小學(xué)數(shù)學(xué)教材“多思喜悟”的四個端口

【摘? ?要】“多思喜悟”是一種教學(xué)思想，是一種教學(xué)智慧和策略。教師需要對數(shù)學(xué)教材“多思喜悟”，“悟”數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)本原、數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)、數(shù)學(xué)思想，找到知識的核心、源頭、連接、應(yīng)用“四大”端口。

【關(guān)鍵詞】多思喜悟;數(shù)學(xué)本質(zhì);數(shù)學(xué)思想;端口

“多思喜悟”是一種心理活動，也是一種教學(xué)思想，更是一種教學(xué)智慧和策略。學(xué)習(xí)需要感悟，知識是悟出來的，“多思喜悟”是課堂教學(xué)的靈魂。作為引領(lǐng)學(xué)生“多思喜悟”的教師，首先就要對數(shù)學(xué)教材進(jìn)行“多思喜悟”。下面從“多思喜悟”談?wù)劷庾x數(shù)學(xué)教材的四個端口。

一、“悟”數(shù)學(xué)本質(zhì)，找到核心端口

數(shù)學(xué)本質(zhì)包括數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)和數(shù)學(xué)現(xiàn)象的本質(zhì)。這是認(rèn)識數(shù)學(xué)的核心，需要教師課前用心悟。教師只有“悟出、悟通、悟透”這些本質(zhì)的東西，課堂教學(xué)才知道該“教什么”，這比“怎么教”更重要。

（一）“悟”數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)

小學(xué)數(shù)學(xué)中的概念，很多是描述性概念。概念的內(nèi)涵與外延常常隱藏于其背后，有的還不需要給學(xué)生明示。作為教師，我們需要充分感悟，悟透概念的本質(zhì)，把握學(xué)生認(rèn)知與思維的過程，這樣才能精準(zhǔn)施教。

如“面積的認(rèn)識”，小學(xué)數(shù)學(xué)教材是這樣定義面積的：物體的表面或封閉圖形的大小叫做面積。此定義僅僅是一個大體說明，是描述性的定義?！懊娣e”概念的本質(zhì)應(yīng)該從六個方面去認(rèn)識：①它是一個幾何計量概念[1];②它的基本屬性是“數(shù)”[2];③它滿足面積公理，即有限可加性、運(yùn)動不變性、正則性[3];④面積的核心（乘積）是給指定區(qū)域一個恰當(dāng)?shù)臄?shù)[4];⑤面積是面積單位的累積，是測量得到的[5];⑥用“線長×運(yùn)動的距離”可計量運(yùn)動形成的面積[6]。

教師對“面積的本質(zhì)”的認(rèn)識怎樣呢？2020年12月，筆者在西部某縣城4所示范小學(xué)近百名數(shù)學(xué)骨干教師中做了問卷調(diào)查，結(jié)果如下：（1）教師對“面積是一個數(shù)”認(rèn)可度不高，僅占總數(shù)55.8%的教師認(rèn)可，在大多數(shù)教師心中，面積依然是一個形。（2）對“面積需要測量得到”認(rèn)識不到位，有71.4%的教師認(rèn)可，有28.6%的教師心存疑惑，認(rèn)為面積是算出來的，不是量出來的。（3）對面積的運(yùn)動形成，二維度量認(rèn)識不到位，有80.5%的教師認(rèn)可，有19.5%的教師不認(rèn)為“面積的大小可以用‘線長×運(yùn)動的距離”計算。

教師尚且如此，也難怪學(xué)生容易造成“面積概念的理解狹隘、周長與面積計算混淆、呆板機(jī)械套用公式”等現(xiàn)象。這說明教師必須深度感悟，準(zhǔn)確把握隱藏在概念背后的本質(zhì)。

（二）“悟”數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)

小學(xué)數(shù)學(xué)中很多解題思路和數(shù)學(xué)方法的背后，隱藏著本質(zhì)的原理，從它們的外在表現(xiàn)很難發(fā)現(xiàn)。這就需要教師多問“為什么”，通過反復(fù)推敲、思考，悟出數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)。如“找次品”問題的教學(xué)[7]中，“找次品”的方法是3個物品分成3份，稱1次找到次品;4～9個物品每次盡量均分成3份，稱2次找到次品;10～27個物品每次盡量均分成3份，稱3次找到次品;……這是為什么呢？按生活經(jīng)驗思考，平均分成2份，可以全部放到天平左右兩邊上稱，一次就可以淘汰一半。而分成3份，一次只能在天平上稱2份，為什么次數(shù)反而少了呢？通過剖析數(shù)學(xué)方法背后的本質(zhì)原理，我們會發(fā)現(xiàn)：均分成2份，每次只能淘汰[12]，均分成3份，天平上可以“稱”2份，通過“稱”的結(jié)果和“推理”一次可以判斷3份，能淘汰[23]，因為[23]>[12]，所以次數(shù)反而少。而分成4份、5份……每一次淘汰掉的都沒有[23]多，所以分成3份是最佳方法。找到了數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)，學(xué)生就一通百通，這才是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)有的追求。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的很多數(shù)學(xué)方法，倒推其本質(zhì)，你都會收獲“原來如此”的驚喜。如“分油”問題的本質(zhì)是一個形如“（ ）×大桶ɑ+（ ）×小桶b=目標(biāo)c”的混合算式。小學(xué)數(shù)學(xué)里的所有加法（整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、時間、重量、長度、面積、體積、角度）的本質(zhì)都是數(shù)量加法，即單位相同時，接著數(shù)數(shù)。教師一定要深層參悟，找到本質(zhì)，實現(xiàn)課堂教學(xué)的“精教授妙點拔”。

