列表法在“每……每”問(wèn)題中的應(yīng)用

陳宏雯

列表法是同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)上冊(cè)“4.3用一元一次方程解決問(wèn)題”時(shí)所見(jiàn)過(guò)的一種審題方法，它能將應(yīng)用題中的條件所涉及的各部分?jǐn)?shù)量關(guān)系一一列舉出來(lái)，使人對(duì)題目所敘述的各種數(shù)量了如指掌，最終達(dá)到將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)化的目的。但隨著學(xué)習(xí)的深入和解題熟練度的提升，同學(xué)們習(xí)慣于直接列方程，列表法也漸漸被“丟棄”。但隨著一元二次方程的學(xué)習(xí)，題目中出現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系再次變多，“丟棄”列表法的同學(xué)可能對(duì)“用一元二次方程解決問(wèn)題”感到棘手，尤其是遇到“每……每”問(wèn)題。其實(shí)，列表是解決“每……每”問(wèn)題的一劑良藥。現(xiàn)以具體的例題來(lái)向大家介紹列表是如何在“每……每”問(wèn)題中應(yīng)用的，以期同學(xué)們?cè)诮窈蟮慕獯鹬心苁炀氄莆铡?/p>

例1 商場(chǎng)銷售一批襯衫，平均每天可售出30件，每件盈利45元。為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，商場(chǎng)采取降價(jià)措施。假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價(jià)每降1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件。如果降價(jià)后商場(chǎng)銷售這批襯衫每天盈利1800元，那么這種襯衫每件的價(jià)格應(yīng)降價(jià)多少元？

【分析】本題是最典型的“每……每”問(wèn)題，即“襯衫的單價(jià)每降1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件”。此外，本題還有較多數(shù)量，這些數(shù)量直觀上并沒(méi)有什么聯(lián)系，所以我們可以通過(guò)列表的方式找到它們之間的關(guān)系。

方法一：因?yàn)楝F(xiàn)在的每件盈利受降價(jià)影響，即現(xiàn)在的每件盈利等于原來(lái)的每件盈利減去降低的價(jià)格，而增加的件數(shù)由降低的價(jià)格決定，每個(gè)1元搭配2件襯衫。所以我們可以設(shè)降價(jià)為x元，增加的件數(shù)為2×[x1]件，現(xiàn)在的每件盈利為（45-x）元，件數(shù)為（30+2×[x1]）件。最終，根據(jù)利潤(rùn)的等量關(guān)系式：總利潤(rùn)=單利潤(rùn)×數(shù)量，列出一元二次方程解決問(wèn)題。

解：設(shè)這種襯衫的單價(jià)降了x元。

根據(jù)題意，得

（45-x）（30+2x）=1800。

解這個(gè)方程，得x1=x2=15。

答：當(dāng)這種襯衫每件的價(jià)格降價(jià)15元時(shí)，商店每天獲利1800元。

方法二：降低的價(jià)格和現(xiàn)在的每件盈利有直接關(guān)系，現(xiàn)在的銷售件數(shù)與降低的價(jià)格有直接的關(guān)系，可以利用降低的價(jià)格關(guān)聯(lián)現(xiàn)在每件的盈利與現(xiàn)在的件數(shù)之間的關(guān)系。所以設(shè)現(xiàn)在每件盈利為x元，則降低的價(jià)格為（45-x）元，增加的件數(shù)為2×[（45-x）1]件。同樣，根據(jù)利潤(rùn)的等量關(guān)系式：總利潤(rùn)=單利潤(rùn)×數(shù)量，列出一元二次方程解決問(wèn)題。

解：設(shè)這種襯衫現(xiàn)在的每件盈利為x元。

根據(jù)題意，得

x[30+2×[（45-x）1]]=1800。

解這個(gè)方程，得x1=x2=30。

所以45-x=15。

答：當(dāng)這種襯衫每件的價(jià)格降價(jià)15元時(shí)，商店每天獲利1800元。

【點(diǎn)評(píng)】設(shè)降價(jià)為x元時(shí)，明明可以直接寫出增加的件數(shù)是2x，為什么還要寫成2×[x1]的樣子？這是因?yàn)轭}目說(shuō)增加2件是針對(duì)“每”降價(jià)1元來(lái)說(shuō)的，因此，我們要找到降價(jià)中有多少個(gè)“1”。即對(duì)待“每……每”問(wèn)題，重要的是能夠找到第一個(gè)“每”所代表的意思是什么。此外，根據(jù)列表，我們可以清晰地看出表格中存在兩個(gè)未知量，即調(diào)整的價(jià)格與銷售件數(shù)和現(xiàn)在的每件盈利與銷售件數(shù)，但兩者之間可以由“每降1元，多售出2件”建立聯(lián)系。

