“直觀模型”在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的價值追問

【摘? ?要】運用直觀模型指的是用“畫圖、列表”等可視化手段“表示”出思考過程、數(shù)學(xué)知識內(nèi)涵或問題解決過程的一種方式，是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要手段。在計算教學(xué)中，教師要正確認(rèn)識與辯證使用直觀模型：通過“計數(shù)”直觀材料獲得正確的計算結(jié)果是算法多樣化的根本保證;用矩形的面積表示分?jǐn)?shù)乘法有兩類不同含義，其一是基于分?jǐn)?shù)意義的直觀模型，其二是將分?jǐn)?shù)乘法定義為矩形的面積;直觀模型只是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的表征方式之一，隨著學(xué)生年齡增長應(yīng)越來越少用直觀模型;“畫直觀圖”不適合作為紙筆測評的內(nèi)容。

【關(guān)鍵詞】直觀模型;分?jǐn)?shù)乘法;表征方式

運用“直觀模型”①似乎是小學(xué)階段學(xué)習(xí)運算意義、理解算理的“必備武器”，即計算教學(xué)中一直強調(diào)的“直觀模型是幫助學(xué)生理解算理的一種重要方式”[1]。直觀模型一定有助于學(xué)生理解算理嗎？學(xué)生讀懂“直觀模型”本身是否就很難？測評時要求學(xué)生“畫圖表示計算的過程和結(jié)果”是否是高水平抑或是“無理”要求？如何對學(xué)生的“圖畫作品”進行評分呢？再進一步追問，直觀模型的育人價值到底是什么？教師在教學(xué)中如何辯證地使用直觀模型？這一系列問題需要結(jié)合案例條分縷析地解釋和說明。

一、引子：“畫圖表示計算過程與結(jié)果”適合紙筆測評嗎？

下面是某地區(qū)六年級期末檢測的一道題以及對某學(xué)生作答的評分情況（如圖1）。某學(xué)校教學(xué)主任向筆者“求救”：

老師，我的同事問我“為啥要扣2分”？（滿分4分）

我只能說“評分規(guī)則中規(guī)定：沒有明確地寫出[518]這個結(jié)果的就要扣2分”。

同事們又追問我“題目中不是讓‘畫圖表示嗎，為啥要寫出分?jǐn)?shù)的“數(shù)字符號”？學(xué)生理解題意沒錯呀”。

該主任無奈地問我：老師，我該怎么解釋呀？老師們“打起來”了。

過了一段時間該主任又問我：老師，下面這道題（如圖2）該不該扣分？我覺得應(yīng)該扣分，但領(lǐng)導(dǎo)說“別扣分了”。我徹底糊涂了！

如何解決該主任的困惑與“痛苦”呢？為何“不應(yīng)該扣分的卻扣分，應(yīng)該扣分的卻不扣分”呢？第二題學(xué)生的作答顯然要扣分的，因為沒有“直觀表示”出“9+1”。當(dāng)然，這樣的“題目”適合作為紙筆作業(yè)或測評任務(wù)嗎？是否是領(lǐng)導(dǎo)意識到不應(yīng)該用“畫一畫你的計算過程”這樣的問題來“難為學(xué)生”，所以學(xué)生畫成圖2那樣也不扣分？

對于第一個問題是否扣分爭議確實很大。通過對一線教師進行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)他們的答案主要有三類即劉曉婷[2]文中的前三種，幾乎沒有后三種。也就是說一線教師的答案跟該學(xué)生的答案基本一致，看來教師作答該題也很難得到“滿分”。到底如何“畫圖”，連教師“都有不同觀點”甚至“都拿不準(zhǔn)”，為何要測評學(xué)生呢？即使測評了，哪種畫法算是“標(biāo)準(zhǔn)答案”呢？如何制定“寬容的”評分規(guī)則呢？

畫直觀圖示的根本目的是什么呢？用“直觀圖”表示計算過程與結(jié)果對學(xué)生而言是“容易”還是“更困難”？操作“直觀模型”得到計算結(jié)果本身是一種算法，既然“允許算法多樣化”，那為何要求所有的學(xué)生都會“畫圖”呢？這是否是小學(xué)數(shù)學(xué)教育悖論？如此看來，需要進一步追問“直觀模型”是什么、承載哪些價值。

