精設(shè)探究 聚焦目標(biāo) 生長能力

鄭金 范明明

［摘 ?要］ 文章以一節(jié)“平行四邊形的判定（第1課時）”教學(xué)為例，在分析其中出現(xiàn)的問題的基礎(chǔ)上提出優(yōu)化建議，并在此基礎(chǔ)上談?wù)剬虒W(xué)的幾點思考.

［關(guān)鍵詞］ 問題分析；優(yōu)化建議；教學(xué)思考

2021年5月底，筆者所在學(xué)校組織了一場“青年教師教學(xué)基本功大賽”，筆者有幸受邀成為比賽的評委之一. 其中，Z教師上課的課題為“平行四邊形的判定（第一課時）”（北師大版八年級下冊第六章第二節(jié)）. 通過觀察發(fā)現(xiàn)其教學(xué)過程中存在一些問題，從而引發(fā)了筆者的思考，現(xiàn)整理成文，與同行交流.

課堂簡述

環(huán)節(jié)1：課前復(fù)習(xí)

教師引入：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)過了平行四邊形的有關(guān)知識，請大家思考：

問題1：平行四邊形的定義是什么？

問題2：平行四邊形有哪些性質(zhì)？

環(huán)節(jié)2：新課引入

教師引入：學(xué)習(xí)了平行四邊形后，小明回家用細木棒定制了一個平行四邊形. 第二天，小明拿著自己動手做的平行四邊形向同學(xué)們展示. 小輝問道：你憑什么確定這個四邊形就是平行四邊形呢？大家都困惑了……

問題3：我們可以通過什么方法判定四邊形是不是平行四邊形？（提示：可以參考等腰三角形的判定方法）

生1：可以根據(jù)平行四邊形的定義即兩組對邊是否平行來判定.

Z教師給予了該生肯定與鼓勵，并明確提出“定義法是判定一個四邊形是否為平行四邊形的一種方法”，接著給出了規(guī)范的符號語言.（教師板書略）

生2：可以用量角器測量兩組對角，看對角是否相等來判定四邊形是否為平行四邊形.

針對此回答，Z教師表示此種方法不能作為平行四邊形的判定方法，但未給出明確的理由，該生一頭霧水.

環(huán)節(jié)3：定理探究

活動1：請同學(xué)們嘗試用小棒拼出平行四邊形，觀察后猜想怎樣能拼成平行四邊形.

生3（上黑板）：如圖1所示，我猜想：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

生4（上黑板）：回答同上.

問題4：你能證明這個猜想嗎？

Z教師引導(dǎo)學(xué)生給出了詳細的證明（略），并在此基礎(chǔ)上明確提出平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形. 同時給出了規(guī)范的符號語言.（教師板書略）

例題1：如圖2所示，在四邊形ABED中，AD= BE，C為BE的中點，且AC=DE，判定四邊形ACED的形狀.

活動2：A4紙上有四條直線（如圖3所示），其中a與c平行，請同學(xué)們選擇兩根小棒與其中的兩條直線擺放在一起，使兩根小棒和兩條直線的四個端點恰好是平行四邊形的四個頂點. 觀察后猜想怎樣能拼成平行四邊形.

生4：如圖4所示，我猜想：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

問題5：怎么驗證我們的猜想？

Z教師引導(dǎo)學(xué)生給出了詳細的證明（略），并在此基礎(chǔ)上明確提出平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形. 同時給出了規(guī)范的符號語言.（教師板書略）

例題2：如圖5所示，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點. 求證：四邊形AECF是平行四邊形.