二、“悟”數(shù)學(xué)本原，找到源頭端口

數(shù)學(xué)知識的起點和源頭就是數(shù)學(xué)的本原，它是數(shù)學(xué)的根本，它包括數(shù)學(xué)源頭的基本概念、一般原理和原始方法。因為數(shù)學(xué)中的很多概念背后都有其上位概念;很多方法背后都有原始方法;很多原理背后都有一般原理。我們將之統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)的本原。教學(xué)前，教師一定要多思喜悟，一旦把握它們的本原，就找到了教學(xué)的錦囊。

如“高”是一個生活中的概念，也是一個數(shù)學(xué)概念。為什么我們要去研究三角形、平行四邊形、梯形的高？要回答這個問題，我們需要去探討“高”在這些圖形的后繼研究中的價值，主要體現(xiàn)在圖形面積的計算中。圖形面積計算的本原是用面積單位為標(biāo)準(zhǔn)去度量的，而被定為面積標(biāo)準(zhǔn)的圖形是正方形，它是鄰邊互相垂直的二維圖形。為方便測量，需要采用割補(bǔ)法，將其他被測圖形通過運(yùn)動不變性變成鄰邊互相垂直的長方形，這就需要用到高。所以說“高”是進(jìn)一步研究圖形的參數(shù)。

教師把握了“高”的本原，在進(jìn)行“平行四邊形面積”教學(xué)時，就能引導(dǎo)學(xué)生輕松突破“為什么平行四邊形面積計算不能用兩鄰邊相乘”的大疑惑。

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，這樣的本原還有很多。如“分?jǐn)?shù)”的本原是數(shù)的原概念，其本質(zhì)是“先分后數(shù)”，先“分”一個標(biāo)準(zhǔn)，再數(shù)“標(biāo)準(zhǔn)”被分成的“總份數(shù)”，接著是“比”，用“表示的份數(shù)”與“總份數(shù)”比，整個過程與整數(shù)一樣，都是先定標(biāo)準(zhǔn)，再“數(shù)”所含標(biāo)準(zhǔn)的“個數(shù)”。又如“三角形三邊關(guān)系”的本原是“兩點間直線段的長度最短”;“三角形內(nèi)角和”的本原是“平移和平角”，因為“平移三角形的一邊正好構(gòu)成一個平角”等。這些都需要教師悉心參悟，全面把握，靈活運(yùn)用。

三、“悟”數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)，找到連接端口

關(guān)聯(lián)，指互相貫連。數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)是數(shù)學(xué)知識間、數(shù)學(xué)觀念間相互聯(lián)系和相互依賴而形成一個連貫的整體[8]，它包括數(shù)學(xué)知識間的關(guān)聯(lián)、數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)。

（一）“悟”數(shù)學(xué)知識間的關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，其數(shù)量間、數(shù)量關(guān)系間、數(shù)與形間、形與形間，縱橫聯(lián)系，相互依賴，連貫成整體。我們應(yīng)該多向思考，正逆互通，上下貫通，悟透其關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生感悟理解，形成對數(shù)學(xué)的整體性認(rèn)識。

如計算圖1中小正三角形的總數(shù)、小正方形的總數(shù)、小圓圈的總數(shù)，都可以用梯形的面積公式來求得：（1+7）×4÷2=42。

為什么可以用梯形的面積公式求圖形的總數(shù)呢？可能有人會反駁，那不是用的梯形面積公式，而用的是等差數(shù)列求和公式。用來表征等差數(shù)列的圖形就是梯形，圖1中的三個圖形可視為不標(biāo)準(zhǔn)的梯形。

梯形的面積就是所含面積單位的個數(shù)，放到圖1的三個圖中，分別是指所含小三角形、小正方形、小圓圈的個數(shù)。此一關(guān)聯(lián)，一下就打通了等差數(shù)列、梯形面積、圖形個數(shù)三者間的關(guān)系，使學(xué)生形成了對知識的整體性認(rèn)知。