二、追問：“直觀模型”是什么？價值何在？

（一）什么是直觀模型？

如前所述，直觀模型是各類直觀的、有結(jié)構(gòu)或無結(jié)構(gòu)的可視化材料，具體指小棒、計數(shù)器、平面圖形及其面積圖、線段圖、數(shù)線等直觀材料。運用直觀模型是指用“畫圖、列表”等可視化方式“表示”出思考過程、數(shù)學(xué)知識內(nèi)涵和問題解決過程的手段。既然是“表示”，不同的人就有不同的表示方法，即有“人為約定”的成分。例如，關(guān)于分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，人教版教材六年級上冊[3]中采用圖3中的表示方法，北師大版教材五年級下冊[4]中采用圖4中的表示方法，都能直觀解釋其運算意義、計算過程與結(jié)果，不能說“誰對、誰錯”，各有其合理性。

人教版教材中，[12]公頃是具體的數(shù)量，其單位是“1公頃（日常表達時將‘1省略）[5]”，所以教材中用“虛線”補上了“另一半”，讓“1公頃”可視化;再將“實實在在”的[12]公頃平均分（用實線表示）成5份;為了“求其中的1份是多少公頃，即這樣的1份是1公頃的幾分之幾”，因此必須再用“虛線”表示出“1公頃”已經(jīng)被平均分成了“10份”，所以“這樣的1份”就是[110]公頃。最后求“[12]公頃的[35]種玉米，種玉米的面積是多少公頃”就直接求“這樣的3份”即[310]公頃。用“畫圖”的方法直觀地解釋了分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的含義以及計算結(jié)果。因為第一個因數(shù)是“具體的量”，第二個因數(shù)是“算子”也就是“誰的[15]或[35]”，用“實線、虛線”分別表示兩次“平均分”的過程就非常清晰。

北師大版教材“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的情境”中，沒有具體的數(shù)量，第一個因數(shù)[34]表示“陰影部分占整個圖形的[34]（用虛線表示平均分4份）”，“陰影”與“整個圖形”都是“客觀存在”，再將其“平均分4份”，必然是“陰影”與“整個圖形”同時被“平均分4份”，用“實線”表示第二次“平均分4份”的過程。

之所以闡述上述內(nèi)容，只想強調(diào)當(dāng)脫離現(xiàn)實情境，用“畫圖”表示“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”時，沒必要糾纏用“實線”還是“虛線”表示平均分、第二次平均分一定要先“平均分陰影部分”再“平均分整體”，也就不能說只有像人教版教材那樣畫圖才算“正確”，而北師大版教材那樣畫圖是“錯誤”，實際教學(xué)中一定不用“嚴(yán)格”區(qū)分這些不同的畫圖方法。只要學(xué)生的“思考過程”是正確的就行，畢竟畫圖有“約定成分”，不同的“直觀圖示”可能表示了“相同的思考過程”，不存在唯一正確的“圖示”。如果將“畫圖”作為考試內(nèi)容來檢測學(xué)習(xí)效果，評分規(guī)則一定要遵循“寬容原則”，畫出圖1的學(xué)生不應(yīng)該被扣2分。

用直觀模型表示能揭示“運算本質(zhì)”嗎？顯然不能。它只是理解運算意義、算法與算理的表征方式之一，還有其他不同的表征方式。例如，鞏子坤[6]提出分?jǐn)?shù)乘除法運算有三種表征方式：直觀表征、抽象表征、形式表征。直觀模型或直觀圖示是表征計算過程的方式之一，它首先是一種直觀表征，當(dāng)學(xué)生能夠借助直觀操作（直觀圖示）解釋、說明計算的道理可稱之為“借助直觀模型理解算理”。如果學(xué)生沒有“解釋、說明計算道理”的行為，只是根據(jù)數(shù)的意義、運算的意義而畫出直觀圖示、通過“計數(shù)”得到計算結(jié)果，這時的直觀操作就是一種算法。

