數(shù)學解題教學：用一般思路引領具體操作

張昆，王穎超

摘要：以一道有一定難度的數(shù)列不等式高考題為例，說明：在數(shù)學解題教學中，教師應通過適當?shù)匿亯|，啟發(fā)學生把握問題的本質(zhì)特征，萌生具有一般性（概括性）的解題思路（基本想法），引領具體的解題操作。從解題疑難的角度看，就是要以一般的解題思路引領具體的解題操作為主導，辯證處理“思路性疑難”與“操作性疑難”的關系，幫助學生實現(xiàn)突破。

關鍵詞：解題教學;問題本質(zhì);解題思路;數(shù)列不等式問題

眾所周知，解題教學是數(shù)學教學的一個重要板塊，然而有效的數(shù)學解題教學并不是一件可以輕松做到的事情。尤其是對一些有一定難度的題目，教師常常也需要經(jīng)過一番思考與探索（甚至借助靈感頓悟），才能獲得正確乃至“優(yōu)美”的解題思路。更重要的是，教師還要考慮如何在相對有限的教學時間內(nèi)，引導學生自己領悟解題思路，而不是直接告知（否則，學生就會出現(xiàn)“懂而不會”的現(xiàn)象）。對此，我們認為，教師應通過適當?shù)匿亯|，啟發(fā)學生把握問題的本質(zhì)特征，萌生具有一般性（概括性）的解題思路（基本想法），引領具體的解題操作。下面，從一道有一定難度的數(shù)列不等式高考題的解題教學出發(fā)，談談我們的認識。

一、一道數(shù)列不等式高考題的解題教學

（一）試題解法的思考與探索

2019年高考數(shù)學浙江卷第20題如下：

設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3=4，a4=S3。數(shù)列{bn}滿足：對每個n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比數(shù)列。

（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式;

（2）記cn=an2bn，n∈N*，證明：c1+c2+…+cn-1+cn<2n，n∈N*。

本題第（1）問比較簡單，用基本量法可以求出an=2（n-1），結合等差數(shù)列的前n項和公式，用方程方法可以求出bn=n（n+1）。

第（2）問屬于高考常見（常作為壓軸題或倒數(shù)第二題的最后一問）的數(shù)列不等式問題。對于該問，在第（1）問的基礎上，求出cn=2（n-1）2n（n+1）=n-1n（n+1）很容易，但是證明c1+c2+…+cn-1+cn<2n（記為不等式①）有一定的難度。

在思考與探索的過程中，基于“由數(shù)列通項求前n項和的累加法（Sn=a1+a2+…+an）和由數(shù)列前n項和求通項的逐差法（an=Sn-Sn-1）是互逆的過程，因而，求數(shù)列前n項和的根本方法是裂項相消[Sn=S1+（S2-S1）+…+（Sn-Sn-1）]，即由逐差的結果倒推逐差的過程”（更本質(zhì)地看，數(shù)列是特殊的函數(shù)，累加就是積分求原函數(shù)，逐差就是微分求導函數(shù)）的認識，我們得到了讓不等號兩邊對等（符合對稱美的觀念），即把左邊合起來變成一項或把右邊拆開來變成n項的證明思路。進而，采用逐差法把右邊拆開來變成n項，完成證明。

這是一種基于對數(shù)列求和本質(zhì)的認識的解題思路，可以用來引領很多同類問題的解決。比如2014年高考數(shù)學全國Ⅱ理科卷第21題：

已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1。

（1）證明數(shù)列an+12是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式;

（2）證明1a1+1a2+1a3+…+1an<32。

該題第（2）問也可通過讓兩邊對等的思路，把右邊的常數(shù)32拆成等比數(shù)列13n-1的前n項和來解決——其實，32等于該數(shù)列前n項和的極限，不過，這里證明的是不等式，所以可以適當放縮。

（二）解題教學的設計與實施

很多學生的數(shù)學理解不夠深入，解題經(jīng)驗不夠豐富（反思提煉自然不足），因此，探索此類問題的解決時，可能很難萌生讓兩邊對等這樣的思路。特別是，不等式①相對復雜，學生在探索其證明時，會受到較多因素的影響，產(chǎn)生思維的“浩蕩洪流”，而看不到問題的本質(zhì)（抓不住主要矛盾），也就萌生不了上述解題思路。

因此，在教學中，教師讓學生先證明一個相對簡單的不等式（作為鋪墊）：122+132+142+…+1（n-1）2+1n2

因此，教師引導學生觀察所給不等式的結構特征，從數(shù)列求和的本質(zhì)上思考，萌生合適的解題思路，尋找構造裂項式子的認識來源。對此，兩位學生先后表達的想法如下：

生根據(jù)所給不等式的結構特征，我發(fā)現(xiàn)，不等號的左邊是某一數(shù)列的前n-1項和，而右邊只有唯一的一項。我覺得，不等號兩邊的代數(shù)式應該具有對等的形式。因此，如果能夠?qū)⒉坏忍栕筮呥@個數(shù)列的前n-1項和計算出來，并將計算結果與不等號右邊的n-1n進行大小比較，就能解決問題了。但十分可惜的是，我想不到怎樣將不等號左邊這個數(shù)列的前n-1項和計算出來。

