培養(yǎng)抽象能力必須經(jīng)歷兩個(gè)過(guò)程

顧祥芳，杜育林

摘要：抽象能力是初中階段數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，主要是指通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法的能力。抽象能力是在過(guò)程中形成和發(fā)展起來(lái)的，這個(gè)過(guò)程主要指數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程和應(yīng)用過(guò)程。其中，數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程主要包括數(shù)學(xué)概念的建立過(guò)程和數(shù)學(xué)公式、運(yùn)算法則、圖形性質(zhì)等數(shù)學(xué)規(guī)律的探究過(guò)程。

關(guān)鍵詞：抽象能力;數(shù)學(xué)知識(shí);形成過(guò)程;應(yīng)用過(guò)程

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)”）指出，抽象能力是初中階段數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，并對(duì)抽象能力做了進(jìn)一步解釋?zhuān)骸俺橄竽芰χ饕侵竿ㄟ^(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法的能力?！毙抡n標(biāo)中共提及“抽象”60余次，可見(jiàn)新課標(biāo)對(duì)于抽象能力培養(yǎng)的重視程度。我們認(rèn)為，抽象能力是在過(guò)程中形成和發(fā)展起來(lái)的，而這樣的過(guò)程主要包括數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程和應(yīng)用過(guò)程。

一、數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程

這里的數(shù)學(xué)知識(shí)泛指數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式、運(yùn)算法則、圖形性質(zhì)等。其中，數(shù)學(xué)概念是重要的基礎(chǔ)知識(shí)，是學(xué)生探究學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式、運(yùn)算法則、圖形性質(zhì)等知識(shí)（我們稱(chēng)之為“數(shù)學(xué)規(guī)律”）的基礎(chǔ)。所以，數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程主要包括數(shù)學(xué)概念的建立過(guò)程和數(shù)學(xué)規(guī)律的探究過(guò)程。

（一）數(shù)學(xué)概念的建立過(guò)程

數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式。決定數(shù)學(xué)教學(xué)效果的首要因素、基礎(chǔ)因素和貫穿始終的因素都是“概念要明確”。基于培養(yǎng)學(xué)生抽象能力的視角，可以把數(shù)學(xué)概念的建立過(guò)程分為“問(wèn)題情境—?dú)w納特點(diǎn)—概括本質(zhì)”三個(gè)階段。

例如，“一元二次方程”概念的建立過(guò)程：

首先，創(chuàng)設(shè)如下問(wèn)題情境：

（1）某產(chǎn)品原來(lái)每件售價(jià)為2元，經(jīng)過(guò)兩次漲價(jià)后每件售價(jià)為3元。設(shè)該產(chǎn)品平均每次的漲價(jià)率為a，根據(jù)問(wèn)題中的等量關(guān)系，可列出方程：____________________________。

（2）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小3，這個(gè)兩位數(shù)比個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之積的3倍小10。如果設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為x，可列出方程：____________________________。

（3）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三。乙東行，甲南行十步而斜東北，與乙會(huì)。問(wèn)：甲乙行幾何？”意思是：“甲、乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度是7，乙的速度是3。乙向東行走，甲向南走了10步后向東北行走，與乙相遇。問(wèn)：相遇時(shí)，甲、乙分別走了多少？”設(shè)他們相遇時(shí)所用的時(shí)間為t，則相遇時(shí)甲共走了____________________________，乙共走了____________________________;為了求出相遇時(shí)，甲、乙分別走了多少，可列出方程：____________________________。

[設(shè)計(jì)意圖：為了讓學(xué)生“能根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境理解方程的意義”，并且為“抽象—概括”能力的形成提供基礎(chǔ)素材，按照新課標(biāo)提出的“現(xiàn)實(shí)性”要求，設(shè)計(jì)了這三個(gè)問(wèn)題。問(wèn)題（1）與學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)密切相關(guān)，問(wèn)題（2）是基于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”而確定的，問(wèn)題（3）是從數(shù)學(xué)史實(shí)出發(fā)選取的。對(duì)于問(wèn)題（1）和（2），學(xué)生通過(guò)分析問(wèn)題中的已知量、未知量，以及已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，不難列出方程。問(wèn)題（3）是求甲、乙分別走了多少路程，設(shè)相遇的時(shí)間為t，這樣只要求出t，就不難得到甲、乙分別走的路程。問(wèn)題（3）的解答過(guò)程體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想，同時(shí)可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的熏陶教育。]