每種直觀模型各有其現(xiàn)實情境背景，又有“約定”的成分，為何非讓學(xué)生“洞察”到各種不同直觀圖示的差別甚至判斷出“誰對、誰錯”呢？即使通過訓(xùn)練學(xué)生能夠掌握各種“畫圖”，但有必要嗎？因為理解運算的意義、算法與算理本來就有不同的方式或途徑，直觀模型只是其中的一種，是“手段”不是“目的”，教育中把“手段”當(dāng)作“目的”豈不是“本末倒置、南轅北轍”？

（二）直觀模型對小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價值

使用直觀模型能夠?qū)W(xué)生“內(nèi)隱的”思考“外顯化”，便于學(xué)習(xí)過程中的交流討論與分享，這一點已為廣大教師所認(rèn)同。它的另外兩方面價值也需要廣大教師關(guān)注和了解。

1.通過“計數(shù)”直觀材料獲得正確的計算結(jié)果是算法多樣化的根本保證

四則運算源于“計數(shù)”，即“數(shù)出”計數(shù)單位的個數(shù)，人們對“數(shù)出”的結(jié)果“堅信不疑”，這類似于“公理”，即不再追問計數(shù)出的結(jié)果“為什么正確”。由于所有運算都是“一一映射”即“操作”兩個運算對象（數(shù)）之后，能得到唯一的“數(shù)”與之對應(yīng)，也就是所有運算的結(jié)果都具有唯一性。運算結(jié)果唯一性，是運算可以“算法多樣化”的前提。通過不同的計算方法或方式得到的結(jié)果如果相同，就說明每一種算法都是正確的。如果某種算法與其他算法得到的結(jié)果不同，說明該算法“出錯”了，需要重新計算或者檢查計算過程是否是某一步驟“出錯”，所謂“出錯”就是違背了數(shù)或運算的意義、不符合運算的性質(zhì)或定律，更可能是“看錯數(shù)”即改變了運算對象。

當(dāng)用不同算法得到的結(jié)果不同時，學(xué)生才有“理解算理”的需求，有借助“直觀模型”檢查或解釋每一步計算是否正確，從而感悟到直觀模型的作用。在學(xué)生已經(jīng)正確計算也能夠口頭解釋每一步的道理的基礎(chǔ)上，要求學(xué)生“直觀操作”，或者考試時專門考查“畫一畫計算過程”都不是數(shù)學(xué)教育所倡導(dǎo)的。這易導(dǎo)致學(xué)生厭惡數(shù)學(xué)，畢竟“畫圖”比“口算、列式計算”更麻煩。當(dāng)然，如果是作為“過程性評價”的檢測題，要求“畫一畫計算過程”也是必要的。

2.用直觀模型“定義”分?jǐn)?shù)乘法

伍鴻熙[7]認(rèn)為，分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)該舍棄“現(xiàn)實意義”，以“定義”的方式界定分?jǐn)?shù)乘法的含義。他給出了分?jǐn)?shù)乘法的兩個“定義”或稱之為“解釋”：

定義1：[mn×kl=]邊長為[mn]和[kl]的矩形的面積

定義2：[mn×kl=]分?jǐn)?shù)[kl]的[mn];或者，[mn×kl]=把線段[0，[kl]]平均分成長度相等的[n]段，其中[m]段拼接而成的線段長度。

前述這兩個定義都可以看作是分?jǐn)?shù)乘法的直觀模型——面積模型、數(shù)線模型，但是，目前現(xiàn)行的各個版本的教材中沒有直接“定義”分?jǐn)?shù)乘法，而是基于分?jǐn)?shù)意義以及自然數(shù)乘法理解分?jǐn)?shù)乘法。前述兩個定義脫離現(xiàn)實背景，比較抽象，尤其是定義2，小學(xué)生較難理解。但是定義1特別值得借鑒，下面簡要論述。

“定義1”到底指什么呢？首先根據(jù)定義可知“[1n×1l]”是邊長分別為[1n]、[1l]的矩形的面積，怎么得到的呢？就是將邊長為1的正方形，相鄰兩條邊分別平均分為[n]份和[l]份，將整個正方形平均分成了[n×l=nl]個單位長方形，每個單位長方形的面積是[1nl]，如圖5所示。

