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    溫故知新,提升復(fù)習(xí)課的效率

    2022-05-30 10:48:04范雷馮姣
    關(guān)鍵詞:溫故知新數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)三角函數(shù)

    范雷 馮姣

    [摘 ?要] 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課既要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,鞏固已學(xué)知識(shí),又要注意前后聯(lián)系,溫故知新,構(gòu)建知識(shí)體系. 在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中,教師要發(fā)揮創(chuàng)意,用新穎的題型引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究,不斷提升學(xué)生的思維水平.

    [關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí);三角函數(shù);溫故知新

    數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課既要做到回頭望,對(duì)已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行鞏固復(fù)習(xí),又要在復(fù)習(xí)過程中產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí),構(gòu)建新的知識(shí)體系,產(chǎn)生新的理解. 在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中,要防止學(xué)生對(duì)學(xué)過的知識(shí)感到厭倦,在課堂上沒有積極性,因此教師要進(jìn)行精巧的設(shè)計(jì),用新穎的題型和情境吸引學(xué)生的注意力. 在復(fù)習(xí)過程中還要注意通過歸納和總結(jié),幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系,理解解題的思路和方法,提升解題能力. 下面筆者以復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)為例,談一談復(fù)習(xí)課的教學(xué)策略,如何提高復(fù)習(xí)效率.

    有效提問,有效指導(dǎo)

    復(fù)習(xí)課教學(xué)都是知識(shí)再現(xiàn),因此教師設(shè)問顯得尤為重要,“好的問題”能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,能帶給學(xué)生深刻的感悟,能促使學(xué)生不斷成長. 故教師設(shè)問不能隨意,必須有的放矢,有重點(diǎn)、有目標(biāo),能最大限度地激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲,使課堂教學(xué)的開展更加流暢自然.

    案例1 如圖1所示,在Rt△ABC中,∠ACB是直角,AB⊥CD,已知BD=2,CD=2,求AC的長度.

    師:要解決這個(gè)問題,可以通過解哪些直角三角形完成?

    生1:在Rt△BCD中,因?yàn)镃D⊥BD,BD=2,CD=2,故tanB===,所以∠B的度數(shù)為60°,所以∠A的度數(shù)為30°;在Rt△ACD中,AC==4.

    師:這是由特殊的三角函數(shù)得到的.

    生2:在Rt△BCD中,根據(jù)勾股定理可得BC=4. 在Rt△ABC中,AC=BC·tan60°=4.

    師:很好,這是由勾股定理得到的.

    生3:在Rt△ABC中,∠ACB為直角,CD垂直于AB,所以∠ADC和∠CDB相等,∠ACD和∠B相等,所以△ADC和△CDB相似,所以=,所以AC=4.

    師:很好,生3是通過相似三角形的性質(zhì)得到的.

    生4:老師,我也是通過勾股定理得到的,但是具體步驟與生2不同. 在Rt△BCD中,根據(jù)勾股定理可得BC=4. 設(shè)AC=x,則AD=,由面積法可得(+2)×2=x×4,解得AC=x=4.

    師:非常精彩. 由同學(xué)們給出的幾種方法,我們可以看到三角函數(shù)多個(gè)角度的運(yùn)用.

    在進(jìn)行定義和概念的復(fù)習(xí)時(shí),教師應(yīng)該盡量避免問題的碎片化和零散化,如復(fù)習(xí)三角函數(shù)時(shí)直接提問:“說出銳角三角函數(shù)的定義;特殊角的三角函數(shù)的定義.”這樣的問題缺少思考性,難以調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣,也不利于營造良好的課堂氛圍. 本例中,通過將三角函數(shù)知識(shí)蘊(yùn)含于題目中,使學(xué)生從多個(gè)角度觀察問題,培養(yǎng)了思維的靈活性,真正理解三角函數(shù)的定義,在輕松的氛圍中提升了學(xué)習(xí)效果.

    有效閱讀,透析本質(zhì)

    復(fù)習(xí)課教學(xué)中需要從學(xué)生已有的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境,讓學(xué)生在體驗(yàn)情境的過程中理解數(shù)量關(guān)系和變化的規(guī)律,使學(xué)生能在體驗(yàn)情境的過程中建立數(shù)學(xué)模型,將知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際問題的解決中去,加強(qiáng)方程、不等式以及三角函數(shù)等知識(shí)之間的聯(lián)系.