問題6：一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形嗎？能舉出反例嗎？

環(huán)節(jié)4：鞏固練習(xí)

練習(xí)1：下列條件中，不能使四邊形ABCD成為平行四邊形的是（ ?）

A. AB∥CD，AB=CD

B. AB∥CD，BC∥AD

C. AB∥CD，BC=AD

D. AB=CD，BC=AD

練習(xí)2：如圖6所示，AC∥HD∥GE，AG∥BF∥CE，則圖中平行四邊形的個數(shù)一共是（ ?）

A. 7 ?B. 8 ?C. 9 ?D. 10

練習(xí)3：如圖7所示，在四邊形ABCD中，E是CD的中點，BC=CF，若添加一個條件使四邊形ABCD是平行四邊形，則下列條件中可選擇的是（ ?）

A. AB=CD B. AD=CF

C. ∠F=∠DAE D. ∠B=∠D

練習(xí)4：如圖8所示，小明不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成四塊，為了能在商店配到一塊與原來相同的平行四邊形玻璃，他帶來了其中的兩塊碎玻璃，其編號應(yīng)該是________.

練習(xí)5：如圖9所示，△ABC是等邊三角形，P是其內(nèi)任意一點，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周長為24，則PD+PE+PF=________.

環(huán)節(jié)5：課堂小結(jié)

（1）平行四邊形的判定方法.

（2）數(shù)學(xué)思想方法：操作—觀察—猜想—驗證.

問題分析與優(yōu)化建議

問題1：在“新課引入”環(huán)節(jié)，Z教師提出了問題“我們可以通過什么方法判定四邊形是不是平行四邊形？”由于擔(dān)心學(xué)生不知道如何回答，還非常貼心地給了“提示”：可以參考等腰三角形的判定方法. 我們知道等腰三角形的判定方法有兩種，一種是從邊的角度，即有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（定義）；另一種是從角的角度，即有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）. 所以，當(dāng)Z教師給出“提示”后，學(xué)生自然也會從邊和角兩個角度去思考. 于是，從邊的角度可以想到定義，從角的角度可以想到“兩組對角相等”，這也就不難解釋生2的回答了. 筆者認為，能想到“兩組對角相等”（不管是經(jīng)過嚴格論證還是憑直觀感覺）的學(xué)生無疑是值得肯定的，因為兩組對角相等的四邊形確實是平行四邊形. 若要從“定理”的角度來看，它又不能作為判定定理，但是這種“人為的規(guī)定”又很難跟學(xué)生解釋，其結(jié)果只能以該生一頭霧水匆匆收場. 可以說，Z教師的提示具有明顯的誤導(dǎo)作用.

優(yōu)化建議：去掉“提示”，直接提問：同學(xué)們，剛才我們回憶了平行四邊形的定義及其性質(zhì)，你能從中找到判定一個四邊形是否為平行四邊形的方法嗎？

教學(xué)說明：問題指向明確，很容易得出定義法. 當(dāng)學(xué)生得出定義法后，教師還需要引導(dǎo)學(xué)生理解“定義”具有“性質(zhì)”和“判定”雙重身份，即由“平行四邊形”可以推導(dǎo)出“兩組對邊平行”；反之，由“兩組對邊平行”亦可推導(dǎo)出“平行四邊形”. 這對后面學(xué)習(xí)菱形、矩形及正方形的判定方法有遷移作用. 隨后再提問：還有別的判定方法嗎？從而引出下面的探究活動.

問題2：在活動2中，Z教師給出了四條直線（如圖3所示），讓學(xué)生選取其中的兩條直線與小棒擺放在一起，并猜想形成平行四邊形的條件. 于是，學(xué)生很自然地擺出了圖4所示的圖形，并順利得到了“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”的結(jié)論. 表面上無可非議，實際上值得商榷.若從活動目的的角度來看，此探究活動的重點在于讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并理解位置關(guān)系（平行）和數(shù)量關(guān)系（相等）之間的聯(lián)系（一組對邊）. 但Z教師的設(shè)計無意中指明了小棒擺放的位置關(guān)系，雖為學(xué)生指明了探究方向，但同時也讓學(xué)生失去了自覺思考問題、主動設(shè)計方案的機會. 此時的探究與其說是教師輔助學(xué)生“學(xué)”，不如說是學(xué)生配合教師“教”，即學(xué)生非常配合地按照教師的思路將小棒放在指定的位置上. 筆者認為，Z教師給出的四條直線的設(shè)計看似合情合理，實際上代替了學(xué)生思考，削弱了學(xué)生的探究過程，其結(jié)果是學(xué)生的自主探究浮于表面、流于形式，帶有明顯的機械性.