例2 某超市銷售一種飲料，每瓶進(jìn)價(jià)為6元。當(dāng)每瓶售價(jià)為10元時(shí)，日均銷售量為160瓶。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查表明，每瓶售價(jià)每增加0.5元，日均銷售量減少10瓶。當(dāng)每瓶售價(jià)為多少元時(shí)，所得日均總利潤(rùn)為700元？

【分析】首先我們可以初步將題目中的條件用表格表示如下：

[ 原來(lái)的 調(diào)整 現(xiàn)在的 進(jìn)價(jià)/元 6 不變 6 售價(jià)/元 10 增加 ？ 銷售量/瓶 160 減少 ？ 日均總利潤(rùn) （10-6）×160 700 ]

設(shè)每瓶售價(jià)增加x元，那么這里面有[x0.5]個(gè)0.5，所以銷售量減少10×[x0.5]瓶，現(xiàn)在的售價(jià)為（10+x）元，銷售量為（160-10×[x0.5]）瓶。根據(jù)利潤(rùn)的等量關(guān)系式：總利潤(rùn)=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×數(shù)量，可得到方程。

解：設(shè)增加x元時(shí)，所得日均總利潤(rùn)為700元。

根據(jù)題意，得

（10+x-6）×（160-10×[x0.5]）=700。

解得x1=1，x2=3。

所以10+x1=11，10+x2=13。

答：每瓶售價(jià)為11或13元時(shí)，所得日均總利潤(rùn)為700元。

【點(diǎn)評(píng)】與例1類似，我們還可以設(shè)現(xiàn)在每瓶售價(jià)x元時(shí)，所得日均總利潤(rùn)為700元。根據(jù)題意，列方程（x-6）（160-10×[x-100.5]）=700來(lái)解決問(wèn)題。本題的“每……每”在于“售價(jià)每增加0.5元，日銷售量減少10瓶”。但這里的0.5不像例1中的那么“整”，“每”這個(gè)詞在數(shù)學(xué)中是“除以”的意思，所以需要找到增加的售價(jià)中有多少個(gè)“0.5”。因此，抓住第一個(gè)“每”是解決“每……每”問(wèn)題的關(guān)鍵。

變式 某水果商場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，出售價(jià)格每漲價(jià)3元，日銷售量將減少60千克，現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？

解：設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)x元。

根據(jù)題意，得

（10+x）（500-60×[x3]）=6000。

解這個(gè)方程，得x1=5，x2=10。

因?yàn)橐诡櫩偷玫綄?shí)惠，

所以x2=10不合題意，舍去。

答：每千克應(yīng)漲價(jià)5元。

【點(diǎn)評(píng)】解決一元二次方程中的“每……每”問(wèn)題，還需要關(guān)注的是能找到題目的等量關(guān)系式。將屬于同一類等量關(guān)系式的數(shù)量放進(jìn)表格的同一行，例如漲價(jià)前的售價(jià)、銷售量、利潤(rùn)為同一類，漲價(jià)后的售價(jià)、銷售量、利潤(rùn)為同一類。設(shè)相應(yīng)的未知數(shù)，用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出其他的未知量，最后根據(jù)等量關(guān)系式列出一元二次方程并求解。

此外，對(duì)于求解增加、降低等實(shí)際問(wèn)題，直接設(shè)增加、降低等會(huì)使得所列表格更便于理解。最后，要認(rèn)清題目中是否有目的性詞語(yǔ)，即所求解方案是否符合要求，如同變式中“同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠”，所以需要舍去不符合要求的值。

（作者單位：江蘇省南京市江寧開發(fā)區(qū)學(xué)校）