    案例2 如圖2所示,在廣場(chǎng)上空有一個(gè)氣球A,地面上三點(diǎn)B,C,D在同一條直線上,BC長20 m,在點(diǎn)B,C處分別測(cè)得氣球A的仰角∠ABD為45°,∠ACD為56°,求氣球A距離地面的高度AD(精確到0.1 m,tan56°≈1.483).

    師:怎樣用好三角函數(shù)知識(shí)解決這個(gè)問題呢?同學(xué)們思考一下:氣球A距離地面的高度AD可以利用哪個(gè)直角三角形求解?

    生5:可以利用Rt△ABD或Rt△ACD求解.

    師:圖中的這兩個(gè)直角三角形除了已知∠ABD=45°,∠ACD=56°外,缺少什么條件?它們之間有什么內(nèi)在的聯(lián)系?

    生6:這兩個(gè)直角三角形都缺少已知邊的條件,但是它們有一條公共的直角邊AD,我們可以設(shè)CD為x m,用x的代數(shù)式表示BD,再通過公共邊AD得到變量之間的相等關(guān)系. 即(20+x)tan45°=xtan56°,所以AD=tan56°≈61.4(m).

    師:根據(jù)生6的思路,我們需要找到固定不變的量,也就是氣球的高度,再通過三角函數(shù)求高.

    生7:可以設(shè)AD為x m,在Rt△ACD中,CD=;在Rt△ABD中,BD=. 所以-=20,解得AD≈61.4(m).

    師:這兩種方法分別從直接和間接兩個(gè)角度求解,我們的生活中也有這樣的問題嗎?接下來讓我們看看下面兩道題,能否進(jìn)行類比和轉(zhuǎn)化呢?

    題1:如圖3所示,一條小河的旁邊有一座山,從山頂?shù)腁點(diǎn)俯瞰小河的C點(diǎn)和D點(diǎn),分別得到夾角的度數(shù)為30°和45°,這條小河的寬度CD為50米. 若現(xiàn)在從山頂?shù)腁點(diǎn)拉一條筆直的纜繩AC到小河對(duì)岸的C點(diǎn),你能求出纜繩AC的長嗎?

    生8:作CD的垂線AB,且AB與CD的延長線相交于點(diǎn)B. 根據(jù)俯角的定義,可知AE與CD平行,得到∠C和∠ADB的度數(shù)分別為30°和45°,從而得到類似于案例2的問題.

    題2:某礦物探測(cè)隊(duì)探測(cè)到一幢廢墟建筑的下方點(diǎn)C處有礦物質(zhì),觀察圖4可知,在地面上探測(cè)隊(duì)挖掘了兩個(gè)探測(cè)點(diǎn)A和B,它們之間的距離為3米,A點(diǎn)處的探測(cè)線與地面形成的夾角為30°,B點(diǎn)處的探測(cè)線與地面形成的夾角為60°,試確定點(diǎn)C的深度.(參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73)

    生9:如圖4所示,本題同樣通過作輔助線進(jìn)行解決,即過點(diǎn)C作CD垂直于AB,與AB的延長線相交于點(diǎn)D,然后通過所學(xué)的相關(guān)定理轉(zhuǎn)化為上一類問題.

    在掌握所學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上,再次尋找新的問題,經(jīng)過反思和總結(jié)可以鞏固已學(xué)知識(shí),并促進(jìn)知識(shí)深化以及思維進(jìn)一步發(fā)展. 經(jīng)過習(xí)題的拓展和延伸,引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象抓住問題的本質(zhì),發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,在解題和反思中鞏固知識(shí),深化理解,學(xué)會(huì)解直角三角形的方法,提升學(xué)生的適應(yīng)能力,掌握解題技巧.

    有效探究,深入反思

    復(fù)習(xí)課教學(xué)中,教師應(yīng)基于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性,給學(xué)生充分的參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì),引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地探索和交流,掌握數(shù)學(xué)的基本技能,體會(huì)數(shù)學(xué)思想,學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)方法,積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

    案例3 根據(jù)市里對(duì)建筑的要求,建筑樓房需要保證采光時(shí)間,因此樓房之間的距離不能太小,至少要保證中午12時(shí)是有陽光照射的.

    如圖5所示,現(xiàn)在需要在一幢舊樓的正南方建一幢新樓,兩樓的距離為40 m,舊樓的一樓窗臺(tái)高1 m,根據(jù)統(tǒng)計(jì)該地冬天中午12時(shí)太陽從正南方照射的光線與水平線的最小夾角為30°,為了提高收益,需要計(jì)算新樓最高可建多少米.

