借助韋恩圖直觀理解事件的獨立性

程明春

[摘? 要] 事件的獨立性是一個相對抽象的概念，文章借助韋恩圖直觀分析事件獨立性的本質(zhì)，并進一步分析互斥事件與獨立事件的關(guān)系，以及兩兩獨立與相互獨立的區(qū)別.

[關(guān)鍵詞] 獨立事件;韋恩圖;直觀想象

在概率的學(xué)習中，如何判斷和理解事件的獨立性是一個難點.部分情況可以憑直覺去判斷[1]，大多數(shù)時候則需要用概率關(guān)系去判斷. 但因為概率關(guān)系較抽象，使得學(xué)生對事件獨立性的理解不夠深刻，甚至出現(xiàn)了錯誤. 本文借助韋恩圖，讓事件獨立性直觀地呈現(xiàn)出來，并借此去分析互斥事件與對立事件的關(guān)系，以及相互獨立與兩兩獨立的區(qū)別.

相互獨立事件

定義[2]：對任意兩個事件A與B，如果P（AB）=P（A）P（B）成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.

所以事件A與B相互獨立？圳P（AB）=P（A）P（B）.

相互獨立事件與互斥事件的關(guān)系

命題1：對于事件A與B，若P（A）>0，P（B）>0，則有：（1）若A與B獨立，則A與B不互斥;（2）若A與B互斥，則A與B不獨立.

下面我們思考：如果事件A與B不互斥，那么A與B獨立嗎？

對立事件的兩個易錯點

1. 將互斥事件理解為獨立事件

例1 一個袋子中有標號為1，2，3，4的四個球，除標號外沒有其他差異. 從中摸取一個球，設(shè)事件A=“摸到1號球”，B=“摸到2號球”. 試分析A與B是否獨立.

解析：容易錯誤地認為，在韋恩圖（圖2）中，表示事件A與事件B的區(qū)域不相交，故覺得它們是獨立的. 錯因在于：A與B在韋恩圖中不相交，描述的是在一次試驗中A與B不能同時發(fā)生，即A與B是互斥關(guān)系;而A與B獨立，描述的是A的發(fā)生與否不影響B(tài)發(fā)生的概率. 在該例中，若A發(fā)生，則B必然不發(fā)生，即A的發(fā)生會影響B(tài)發(fā)生的概率，所以A與B不獨立.

2. 將兩個事件看成兩個試驗

例2 一個袋子中有標號為1，2，3，4的四個球，除標號外沒有其他差異. 從中有放回地摸球兩次，設(shè)事件A=“第一次摸到1號球”，B=“第二次摸到2號球”，試分析事件A與B的關(guān)系.

事件A，B，C兩兩獨立與P（ABC）=P（A）P（B）P（C）的關(guān)系

教材中提到：當三個事件A，B，C兩兩獨立時，等式P（ABC）=P（A）P（B）P（C）一般不成立.用以下兩個例子來說明該結(jié)論.

通過上面兩個例子，可以看出事件A，B，C兩兩獨立與P（ABC）=P（A）P（B）P（C）沒有蘊含關(guān)系. 下面結(jié)合韋恩圖給予一種直觀解釋.

因為事件A與B獨立時，P（ABC）=P（AB）P（CAB）=P（A）P（B）P（CAB），故P（ABC）=P（A）P（B）P（C）等價于P（C）=P（CAB）=P（ABCAB），即得如下結(jié)論：

命題3：當P（A）>0，P（B）>0，P（C）>0時，若事件A，B，C兩兩獨立，則P（ABC）=P（A）P（B）P（C）等價于P（C）=P（CAB），等價于事件C與AB獨立，等價于事件C在樣本空間Ω中的概率與事件ABC在樣本空間AB中的概率相等.

一般地，事件A，B，C兩兩獨立是指P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C），P（AC）=P（A）P（C）;事件A，B，C相互獨立是指A，B，C兩兩獨立，且P（ABC）=P（A）P（B）P（C）. 從上面的例子可以看出，三個事件兩兩獨立不能推出它們是相互獨立的.

數(shù)學(xué)上有很多較為抽象的概念，通過某種工具或者某種方法讓其更直觀地表達出來，有利于降低初學(xué)者學(xué)習概念的難度，有利于初學(xué)者理解概念的含義和本質(zhì)，提高其學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣.

參考文獻：

[1]? 金天壽. 對事件獨立性的再認識[J]. 數(shù)學(xué)通報，2012，51（03）：24-26.

[2]? 人民教育出版社課程教材研究所.普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2019.