的解。當(dāng)然，利用乘積式結(jié)構(gòu)解方程，我們一定要注意，等式右邊要為0，這樣才能依據(jù)“A×B=0，則A=0或B=0”解方程。

例5 （2022·貴州貴陽）在初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法。他們分別是配方法、公式法和因式分解法，請從下列一元二次方程中任選兩個，并解這兩個方程。

①x2+2x-1=0;②x2-3x=0;③x2-4x=4;④x2-4=0。

【解析】本題要關(guān)注方程結(jié)構(gòu)中系數(shù)的特點來選擇配方法、公式法或因式分解法。

①利用公式法：

x2+2x-1=0，

b2-4ac=22-4×1×（-1）=4+4=8，

∴x=-1±[2]。

②利用因式分解法：

x2-3x=0，

∴x（x-3）=0。

∴x1=0，x2=3。

③利用配方法：

x2-4x=4，

兩邊都加上4，得

x2-4x+4=8。

∴（x-2）2=8。

∴x-2=±2[2]。

∴x1=2+2[2]，x2=2-2[2]。

④利用因式分解法：

x2-4=0，

∴（x+2）（x-2）=0。

∴x1=-2，x2=2。

例6 （2022·黑龍江齊齊哈爾）解方程：（2x+3）2=（3x+2）2。

【解析】本題方法較多，可以直接開平方，也可以借助乘積式結(jié)構(gòu)，通過因式分解來求解。由（2x+3）2=（3x+2）2得到（2x+3）2-（3x+2）2=0，繼而得到[（2x+3）+（3x+2）]·[（2x+3）-（3x+2）]=0，形成2x+3+3x+2=0或2x+3-3x-2=0，解得x1=1，x2=-1。

關(guān)注一元二次方程的模型結(jié)構(gòu)，厘清結(jié)構(gòu)中的特點和結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系是最為關(guān)鍵的一環(huán)。結(jié)構(gòu)確定方程的屬性，而解決問題的方法則需要我們在不斷的積累和反思中獲得。

（作者單位：江蘇省南京市第二十九中學(xué)初中部）