基于演繹推理的分數(shù)除以整數(shù)學習路徑研究

鞏子坤 張希 張丹 邵漢民

【摘? ?要】結(jié)合實踐探索了基于演繹推理的分數(shù)除以整數(shù)學習路徑，即通過概念、等式的基本性質(zhì)推演分數(shù)除法的算理。學習路徑由以下四個任務構成：[45]÷2→[45]÷3→[45]÷c→[ab]÷c。通過對比實驗，實驗班學生能更好地掌握分數(shù)除法算理，該路徑具有可行性。據(jù)此提出以下建議：（1）教材編寫可以參考該路徑。（2）教學時，要凸顯演繹推理的必要性與一般性，解決“為何要演繹推理”的問題;理清每一推理步驟的邏輯關系，解決“如何演繹推理”的問題;注重培養(yǎng)學生的演繹推理能力與符號意識。

【關鍵詞】演繹推理;分數(shù)除以整數(shù);算理;學習路徑

一、引言

分數(shù)除法是學生學習、教師教學的一大難點。研究表明，大部分學生對分數(shù)除法的算法掌握得很好[1]，卻不明白分數(shù)除法為什么要“顛倒相乘”，即對算理的理解較為欠缺[2]。為此，很多學者展開了分數(shù)除法算理教學的研究。Li Chen[3]認為可以類比整數(shù)除法學習分數(shù)除法算理，并借助直觀表征（方格圖、線段圖等）進行說理。但類比推理存在一定的局限性，且直觀表征存在必然缺陷?？梢?，分數(shù)除法算理教學的困難亟待解決。

邏輯推理一般分為演繹推理和合情推理。史寧中教授認為數(shù)學發(fā)展主要依賴的就是邏輯推理，正是有了邏輯推理，才形成了數(shù)學的嚴謹性，邏輯推理應當貫穿數(shù)學教育的全過程[4]。然而，小學數(shù)學教材存在“偏重合情推理、淡化演繹推理”的現(xiàn)象，這雖然符合兒童認識世界的基本規(guī)律，但不利于全面培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)。因此，探索如何在小學數(shù)學教學中滲透演繹推理具有一定的理論價值，也是改善小學數(shù)學教學，提升學生核心素養(yǎng)的必然趨勢。史寧中教授認為所有的除法與乘法都是貫通的，提出了基于演繹推理的分數(shù)除法算理[5]，為本研究提供了依據(jù)。

學習路徑是學生對核心概念的理解由簡單到復雜、由低級到高級的思維過程的描述，不僅能促進學生思維水平的提升，還可以為教材修訂、教學設計提供指導[6][7]。本研究以學習路徑為工具，旨在探索一條有利于學生理解的基于演繹推理的分數(shù)除法學習路徑。分數(shù)除法可分為“分數(shù)除以整數(shù)”和“一個數(shù)除以分數(shù)”，本文主要研究“分數(shù)除以整數(shù)”。

具體而言，探查以下問題：（1）基于演繹推理的分數(shù)除以整數(shù)學習路徑是什么？（2）基于演繹推理的分數(shù)除以整數(shù)學習路徑可行嗎？

二、研究設計

（一）研究對象

本研究選取杭州市XH小學六年級甲、乙班作為實驗班，按照本研究所設計的學習路徑教學;選取同一學校平行班丙、丁班作為對照班，按照教材中的分數(shù)除法學習路徑教學。

（二）研究步驟

整個研究主要包括“預備課、初構的學習路徑A1、優(yōu)化的學習路徑A2”等基本步驟（如圖1）。

（三）理論支撐

1.基于演繹推理的分數(shù)除法算理

以[15÷2]為例，將商設為“？”，得到[15÷2=]？;根據(jù)“除法是乘法的逆運算”，得到？×2[=15];根據(jù)“等式的基本性質(zhì)”，等號兩邊同乘[12]，得到？[×2×12=15×12];根據(jù)“乘法結(jié)合律”并化簡，得到？[=15×12];根據(jù)“等式的傳遞性”，得到[15÷2=15×12]。

這就是基于演繹推理，將分數(shù)除法轉(zhuǎn)化為分數(shù)乘法。雖然學生已經(jīng)學過演繹推理所需的知識，但他們掌握得還不夠扎實。為此，教師先在實驗班上預備課，復習必要的前提知識。