再將這個“單位長方形”每行擺[k]個，擺這樣[m]行，所得到的就是邊長為[mn]和[kl]的矩形，它的面積是[mk]個“單位長方形（[1nl]）”即[mknl]，所以[mn×kl=mknl]，就得到分?jǐn)?shù)乘法的運算法則，如圖6所示。

雖然都用“矩形的面積”表示分?jǐn)?shù)乘法，但是定義1與人教版、北師大版教材上所畫的直觀模型完全不一樣。通俗地說，定義1是“根據(jù)定義先得到分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的新單位，再計數(shù)新單位的個數(shù)”，現(xiàn)行教材是“先規(guī)定‘單位1，再根據(jù)分?jǐn)?shù)意義以及自然數(shù)的乘法，理解分?jǐn)?shù)乘法”。定義1是先根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法定義產(chǎn)生新單位[1nl]，再一行一行地排列產(chǎn)生邊長分別是[mn]和[kl]的矩形，它的面積就是[mn×kl]的乘積?，F(xiàn)行教材的解釋則是先規(guī)定“單位1（單位正方形）”，延垂直方向?qū)⑵淦骄殖蒣n]份，得到第一個因數(shù)[mn]，新單位是[1n];再將[mn]按水平方向平均分[l]（再次得到新單位[1nl]），這樣的[k]份就是[mknl]，按照分?jǐn)?shù)的算子含義即“[mn]的[kl]”就是[mn×kl]。

伍鴻熙給出的分?jǐn)?shù)乘法定義確實更為嚴(yán)謹(jǐn)、具有一般意義，可以脫離現(xiàn)實背景。該定義的另一個優(yōu)點是先進行“分?jǐn)?shù)單位乘分?jǐn)?shù)單位”得到“新單位”，再計數(shù)“新單位”的個數(shù)，實現(xiàn)自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法的“一致性”。定義了分?jǐn)?shù)乘法之后，再根據(jù)“除法是乘法的逆運算”（運用代數(shù)推理）得到分?jǐn)?shù)除法的定義以及運算法則。正如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》[8]中“例16”論證的“為什么[4÷2]可以寫成[42]”：首先，可以通過除法運算的意義和分?jǐn)?shù)的意義理解它們之間的等價關(guān)系。其次，根據(jù)“除法是乘法的逆運算”“等式性質(zhì)”以及基本事實“等量的等量相等”即可推理得到“[4÷2=4×12]”。最后，根據(jù)[4×12]表示4個[12]相加，所以寫成[42]”，再根據(jù)“等量的等量相等”即可證明[4÷2=42]，也能得到“除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”。

借助直觀模型根據(jù)分?jǐn)?shù)意義以及除法的意義（等分除、包含除）解釋分?jǐn)?shù)除法的算理，還是根據(jù)“商不變的性質(zhì)”或用“除法是乘法的逆運算、代數(shù)推理”的方法學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法？顯然，最后一種方法的推理過程非常嚴(yán)謹(jǐn)，每一步都“有根有據(jù)”，但是，小學(xué)生能否“像數(shù)學(xué)家一樣思考”，到底用哪種方法學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘除法等問題都需要在教學(xué)實踐中進一步研究，成人不能想當(dāng)然地做決定。

三、建議：要正確認(rèn)識且辯證地使用直觀模型

（一）辯證地看待用“直觀模型”表示思考過程

布魯納提出學(xué)習(xí)的多元表征理論，即動作表征、表象表征與符號表征，其后Lesh批判并修正了布魯納的多元表征理論，將其分別改為操作模型表征、圖像表征、書面符號表征，并提出口頭語言表征、現(xiàn)實情境表征在學(xué)習(xí)過程中扮演重要角色，并提出多種表征方式的相互轉(zhuǎn)換[9]。因此，學(xué)生不僅僅要能夠直觀表征，還能通過語言表達來描述、解釋數(shù)學(xué)概念、技能、性質(zhì)以及規(guī)律等。