生我也覺得，不等號兩邊的代數(shù)式應該具有對等的形式。我進一步的想法是：既然不等號左邊這個數(shù)列的前n-1項和無法經(jīng)由具體運算轉化為一個簡單的式子，那么可否將不等號右邊這個簡單的式子轉化為某個數(shù)列前n-1項和的形式？經(jīng)過實踐發(fā)現(xiàn)，這是可以辦到的。所給不等式左邊為∑nk=21k2，n≥2，則右邊可設為∑nk=2ak，n≥2。由∑nk=2ak=n-1n，n≥2，可得an=∑nk=2ak-∑n-1k=2ak =n-1n-n-2n-1=1（n-1）n，n≥3。而a2=∑2k=2ak=2-12=12，故an=1（n-1）n，n≥2。因此，∑nk=2ak=∑nk=21（k-1）k，n≥2。因此，只需要證∑nk=21k2<∑nk=21（k-1）k，n≥2。脫去不等號兩邊的連加號，只需要證1k2<1（k-1）k，k≥2。而該不等式顯然成立。

生（恍然大悟）原來左邊各項為了裂項而放縮得到的式子1（n-1）n，就是右邊轉化為某個數(shù)列各項和的形式而得到的通項。

這里，因為要證的不等式較簡單，在教師的引導下，學生基于對稱美的觀念，萌生了使兩邊對等的解題思路。由此，經(jīng)過一番受挫（受“求簡”思維定式的消極影響）調(diào)整，明確了將不等式右邊的一項轉化為某個數(shù)列前n-1項和的形式的解題思路，引發(fā)了一系列合理的解題操作，最終解決了問題。

證明了這個相對簡單的不等式，學生的認知結構中就有了“合適的根據(jù)地”。在此基礎上，教師引導學生通過比較發(fā)現(xiàn)所給不等式結構特征的相似性，從而自然地將使兩邊對等的解題思路遷移到不等式①的證明中，促進解題思路的定型。對此，兩位學生先后表達的想法如下：

生受到前一個不等式證明思路的啟發(fā)，我想將不等式①中不等號右邊的2n轉化為某個數(shù)列前n項和的形式。設∑nk=1ak=2n，可得an=2（n-n-1）=2n+n-1，n≥2。而a1=∑1k=1ak=21=2，故an=2n+n-1，即∑nk=1ak=∑nk=12k+k-1。因此，只需要證∑nk=1k-1k（k+1）<∑nk=12k+k-1。脫去不等號兩邊的連加號，只需要證k-1k（k+1）<2k+k-1?？上В覜]有證出來。

生兩邊平方，只需要證k-1k（k+1）<42k-1+2k（k-1）。去分母并化簡，只需要證2k2-3k+1+2kk（k-1）-2k（k-1）<4k（k+1）。又因為2kk（k-1）<2k2，-2k（k-1）<-2（k-1），所以2k2-3k+1+2k·k（k-1）-2k（k-1）<2k2-3k+1+ 2k2-2k+2=4k2-5k+3，所以只需要證4k2-5k+3<4k（k+1）?；?，只需要證3<9k。而這顯然成立。

二、從解題疑難的角度反思數(shù)學解題教學

從解題疑難的角度反思，上述數(shù)學解題教學案例能給我們這樣的啟示：解決稍微復雜一些的數(shù)學問題時，存在兩種不同性質(zhì)的疑難。其一，把握問題的本質(zhì)特征，萌生合適的解題思路的疑難，可以稱為“思路性疑難”或“觀念性疑難”;其二，在合適的解題思路的引領下，形成利用具體的數(shù)學知識、方法進行的解題操作，有時盡管解題思路是合適的，但在具體的解題操作過程中還是會產(chǎn)生困難，可以稱為“操作性疑難”或“技術性疑難”。必須突破這兩種不同性質(zhì)的疑難，才能解決問題。

在“思路性疑難”與“操作性疑難”的關系中，“思路性疑難”處于矛盾的主要方面，決定了“操作性疑難”突破的可行性與難易程度;與此同時，“操作性疑難”反作用于“思路性疑難”，因為“操作性疑難”能否突破可以用來判斷“思路性疑難”是否真正突破了。如果能突破，那么問題已經(jīng)得到解決;如果不能突破，那么需要檢視問題所給的信息特征，重新萌生更為合適的解題思路。因此，在數(shù)學解題教學中，教師要以一般的解題思路引領具體的解題操作為主導，辯證處理“思路性疑難”與“操作性疑難”的關系，幫助學生實現(xiàn)突破。

一方面，要特別注意幫助學生突破“思路性疑難”，因為“思路性疑難”是學生創(chuàng)造性地解決數(shù)學問題的起始處。數(shù)學創(chuàng)新的緊要之處就是一般思路的創(chuàng)新。有了新的一般思路所形成的操作指令，才能在具體操作活動中產(chǎn)生可以促使學生萌發(fā)新的操作行為的方法。而具有個性化特點的操作方法定型后，可以外化為數(shù)學學習共同體都可以使用的方法。這是“思路性疑難”決定“操作性疑難”的具體體現(xiàn)之一。教師一定不能直接提供解題思路，讓學生嚴格執(zhí)行。這會抑制學生的創(chuàng)造力，使其今后的解題之路走不長遠。

另一方面，“操作性疑難”可以通過所謂的“記問之學”（《幼學瓊林·文事》）加以突破。換言之，學生可以通過反復訓練來獲得相應的操作技能與技巧，從而應對具體的“操作性疑難”。例如，在證明不等式①的教學中，教師引導學生獲得解題思路，幫助學生實現(xiàn)解題目標后，可以再經(jīng)由4—5個具有相似不等式結構的例子，對學生進行強化訓練。