2.表征方式

表征方式，是指通過某種類型的表達方式來說明算理。在分數(shù)除法教學中，有以下表征方式（如表1[8]）：

（四）問卷及數(shù)據(jù)處理

實驗班后測例題如下：

先計算[45÷6=]，再用推一推的方法來說明你的計算結(jié)果是合理的。

對照班后測例題如下：

把一張紙的[45]平均分成6份，每份是這張紙的幾分之幾？用畫圖、文字解釋等方法來說明你的計算結(jié)果是合理的。

測試后對問卷進行賦分，計算正確得1分，說理正確得3分，滿分4分。

三、研究結(jié)果與分析

（一）預備課和前測

在甲、乙班教學預備課，教學后對學生進行測試，這也是整個實驗的前測。發(fā)現(xiàn)兩班總得分率（92.22%和91.35%）較高，說明大部分學生已掌握這些知識。對平均得分進行獨立樣本[t]檢驗，結(jié)果顯示，甲、乙班得分（[t]=1.859，[P]=0.069）不存在顯著性差異，這能有效減小后續(xù)研究的誤差。綜上，基于演繹推理的分數(shù)除法教學實驗能夠在甲、乙班開展。

（二）分數(shù)除以整數(shù)的學習路徑：初構

1.路徑呈現(xiàn)

初構的分數(shù)除以整數(shù)的學習路徑如圖2所示。

任務一借助直觀表征“畫一畫”，用被除數(shù)的分子除以除數(shù)即可解決。

任務二中被除數(shù)的分子不能被除數(shù)除盡，此時可以借助直觀表征進行求解。與此同時，教師引入形式表征“推一推”，即演繹推理來解釋算理。

任務三符號化。當出現(xiàn)字母[c]時，直觀表征失去優(yōu)勢，從而凸顯形式表征的優(yōu)越性。教師詢問學生：[c]可以代表哪些數(shù)？任務三可以得到什么結(jié)論？在此過程中，學生逐漸認識到字母符號具有一般性，并得到一個普適性運算規(guī)律——[45]除以一個數(shù)等于乘上它的倒數(shù)。

2.教學效果與存在的問題

對學生的后測錯誤情況進行訪談，部分訪談實錄如下（T是訪談人員，S是學生）：

T：為什么[45÷6]等于[45×16]呢？

S：因為除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。

T：但是這題就是讓我們解釋為什么除以一個數(shù)就是乘以這個數(shù)的倒數(shù)呀。

（學生不大明白了）

通過對話可以看出，該學生將演繹推理的因果關系倒置，把“除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)”當成一個已知的結(jié)論，全然不知我們“推”的就是這個結(jié)論。出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象，一是因為平時沒有接觸、經(jīng)歷過演繹推理的過程，二是因為學習路徑的設計存在問題，未順應學生的認知順序，導致學生對“為何演繹推理”“如何演繹推理”一知半解。

因此，初構的學習路徑A1存在以下問題：

（1）任務二（[45÷3]）未凸顯演繹推理的必要性。學生易接受直觀表征，不明白為何要演繹推理。

（2）演繹推理步驟間的聯(lián)系性不緊密。教學中只解釋步驟，卻缺乏對這些步驟的歸納與總結(jié)。這導致學生不理解為什么要遵循這樣的步驟，即不明白為什么要先設未知數(shù)，再化除為乘，繼而利用等式的基本性質(zhì)化簡。

3.改進建議

（1）完善任務，凸顯為何要演繹推理。

其一：任務一和任務二只呈現(xiàn)直觀表征，任務三引入形式表征。

任務一和任務二通過畫圖說明算理;而任務三包含字母[c]，無法畫圖，引起學生的認知沖突，此時再引出“推一推”，讓學生認識到演繹推理的必要性。

其二：增加任務四[ba÷c]，促使任務完全符號化。

由于[a]、[b]、[c]是任意的自然數(shù)（[a≠0， c≠0]），[ba÷c]就能代表全體的“分數(shù)除以整數(shù)”。當推理出[ba÷c=ba×1c]時，便能得到分數(shù)除以整數(shù)的普適性運算規(guī)律，由此凸顯形式表征的一般性，培養(yǎng)學生的符號意識。

（2）總結(jié)推理步驟，凸顯怎樣演繹推理。

增加鞏固環(huán)節(jié)，將推理過程的步驟分別命名為設、化、消、傳（如圖3）。

（三）分數(shù)除以整數(shù)的學習路徑：優(yōu)化

1.路徑呈現(xiàn)

優(yōu)化后的分數(shù)除以整數(shù)的學習路徑如圖4所示。

本節(jié)課的目標是感悟演繹推理的必要性與一般性，解決“為何要演繹推理”的問題;充分經(jīng)歷演繹推理的過程，解決“如何演繹推理”的問題。優(yōu)化的學習路徑A2通過四個任務達成本節(jié)課的目標（如圖4）。下文將借助部分教學片段，說明如何落實以上目標，其中T是授課教師，S是學生。