直觀模型是動作表征、表象表征的“產(chǎn)物”。學(xué)生會用直觀模型表示自己的思考過程，讀懂別人的直觀模型，對他們來說都屬于“較高水平”的要求。因為有時候的“直觀”并不“真正的直觀”而是“抽象的直觀”。如“畫一畫9+4的計算過程”，學(xué)生通過口算知道結(jié)果，也知道可以拆分為“9+1+3=13”的湊十法，卻很難畫出“小棒圖”表示這個計算過程。又如，各地區(qū)經(jīng)常檢測圖7中的題目，如果沒有直觀“點子圖”，很多學(xué)生能否回答豎式中第二個“部分積”每個數(shù)字的意義（即能夠解釋算理）？為何非要考查用“點子圖”解釋“豎式中每個數(shù)字的含義”呢？評價的目的難道是“必須用多種方式”計算？這與用“自己喜歡的方法”不是矛盾嗎？

學(xué)生能夠用“自己喜歡的方式”理解、完成學(xué)習(xí)任務(wù)是最基本的教育目標(biāo)，即用一種方式正確表達或解釋即可。能夠用多種表征方式表達他的理解過程，說明學(xué)生達到了“深度學(xué)習(xí)、深度理解”，是高水平思維的表現(xiàn)，但不能期望學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)即能達到這個水平。

（二）“畫圖表示思考過程”不適合作為紙筆測評的任務(wù)或要求

如前所述，畫“直觀示意圖”的任務(wù)不適合紙筆測評。紙筆測評時，學(xué)生畫出來的都是“結(jié)果”，難以考查學(xué)生的“過程”，難道只有多畫幾個“圖”并用“箭頭”表示出“前后畫圖順序”才能表明“過程”嗎？只有“一幅圖”，也有“畫的過程（分別用實線、虛線表示）”只不過“老師沒有看到”或“沒有讀懂學(xué)生的畫法”，為何就不行呢？顯然糾纏這樣的“問題”不是教育的明智之舉。

該類任務(wù)應(yīng)該作為“表現(xiàn)性任務(wù)”用于課堂教學(xué)中，教師可以觀察學(xué)生“畫圖過程”了解學(xué)生的思維步驟以及難點，直觀模型將學(xué)生“內(nèi)隱的”思考“外顯化”，便于同伴之間、師生之間的交流探討與經(jīng)驗分享。

如果非要測評學(xué)生對分?jǐn)?shù)乘法的直觀模型是否理解，用如下方式測評更合適：小明用下圖表示了一個乘法算式的含義，這個算式是（? ? ）。

A.[ 23]×[15]? ? ? B. [23]×[25]? ? ?C. [23]×[35]? ? ?D. [23]×[45]

（三）隨著年級的升高，直觀模型應(yīng)該逐步“退出”學(xué)習(xí)歷程

學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解有四個水平[10]：直觀理解、程序理解、抽象理解與形式理解，它們是循序漸進的。由于小學(xué)生的思維是具象的、自我中心的，所以在低年級需要借助直觀手段理解抽象的數(shù)學(xué)概念、原理等。但隨著學(xué)生年齡增長，思維越來越抽象、結(jié)構(gòu)化，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)逐步舍棄直觀操作、直觀模型的支撐，依靠計算、幾何推理、代數(shù)推理、類比遷移等方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、技能，解決問題。

要避免讓高年級學(xué)生在低水平（前二者）上停留的時間過長的做法，更要避免明明學(xué)生已經(jīng)達到“抽象理解”，卻非要人為地將他們“拉回”到直觀理解水平的做法。更不適合用“低理解水平”的素材來測評已處于“高理解水平”的學(xué)生，因為很多時候不是學(xué)生“不懂”數(shù)學(xué)知識而是學(xué)生“怕麻煩”不愿意“畫圖”，甚至是學(xué)生“看不懂”題目要求，尤其是一些“人為約定”的直觀圖示。用類似的測評任務(wù)得不到真實的評價效果。

參考文獻：

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（北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)與教育科學(xué)學(xué)院? ?100120）