優(yōu)化建議：去掉四條直線，設(shè)計如下：同學(xué)們?nèi)我膺x擇兩根小棒，在桌子上隨意擺放，如果要使兩根小棒的四個端點恰好是平行四邊形的四個頂點，那么這兩根小棒需要滿足什么樣的條件呢？當(dāng)學(xué)生有了猜想后再引導(dǎo)學(xué)生證明猜想.

教學(xué)說明：學(xué)生在活動探究的過程中需要思考兩個問題，即如何選擇（選擇等長的還是不等長的）和如何擺放（平行擺放還是不平行擺放）. 具體操作時，小棒從選擇到擺放必然會經(jīng)歷從數(shù)量關(guān)系（不等長到等長）到位置關(guān)系（不平行到平行）變化的動態(tài)過程，這一過程大致如圖10所示. 當(dāng)然，這一過程也可能在頭腦中完成. 相比原來的設(shè)計，此時的探究需要學(xué)生經(jīng)歷分析和思考、設(shè)計方案和執(zhí)行方案、提出猜想和驗證猜想等一系列過程，學(xué)生的思維更具開放性，真正能體現(xiàn)自主探究的價值和意義.

問題3：Z教師設(shè)計問題6的目的在于，幫助學(xué)生理解“平行且相等”的必須是“同一組對邊”. 筆者認為這是必要的，因為這對定理中關(guān)鍵信息的“辨識”能加深理解. 但令筆者不解的是，為何沒有對前一定理（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）中是“兩組對邊”而非“兩組鄰邊”進行“辨識”？是Z教師的疏忽，還是認為沒有必要？其實，對于學(xué)生來說，理解為什么是“一組對邊平行且相等”而非“一組對邊平行、另一組對邊相等”并不難，因為大多數(shù)學(xué)生都能想到“等腰梯形”這個“鐵證”，畢竟這是他們的“老朋友”了；但對于為什么一定是“兩組對邊分別相等”而非“兩組鄰邊分別相等”，很多學(xué)生不一定能理解，畢竟不少學(xué)生的頭腦中還沒有形成“箏形”這一圖形和概念. 因此筆者認為，相比“一組對邊平行且相等”，“兩組對邊相等”更需要“辨識”. 但在Z教師的教學(xué)過程中恰恰缺少了“更需要”的環(huán)節(jié).

優(yōu)化建議：（1）在例題1后添加一個問題：定理中的“兩組對邊分別相等”能否換成“兩組鄰邊分別相等”？請說明理由. （2）在重新設(shè)計的活動2中，保留原問題6.

教學(xué)說明：教師教學(xué)時要注重將兩條定理中關(guān)鍵信息的辨識充分融入探究活動中，即教師要引導(dǎo)學(xué)生擺出“箏形”和“等腰梯形”來說明理由. 通過活動探究的形式不僅能使抽象的問題變得具體、直觀，加深對定理中關(guān)鍵信息的理解，還能有效積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

問題4：本節(jié)課涉及的判定方法有三種，但嚴格來說，定義法并不是本節(jié)課的核心內(nèi)容，本節(jié)課的教學(xué)重點應(yīng)該是后兩種判定方法. 因此，在“鞏固練習(xí)”環(huán)節(jié)應(yīng)該重點檢驗學(xué)生對后兩種判定方法的理解與掌握. 在“鞏固練習(xí)”環(huán)節(jié)，Z教師共設(shè)計了5道練習(xí)題，若從考查目的的角度來看，練習(xí)1綜合考查的是三種判定方法，練習(xí)2考查的是定義法，練習(xí)3涉及對三種判定方法的理解，但重點考查的是“一組對邊平行且相等”的判定方法，練習(xí)4考查的是定義法，練習(xí)5考查的也是定義法. 這5道練習(xí)題中竟然有3道考查的都是定義法，而本節(jié)課最核心的兩個判定方法只在練習(xí)1和練習(xí)3中有所涉及；并且，就算考查定義法，練習(xí)4和練習(xí)5考查的重點也不在此. 以練習(xí)5為例，雖然解題的過程中用到了定義法（即用定義法構(gòu)造平行四邊形），但其重點在于利用平行四邊形對邊相等的性質(zhì)對線段的長度進行轉(zhuǎn)化，也就是說，本題雖然涉及定義法，但主要考查的絕非定義法，考查的重點更傾向于平行四邊形的性質(zhì)而非判定定理，放在“平行四邊形的性質(zhì)”一課中可能更加合適. 練習(xí)4也存在類似問題.