接著，引導(dǎo)學(xué)生歸納特點(diǎn)：

觀察下面三個(gè)方程，說(shuō)出它們的特點(diǎn)。①2a2+4a-1=0，②3x2-2x-40=0，③2t2-7t=0。

[設(shè)計(jì)意圖：“抽象是從許多事物中舍棄個(gè)別的、非本質(zhì)的屬性，得到共同的、本質(zhì)的屬性的思維過(guò)程，是形成概念的必要手段?！睘榱嗽凇耙辉畏匠獭备拍罱⒌倪^(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、思考發(fā)現(xiàn)、抽象、歸納等能力，設(shè)計(jì)了這一問(wèn)題。學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察、思考，會(huì)得到三個(gè)方程的諸多特點(diǎn)，如：（1）都含有未知數(shù);（2）表示未知數(shù)的字母的含義不同——產(chǎn)品的漲價(jià)率，個(gè)位上的數(shù)字，甲、乙相遇所用的時(shí)間;（3）方程左邊的項(xiàng)數(shù)不一樣，依次為三項(xiàng)、三項(xiàng)、兩項(xiàng);（4）最高項(xiàng)的次數(shù)都是2;等等。]

最后，引導(dǎo)學(xué)生概括本質(zhì)：這三個(gè)方程的本質(zhì)特征是什么。

[設(shè)計(jì)意圖：任何事物都有質(zhì)和形兩個(gè)方面，“質(zhì)”是一個(gè)事物成為它自身并區(qū)別于另一個(gè)事物的內(nèi)在規(guī)定性，是事物存在的根據(jù)，是事物的根本性質(zhì);“形”則是外在的表現(xiàn)形式。概念教學(xué)，就是要引領(lǐng)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象抓本質(zhì)。學(xué)生在“歸納特點(diǎn)”環(huán)節(jié)得到的這些特征，既有本質(zhì)的特征，也有非本質(zhì)的特征，需要剔除非本質(zhì)的特征，保留本質(zhì)的特征。這個(gè)“剔除—保留”的過(guò)程本質(zhì)上就是一個(gè)“抽象—概括”的過(guò)程。在歸納的基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)學(xué)生概括出一元二次方程的本質(zhì)特征，逐步形成透過(guò)現(xiàn)象抓取事物本質(zhì)特征的能力，發(fā)展抽象能力。]

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)下，學(xué)生不僅能掌握一元二次方程的概念，還能感受和領(lǐng)悟到隱含于概念形成過(guò)程中的數(shù)學(xué)思想和方法，體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，更重要的是，發(fā)展了抽象能力。數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中很多數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，教師都可以帶領(lǐng)學(xué)生在這樣的過(guò)程中建立數(shù)學(xué)概念、培養(yǎng)抽象能力。

事實(shí)上，圖形與幾何領(lǐng)域中的一些數(shù)學(xué)概念，如平行四邊形、正多邊形等，實(shí)際上也是經(jīng)歷“問(wèn)題情境—?dú)w納特點(diǎn)—概括本質(zhì)”三個(gè)階段而建立起來(lái)的。教學(xué)時(shí)，教師可以給出幾個(gè)圖形，引導(dǎo)學(xué)生在觀察圖形特征的基礎(chǔ)上通過(guò)數(shù)學(xué)思考形成感性認(rèn)識(shí)，然后對(duì)圖形進(jìn)行分析，并抽象概括出圖形的本質(zhì)，最后給出規(guī)范的數(shù)學(xué)定義。

（二）數(shù)學(xué)規(guī)律的探究過(guò)程

在數(shù)學(xué)規(guī)律的教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)具體數(shù)學(xué)規(guī)律的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)能讓學(xué)生經(jīng)歷抽象過(guò)程的系列問(wèn)題。學(xué)生在思考、探索這些問(wèn)題的過(guò)程中，既能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，又能培養(yǎng)抽象能力。

例如，“軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)”的探究過(guò)程：

1.把一張紙片對(duì)折（如圖1①所示），扎一個(gè)小孔（如圖1②所示）;然后展開(kāi)鋪平，記得到的兩個(gè)小孔為點(diǎn)A與A′，折痕為MN（如圖1③所示）;連接AA′交MN于點(diǎn)O（如圖1④所示）。

2.如果將紙片沿MN重新折疊，線(xiàn)段OA與OA′有怎樣的大小關(guān)系？線(xiàn)段AA′與直線(xiàn)MN有怎樣的位置關(guān)系？說(shuō)明理由。

3.把一張紙對(duì)折后扎出三個(gè)不在同一條直線(xiàn)上的小孔，把紙片展開(kāi)鋪平，把得到的三組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記為A與A′、B與B′、C與C′，折痕記為MN。分別連接AB、BC、CA、A′B′、B′C′、C′A′，在△ABC的一條邊上任取一點(diǎn)D（如圖2所示），你能說(shuō)出與點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)MN成軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)D′的位置嗎？用扎孔的方法驗(yàn)證你的結(jié)論。

