尋根問(wèn)道 追本溯“圓”

康葉紅

戰(zhàn)國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家墨子撰寫的《墨經(jīng)》一書中記載：“圓，一中同長(zhǎng)也。”意思是：圓，只有一個(gè)圓心，由圓心到圓上各點(diǎn)的長(zhǎng)都相等。這一句話也道出了圓的本質(zhì)屬性，圓的構(gòu)成要素是圓心和半徑。圓是平面幾何中基本的圖形之一，它不僅在幾何中有重要地位，而且是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ)。

一、會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察“圓”

圓是一種美麗的圖形，具有獨(dú)特的對(duì)稱性，無(wú)論從哪個(gè)角度看，它都具有同一形狀。它既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，它的任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。垂徑定理，弦、弧、圓周角、圓心角關(guān)系定理，切線長(zhǎng)定理都是圓的對(duì)稱性的具體表現(xiàn)，可以通過(guò)圓的對(duì)稱性來(lái)研究這些內(nèi)容。

圓是研究曲線形圖形的開(kāi)端。作為一種特殊的曲線形圖形，與“直線形”圖形相比，我們還需要用動(dòng)態(tài)的眼光去研究圓。例如，在平面內(nèi)一條線段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫作圓。這是從運(yùn)動(dòng)的角度出發(fā)，對(duì)圓的形成過(guò)程作出了說(shuō)明。此外，在研究垂徑定理以及弦、弧、圓周角、圓心角關(guān)系中，大量地運(yùn)用了運(yùn)動(dòng)變化思想。因此，我們要多觀察、多操作，根據(jù)圓的對(duì)稱性來(lái)推理論證，用運(yùn)動(dòng)的眼光探究圖形在運(yùn)動(dòng)變化中的特點(diǎn)和規(guī)律，感悟圓的魅力。

二、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維去思考“圓”

圓是初中平面幾何中較為復(fù)雜的幾何圖形之一，其中包含了圓自身眾多構(gòu)成要素（圓心、半徑）和相關(guān)要素（圓心角、圓周角、弧、弦）之間的關(guān)系，其研究方法和以前研究圖形的方法有著相似之處，因此，我們可以借鑒前面研究幾何圖形的經(jīng)驗(yàn)來(lái)類比學(xué)習(xí)圓。例如，圓的對(duì)稱性所產(chǎn)生的性質(zhì)，可以參照等腰三角形的軸對(duì)稱性和平行四邊形的中心對(duì)稱性來(lái)類比研究；圓與其他圖形的位置關(guān)系，可以參照?qǐng)D形與圖形之間的位置關(guān)系來(lái)類比研究；弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式的推導(dǎo)，可以參照?qǐng)A來(lái)類比研究，感悟圖形的整體與部分之間的聯(lián)系……我們?cè)趯W(xué)習(xí)幾何圖形的過(guò)程中，也應(yīng)體會(huì)學(xué)習(xí)的方法，感悟圖形研究的途徑。

與圓的位置關(guān)系包括點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系，其研究對(duì)象、研究方法、研究?jī)?nèi)容都有很強(qiáng)的可類比性。從研究對(duì)象上來(lái)看，它們研究的都是兩個(gè)圖形間的位置關(guān)系；從研究方法上來(lái)看，都是將兩個(gè)圖形之間的關(guān)系進(jìn)行分析，從“數(shù)”“形”兩個(gè)方面進(jìn)行分析比較；從研究?jī)?nèi)容上來(lái)看，都是研究“數(shù)的刻畫”特性（兩個(gè)圖形間的距離與圓的半徑的數(shù)量關(guān)系）和“形的刻畫”特性（圖形與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)和區(qū)域分布）。

轉(zhuǎn)化思想是解決圓中問(wèn)題的常用思想方法。如，在研究垂徑定理以及弦、弧、圓周角、圓心角關(guān)系定理的過(guò)程中，大量地運(yùn)用了運(yùn)動(dòng)變化思想、轉(zhuǎn)化思想等；在解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，弦、弧、圓周角、圓心角經(jīng)?；ハ噢D(zhuǎn)化、相互利用；由于正多邊形與圓之間存在著很多內(nèi)在的聯(lián)系，涉及二者的問(wèn)題或計(jì)算也常常通過(guò)互相轉(zhuǎn)化來(lái)解決。

三、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去表達(dá)“圓”

幾何問(wèn)題通常由基本圖形構(gòu)成，掌握這些基本圖形可以更好地解決一些復(fù)雜問(wèn)題?！皩?duì)稱圖形——圓”這一章有著豐富的基本圖形（如圖1—圖6），我們只要從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形，由已知聯(lián)想可知，由未知聯(lián)想需知，由可知進(jìn)一步聯(lián)想、組合需知，問(wèn)題便可迎刃而解。

幾何學(xué)習(xí)還應(yīng)重視數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)，數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)思維交流的工具。表1以垂徑定理為例，呈現(xiàn)文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程也是數(shù)學(xué)語(yǔ)言不斷內(nèi)化、不斷形成、不斷運(yùn)用的過(guò)程。

（作者單位：江蘇省南京市致遠(yuǎn)初級(jí)中學(xué)）