優(yōu)化建議：保留練習(xí)1和練習(xí)3，去掉練習(xí)2、練習(xí)4和練習(xí)5，補充兩道練習(xí)題：

（1）如圖11所示，在四邊形ABCD中，∠B=∠D，AB∥CD. 求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

（2）如圖12所示，在四邊形ABCD中，AB=CD，過點A作AE⊥BD于E，過點C作CF⊥BD于F，且AE=CF. 求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

教學(xué)說明：題（1）考查的是定義法或“兩組對邊分別相等”判定定理，題（2）考查的是“兩組對邊分別相等”判定定理或“一組對邊平行且相等”判定定理. 教師要通過上述兩題充分引導(dǎo)學(xué)生用兩種方法進行證明，讓學(xué)生感受和體會到不同方法之間的區(qū)別與聯(lián)系，從而加深對平行四邊形判定方法的理解和掌握.

教學(xué)思考

1. 探究活動的設(shè)計應(yīng)促進學(xué)生自主探究

隨著課程改革的推進，探究式教學(xué)備受大家的青睞，許多教師在教學(xué)過程中嘗試設(shè)計各類各樣的探究活動. 但有學(xué)者調(diào)查發(fā)現(xiàn)，目前的數(shù)學(xué)探究活動存在許多不如意的地方，如探究的“機械性、淺表性”等［1］. Z教師設(shè)計的活動2（給出四條直線）就削弱了學(xué)生的探究過程，阻礙了學(xué)生探究思維的發(fā)展，帶有明顯的機械性和淺表性. 那么，教學(xué)中應(yīng)如何設(shè)計數(shù)學(xué)探究活動？筆者認為，數(shù)學(xué)探究活動的設(shè)計應(yīng)促進學(xué)生自主探究，具體表現(xiàn)為：要“關(guān)注數(shù)學(xué)思維方法”和“探究活動的‘內(nèi)化”［2］. 如在筆者優(yōu)化后的活動2中，學(xué)生要想完成整個探究過程，需要從思考“如何選擇木棒”和“如何擺放木棒”兩個問題開始，經(jīng)歷分析和思考、設(shè)計方案和執(zhí)行方案、提出猜想和驗證猜想等一系列過程，相比Z教師使學(xué)生自覺思考問題、主動設(shè)計方案，優(yōu)化后的設(shè)計在數(shù)學(xué)思維方法上明顯給予了更多的關(guān)注. 此外，動態(tài)的操作過程不僅讓學(xué)生積累了豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，更實現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識和探究方法的內(nèi)化. 當(dāng)然，課前設(shè)計畢竟只是一種“預(yù)案”，教學(xué)中并非一定要實現(xiàn)，因此在探究活動的設(shè)計中應(yīng)側(cè)重把握大致“輪廓”，在實際的教學(xué)操作中還需要創(chuàng)造性的教學(xué)發(fā)揮［3］.