（1）為何要演繹推理？

T：即使無法計算任務三，也能通過前面的“例子”（如圖5）類比得到“猜想”——乘以除數(shù)的倒數(shù)。這個猜想是否正確？靠不斷地舉例來說理可行嗎？

S：不行，需要驗證。

T：可是，這個式子中含有字母[c]，無法畫圖了，如何驗證？怎么能更一般地解釋顛倒相乘？今天老師教大家一個新方法——“推一推”。

教師引導學生通過類比得到“猜想”，這是合情推理。但如何證實含有字母[c]的“猜想”，學生還難以用現(xiàn)有的知識解決。因此，教師順理成章地引入演繹推理，讓學生感悟演繹推理的必要性。此外，從帶有字母的算式入手，有利于學生感悟演繹推理的一般性。

（2）如何演繹推理？

T：不知道算式的商是多少，可以先將其設為“？”，即[45÷c=？]，這一步稱為“設”。此外，雖然我們不會計算分數(shù)除法，但是我們會計算分數(shù)乘法，那能否將除法化為乘法呢？

S：商乘以除數(shù)等于被除數(shù)。

T：根據(jù)“除法是乘法的逆運算”，得到？ × c=[45]，這一步稱為“化”?，F(xiàn)在，我們想知道“？”到底是多少？但是，等式的左邊還有一個c，如何將等式左邊的c消掉呢？

S：可以用解方程的方法化簡，在等式兩邊同時乘上[1c]。

T：沒錯，根據(jù)“等式的基本性質(zhì)”，得到？×c[×1c=45×1c]。再根據(jù)分數(shù)乘法約分化簡，得到？×[c×1c=45×1c]，即？[=45×1c]。這一步稱為“消”。

T：觀察上述結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)什么？

S：因為[45÷c=？]，[？=45×1c]，所以[45÷c=45×1c]（如圖6）。

T：非常好，這一步稱為“傳”。這也就證明了“[45]除以一個整數(shù)等于乘上它的倒數(shù)”。

該環(huán)節(jié)旨在讓學生感悟、理解演繹推理的依據(jù)與方法。為達成目標，教師通過對演繹推理過程的歸納與總結(jié)，讓學生經(jīng)歷演繹推理的過程，深刻理解“設、化、消、傳”的含義。

2.教學效果

對甲、乙班學生的后測平均分進行獨立樣本[t]檢驗，結(jié)果顯示，甲、乙班的得分（[t]=2.196，[P]<0.05）存在顯著性差異，說明優(yōu)化的學習路徑A2產(chǎn)生了效果。

（四）學習路徑的整體效果

1.實驗班、對照班后測數(shù)據(jù)分析

對“實驗班”“對照班”學生的后測平均分進行獨立樣本t檢驗，結(jié)果顯示，對照班、實驗班的得分（t=2.734，P<0.05）存在顯著性差異。綜上所述，本研究設計的學習路徑與教材中的學習路徑相比，更有利于學生理解分數(shù)除以整數(shù)的算理。

2.延遲后測數(shù)據(jù)分析

延遲后測可以評估學習者初學某一內(nèi)容，在一段時間后的學習效果。研究團隊在授課結(jié)束的兩周后，對兩個實驗班進行延遲后測。結(jié)果顯示，相比即時后測，甲班的延遲后測得分率降低了17.92%，乙班降低了1.76%，這說明乙班的教學效果更具有持久性。

乙班的后測得分率均在80%及以上，說明班級中大部分學生能理解、運用“推一推”，這樣的結(jié)果是值得肯定的。因為演繹推理中蘊含的邏輯、思路是小學生沒有系統(tǒng)訓練過的，首次嘗試就獲得良好的數(shù)據(jù)支持，說明了演繹推理運用于小學數(shù)學教學的可行性。

四、結(jié)論與建議

（一）結(jié)論

基于研究，得出以下結(jié)論：

（1）在分數(shù)除以整數(shù)的學習路徑中，要以直觀表征引入，逐漸以形式表征為主，即“直觀表征敲門，形式表征唱戲”。

（2）研究數(shù)據(jù)表明，本研究設計的學習路徑具有可行性。與教材中的學習路徑相比，本研究設計的學習路徑更有利于學生理解分數(shù)除以整數(shù)的算理。

（二）建議

教材可以參考我們得到的優(yōu)化的學習路徑A2：以演繹推理為抓手，推演分數(shù)除以整數(shù)的算理，從“算法的數(shù)學”上升到“思辨的數(shù)學”;注重直觀表征與形式表征并行。

教學時，教師要遵循學生的認知順序，凸顯演繹推理的必要性與一般性，解決“為何要演繹推理”的問題;厘清每一推理步驟的邏輯關系，解決“如何演繹推理”的問題;處理好從直觀表征到形式表征的過渡，培養(yǎng)學生的演繹推理意識與符號意識。

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