對數(shù)列錯位相減法求和的探討

秦文波 劉紅梅

[關鍵詞] 數(shù)列求和;錯位相減法;差比數(shù)列;多項乘比數(shù)列

推導等比數(shù)列前n項和公式時，幾乎所有高中數(shù)學新教材（2019年及以后出版的）都會介紹錯位相減法，但是，同老教材一樣，新教材并沒有對錯位相減法作更深入的介紹，這在某種程度上給許多師生帶來了一些認知上的偏差. 下面，筆者結合自己開展的專項教研活動，就數(shù)列錯位相減法求和中一些師生關注的問題作簡要探討.

約定

為了敘述方便，本文有以下兩點約定：

（1）將“一個非零等差數(shù)列與一個公比不為1的等比數(shù)列對應項之積構成的數(shù)列”簡稱為“差比數(shù)列”.

探討

探討1：是不是只有差比數(shù)列才能用錯位相減法求得前n項和？

因此，錯位相減法并非差比數(shù)列的專屬求和方法，某些非差比數(shù)列也可用錯位相減法求和.

探討3：用錯位相減法求和時是不是一定要乘公比？

由探討1可知，用錯位相減法求差比數(shù)列的前n項和時，第一步是等式兩邊同“乘公比”，其目的是在“錯位”后“對位”，而“對位”是為了整體“并項”，“并項”后就可以借助等比數(shù)列的求和公式完成差比數(shù)列求和. 因此，“乘公比”是非常重要的操作手段. 下面探討“乘其他實數(shù)”的情況.

因此，用錯位相減法求和時，可以在和式兩邊乘不是公比且不等于1的非零實數(shù)，只不過要多用一次錯位相減法. 所以，乘公比并非錯位相減法求和的必然要求，只是與乘其他實數(shù)相比，乘公比更簡單.

結語

一般地，每一種數(shù)學運算方法都有其特定的運算對象和運算規(guī)則，錯位相減法也不例外. 對運算對象的深入理解和運算規(guī)則的牢固掌握是使用運算方法進行準確運算的前提，每一種運算方法的教學都應在這兩方面深入思考、下足功夫，只有這樣，才能幫助學生形成正確的認知結構. 前述可知，差比數(shù)列的前n項和雖然是錯位相減法基本的運算對象，但教師不能將其“窄化”于此;乘公比雖然是錯位相減法最佳的處理方式，但教師不能不講理由地生搬硬套，并且給學生傳達錯誤的觀念.