（二）“悟”數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)來源于生活，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識大多能在生活中找到原型。教師要感悟數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的價值，經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程，會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界。

生活離不開數(shù)學(xué)。如生活中水管是圓柱形的，熱水瓶、油桶、水杯、水桶等是圓柱形的，自然界生長的植物莖桿（樹干、玉米桿、稻谷桿、麥桿）是圓柱形的，農(nóng)村的稻草樹、牧草墩等也是圓柱形的，這是為什么呀？為什么人類與自然界都對圓柱“情有獨鐘”呢？原來，圓柱形可節(jié)省材料，在橫截面面積一定的直柱體中，圓柱的側(cè)面積最小，表面積也就最小;圓柱體的容積最大，在腰圍（周長）一定直柱體中，圓柱的橫截面最大，容積也就最大。教師把握了這個關(guān)聯(lián)，學(xué)生會感嘆：自然界萬物也懂?dāng)?shù)學(xué)，植物居然是數(shù)學(xué)家，人們生活處處離不開數(shù)學(xué)。

同時，數(shù)學(xué)也離不開生活。曾有題目：小紅外出旅游，連續(xù)5天，日期數(shù)之和正好是90，小紅出游的日期是哪幾天？學(xué)生解答，90÷5=18，分別是16、17、18、19、20日。從數(shù)學(xué)方法看，此解完美。但它忽略了生活現(xiàn)實，因為連續(xù)5天，除了在一個月的中間，還可能在一個月的末尾與下個月的交接處，這樣一關(guān)聯(lián)，你會發(fā)現(xiàn)：28、29、30、1、2這5天的日期和也是90。這就是關(guān)聯(lián)的價值，教師需要把數(shù)學(xué)與生活正向、逆向、橫向、縱向、斜向聯(lián)起來參悟，不斷地叩問，找到相互之間的聯(lián)系。

四、“悟”數(shù)學(xué)的思想，找到應(yīng)用端口

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生、發(fā)展的根本，是研究數(shù)學(xué)所依賴的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識、理性感悟，它是有層次的，較高層次的基本思想有三個：抽象思想、推理思想、模型思想，由這三個基本思想演變、派生、發(fā)展出很多低層次的數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合思想、符號化思想、隨機(jī)思想等。王永春教授將之歸結(jié)為如圖2的關(guān)系圖[9]：

教師要透過數(shù)學(xué)的表面，悟出背后隱藏的數(shù)學(xué)思想。如人教版五下“打電話”問題，其所含的數(shù)學(xué)思想是“數(shù)形結(jié)合、推理、優(yōu)化、模型”等，需要利用“畫圖、列表格”把繁雜的信息條理化、層次化、數(shù)據(jù)化，進(jìn)而感悟和建立數(shù)列“模型”（n分鐘后接到電話的總?cè)藬?shù)是2n，新增人數(shù)是2n-1），這個“觀察思考，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律”過程是教學(xué)核心所在。

“打電話”問題屬于綜合實踐活動，本質(zhì)上是一種解決問題的活動，它是教師通過問題引領(lǐng)、學(xué)生全程參與、實踐過程相對完整的學(xué)習(xí)活動。這樣的學(xué)習(xí)活動僅僅感悟出是什么思想還不夠，還需要清楚這些數(shù)學(xué)思想的價值。像“打電話”問題，“數(shù)形結(jié)合”思想對學(xué)生建構(gòu)數(shù)列模型并不利好。首先不容易畫圖，且非常容易畫漏;其次線太多，線的長短不一，錯綜復(fù)雜;最后圖畫成后，學(xué)生往往容易混淆“新增的人數(shù)”與“已經(jīng)通知的總?cè)藬?shù)”。學(xué)生在實踐探索過程后，教師要引導(dǎo)學(xué)生將規(guī)律和方法內(nèi)化為活動經(jīng)驗，并按照“模式”重復(fù)運(yùn)用這種經(jīng)驗。如新冠肺炎，一個傳代間隔內(nèi)1個人感染1個人，變成2個感染者（1×2）;下一個傳代間隔，就變成了4個感染者（2×2）;再往后，依次是2×2×2、2×2×2×2……即2n。

對數(shù)學(xué)思想的價值感悟，除了質(zhì)疑它的優(yōu)劣外，還需將它們歸類，找到共性與個性。如 “打電話”問題、“漢諾塔”問題及“找次品”問題有什么共同的地方？它們建立的數(shù)列模型還適合在哪些情況下使用等。通過感悟，找到它們的共性和個性，提高學(xué)生對知識的整體性把握和本原性認(rèn)知。

總之，數(shù)學(xué)離不開多思喜悟，教師更是學(xué)生多思喜悟的領(lǐng)路人，這是深度教學(xué)的根本，更是高品質(zhì)數(shù)學(xué)教育的需求。

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（四川省南充市儀隴縣新政鎮(zhèn)小學(xué)校? ?637676）