    生10:在符合規(guī)定的情況下,我們可以利用三角函數(shù)求解,圖5中新樓與舊樓之間可以建構(gòu)直角三角形,保證陽光照射到一樓窗臺(tái).

    解法1 如圖6所示,過點(diǎn)F作輔助線EF垂直于AB,與AB相交于點(diǎn)E,在Rt△AEF中,AE=EF·tan30°=40×=(m),則AB=EB+AE=1+≈1+23=24(m).

    解法2 如圖7所示,AF的延長線與BC的延長線相交于點(diǎn)G,在Rt△ABG中,BG=,則CG=BG-BC=-40. 由于AB與CF平行,故△FCG和△ABG相似,因此=,即=,可以解得AB=≈24(m).

    教學(xué)要挖掘知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)涵,案例3在傳授知識(shí)的同時(shí),通過試題訓(xùn)練,并且采用一題多解的方法,鍛煉學(xué)生思維的靈活性,讓其掌握多種解題方法,深入體會(huì)數(shù)學(xué)思想和本質(zhì).

    變式練習(xí),彌補(bǔ)缺陷

    銳角三角函數(shù)的知識(shí)需要在直角三角形的基礎(chǔ)上應(yīng)用,但是在解決問題的過程中,經(jīng)常發(fā)現(xiàn)很多問題的難點(diǎn)就在于沒有現(xiàn)成的直角三角形可以利用,必須進(jìn)行構(gòu)造. 因此在銳角三角函數(shù)的教學(xué)中,構(gòu)造直角三角形與銳角三角函數(shù)進(jìn)行聯(lián)系是一個(gè)重要的教學(xué)內(nèi)容,需要通過變式練習(xí)加強(qiáng)引導(dǎo)和思考,提升學(xué)生的思維深度.

    案例4 如圖8所示,△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn),則sinA的值是多少?

    師:同樣需要用到三角函數(shù),我們?cè)鯓硬拍苷业竭@個(gè)“三角函數(shù)”,如何使用它?想要解決這個(gè)問題,先要將∠A放到直角三角形中,但觀察圖形△ABC并不是直角三角形,因此必須通過添加輔助線來構(gòu)造直角三角形,那么如何構(gòu)造這個(gè)直角三角形呢?

    生11:觀察圖9,線段AB在網(wǎng)格的對(duì)角線上,而C是格點(diǎn),過點(diǎn)C作AB的垂線CD,垂足為O,△ABC的AB邊上的高線就是線段CO,則S=×2×3=×3CO,解得CO=,AC=,所以sinA===.

    變式1:六個(gè)小正方形組成一個(gè)網(wǎng)格(如圖10所示),小正方形的邊長相同,小正方形有頂點(diǎn)A,B,C,D,AB和CD相交于點(diǎn)P,則tan∠APD的值是多少?

    生12:如圖11所示,通過對(duì)頂角相等、正方形的對(duì)角線性質(zhì)可得∠APD=∠BPF,△PBF為直角三角形. 在Rt△PBF中,可得tan∠BPF==2.

    生13:我還有其他方法,如圖12所示,首先連接AE和BE,可得Rt△AEB;由平行線的性質(zhì)、正方形的對(duì)角線性質(zhì)和同位角定理可得:在Rt△AEB中,tan∠APD=tan∠ABE==2.

    通過變式訓(xùn)練,應(yīng)用一題多變、一題多解等多種習(xí)題講評(píng)的有效方式,使得學(xué)生可以從多個(gè)角度調(diào)動(dòng)知識(shí),實(shí)現(xiàn)知識(shí)的系統(tǒng)化、網(wǎng)格化,有利于建構(gòu)知識(shí)體系,提高學(xué)習(xí)效率,實(shí)現(xiàn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí).

    綜上所述,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)思維不斷完善的過程,本課通過勾股定理、特殊角的三角函數(shù)和相似三角形等知識(shí)解決問題,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到生活中三角函數(shù)應(yīng)用的廣泛性. 在例題設(shè)計(jì)的過程中,通過有效的提問,抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)和變式訓(xùn)練等對(duì)學(xué)生所學(xué)知識(shí)加以鞏固,全方位地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,提高學(xué)生思維的能動(dòng)性,讓學(xué)生在輕松愉快的氛圍中提升學(xué)習(xí)效率.

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