4.連接DD′，交MN于點(diǎn)P，線(xiàn)段DD′與直線(xiàn)MN有怎樣的位置關(guān)系？說(shuō)明理由。

[設(shè)計(jì)意圖：整個(gè)探究由四個(gè)活動(dòng)組成，按由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由一個(gè)點(diǎn)到圖形上的一般點(diǎn)的順序設(shè)計(jì)。對(duì)于探究活動(dòng)1、2，首先讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A與A′關(guān)于直線(xiàn)MN對(duì)稱(chēng)的關(guān)系，并猜測(cè)出OA=OA′，AA′⊥MN;然后引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考和合作交流，說(shuō)明以上猜測(cè)是合理的。這一過(guò)程既要運(yùn)用合情推理，也包含演繹推理。探究活動(dòng)3旨在讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作，理解用折疊、扎孔的方法展開(kāi)后得到的△ABC與△A′B′C′關(guān)于折痕MN成軸對(duì)稱(chēng)。D是△ABC邊上的任意一點(diǎn)，應(yīng)讓學(xué)生利用合情推理，感悟點(diǎn)D關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的位置。在圖2中，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，其關(guān)于直線(xiàn)MN成軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)D′應(yīng)該在線(xiàn)段B′C′上。探究活動(dòng)4意在把結(jié)論推廣到成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形的一般情況，從而概括出軸對(duì)稱(chēng)的基本性質(zhì)。]

事實(shí)上，大部分?jǐn)?shù)學(xué)規(guī)律都可以讓學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程中自主發(fā)現(xiàn)。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，不僅能讓學(xué)生探究得到數(shù)學(xué)規(guī)律，而且有利于學(xué)生抽象能力、概況能力、語(yǔ)言表達(dá)能力等多種素養(yǎng)的發(fā)展與提升。

二、數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程

新課標(biāo)在“教材編寫(xiě)建議”中提出，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，（應(yīng)）適當(dāng)體現(xiàn)“問(wèn)題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的過(guò)程。這樣的過(guò)程，一方面能幫助學(xué)生更有效地理解知識(shí)與方法，另一方面，有助于學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，鍛煉解決問(wèn)題的能力。這樣的過(guò)程，最典型的案例莫過(guò)于歐拉解決“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”。我們一線(xiàn)教師即使做不出如此經(jīng)典的案例，也應(yīng)積極探索。

例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)了“二次函數(shù)的性質(zhì)”后，可以讓學(xué)生通過(guò)解答類(lèi)似如下的“圖形最大面積”問(wèn)題，來(lái)體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的抽象（建模）能力。

用長(zhǎng)度為20 m的金屬材料制成如圖3所示的金屬框，下部為矩形，上部為等腰直角三角形。當(dāng)該金屬框圍成的圖形面積最大時(shí)，圖形中矩形的相鄰兩邊長(zhǎng)各為多少？請(qǐng)求出金屬框圍成的圖形的最大面積。

解答本題用到的知識(shí)主要有等腰三角形和矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)的解析式及性質(zhì)等。初中階段，求最大（?。┲档膯?wèn)題常利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答。解決本題的關(guān)鍵是正確確定圖形的面積與矩形長(zhǎng)或?qū)捴g的函數(shù)關(guān)系式。比如，可設(shè)矩形與等腰直角三角形的公共邊長(zhǎng)為2x m，則有圖形的面積S=2x（10-2x-2x）+x2=（1-4-22）x2+20x。

對(duì)此，學(xué)生解答本題時(shí)有兩個(gè)地方容易出錯(cuò)：

一是確定自變量x的取值范圍。教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生這樣推導(dǎo)：因?yàn)榫匦蜗噜忂呴L(zhǎng)為10-（2+2）x，而邊長(zhǎng)是正數(shù)，所以10-（2+2）x>0，解得x<10-52。

二是判斷x=-b2a=30-202是否在自變量的取值范圍內(nèi)，即判斷30-202是否小于10-52。教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生這樣分析：要證30-202<10-52，根據(jù)不等式的性質(zhì)，即要證20<152，即要證400<450，這顯然成立。

從本題的解答過(guò)程看，從求“金屬框圍成圖形的面積”問(wèn)題，抽象得到“二次函數(shù)”模型是最為關(guān)鍵的一步。教師引導(dǎo)學(xué)生得到這個(gè)模型的過(guò)程，就是學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，也是學(xué)生抽象能力發(fā)展的過(guò)程。

數(shù)學(xué)教育的根本目的在于讓學(xué)生會(huì)抽象（能把握事物的本質(zhì)），會(huì)推理（能理清事物的關(guān)系），會(huì)建模（能發(fā)現(xiàn)事物中的規(guī)律），從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在數(shù)學(xué)知識(shí)形成以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，教師都要設(shè)法帶領(lǐng)學(xué)生充分地經(jīng)歷，透過(guò)現(xiàn)象，看到本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。

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