2. 鞏固練習(xí)的設(shè)計應(yīng)聚焦課堂教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)主要有以下幾點：（1）經(jīng)歷平行四邊行判定條件的探索過程，發(fā)展合情推理能力；（2）探索并證明平行四邊形的判定定理，發(fā)展演繹推理能力；（3）利用平行四邊形的判定定理完成相關(guān)證明，進一步發(fā)展演繹推理能力；（4）在探索并證明平行四邊形判定定理及利用判定定理完成相關(guān)證明的過程中體會歸納、類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想. 課堂教學(xué)目標(biāo)既是一節(jié)課學(xué)習(xí)的起點，也是一節(jié)課學(xué)習(xí)的終點. 因此，鞏固練習(xí)的設(shè)計需要聚焦課堂教學(xué)目標(biāo)，即遵循與課堂教學(xué)目標(biāo)相一致的原則［4］. 就本節(jié)課而言，“定理探究”環(huán)節(jié)作為本節(jié)課的重點，其教學(xué)設(shè)計主要聚焦目標(biāo)（1）、目標(biāo)（2）和目標(biāo)（4），而“鞏固練習(xí)”作為對判定定理的理解和應(yīng)用環(huán)節(jié)應(yīng)該聚焦目標(biāo)（3），并在實現(xiàn)目標(biāo)（3）的基礎(chǔ)上進一步達成目標(biāo)（4）. 由于本節(jié)課涉及的判定定理是“兩組對邊分別相等”和“一組對邊平行且相等”這兩種，并不包括定義法，所以筆者優(yōu)化后的四個問題雖然也涉及對定義法的考查，但考查的重點并不在此，只是作為思路的拓展或方法的補充. 需要說明的是，筆者在優(yōu)化建議中補充的兩道題原本是在Z教師的教學(xué)計劃中的，只是由于時間不夠Z教師選擇了“跳過”，直接來到了最后一道題（即練習(xí)5）. 或許Z教師覺得練習(xí)5的難度更大，更能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力. 但遺憾的是，偏離了教學(xué)目標(biāo)的考查很難起到應(yīng)有的作用，難免使得學(xué)生“根基不穩(wěn)”，數(shù)學(xué)能力的提升更是“空中樓閣”.

3. 教學(xué)數(shù)學(xué)定理應(yīng)關(guān)注學(xué)生能力的生長

數(shù)學(xué)定理是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的前提. 初中學(xué)段中教學(xué)數(shù)學(xué)定理既是重點也是難點，因為“數(shù)學(xué)定理的教學(xué)不單純是讓學(xué)生知道和了解定理本身，更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新意識的重要途徑，定理學(xué)習(xí)的過程是學(xué)生探究學(xué)習(xí)的延續(xù)和發(fā)展，更是學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)、提升思維和發(fā)展能力的過程.”［5］因此，教學(xué)數(shù)學(xué)定理應(yīng)該在引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握數(shù)學(xué)知識和方法的基礎(chǔ)上更加關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)能力的生長. 就本節(jié)課而言，在操作（擺小棒）環(huán)節(jié)可以發(fā)展學(xué)生的動手能力、觀察能力和探究能力；在猜想環(huán)節(jié)可以發(fā)展學(xué)生的合情推理能力和歸納概括能力；在定理證明環(huán)節(jié)可以發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力和論證表達能力. 當(dāng)然，關(guān)于定理的證明還可以引導(dǎo)學(xué)生探索不同的證明思路和方法. 如證明“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”這一判定定理時，既可以轉(zhuǎn)化為定義法也可以轉(zhuǎn)化為“兩組對邊相等”判定定理進行證明. 通過對不同方法的比較和討論，不僅可以激發(fā)學(xué)生證明數(shù)學(xué)定理的興趣，還可以發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性和靈活性，進而提高學(xué)生的邏輯思維能力.

參考文獻：

［1］ 陳冬. 初中數(shù)學(xué)有效探究活動的策略研究［J］. 課程·教材·教法，2011，31（03）：55-60.

［2］ 顧繼玲，張新華. 初中數(shù)學(xué)教材探究活動設(shè)計的思考［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2012， 21（03）：63-66.

［3］ 彭祥彬，尹升. 中學(xué)數(shù)學(xué)探究性課堂教學(xué)設(shè)計的幾點思考［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2005（04）：16-17.

［4］ 徐英姿. 試析小學(xué)數(shù)學(xué)課堂練習(xí)優(yōu)化設(shè)計的策略［J］. 天津教育，2021（01）：150-151.

［5］ 袁虹. 基于核心素養(yǎng)的定理教學(xué)微課設(shè)計［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（14）：56-59.