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    深思考 巧轉(zhuǎn)化 重積累

    2022-05-30 10:48:04陳緩
    初中生世界·九年級(jí) 2022年10期
    關(guān)鍵詞:位線圓周角勾股定理

    陳緩

    縱觀2022年全國(guó)各地的中考數(shù)學(xué)試題,考點(diǎn)豐富、形式多樣的圓仍是各地區(qū)考查的重頭戲之一。其中,對(duì)圓的相關(guān)概念和性質(zhì)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系、圓的內(nèi)接多邊形等知識(shí)的考查頻頻出現(xiàn)。下面,本文精選2022年的部分中考題進(jìn)行剖析,以幫助同學(xué)們更好地了解圓的中考命題動(dòng)向,掌握基本解題思路和方法。

    一、圓的有關(guān)概念和性質(zhì)

    例1 (2022·四川瀘州)如圖1,AB是⊙O的直徑,OD垂直于弦AC于點(diǎn)D,DO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E。若AC=[42],DE=4,則BC的長(zhǎng)度是( )。

    A.1 B.[2] C.2 D.4

    【分析】由垂徑定理可知,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),則OD是△ABC的中位線,從而得到BC=2OD。要求OD的長(zhǎng)度,不妨設(shè)OD=x,則AO=OE=4-x,BC=2x。在Rt△AOD中,由勾股定理可得AD2+OD2=AO2,即([22])2+x2=(4-x)2,求出x的值則可以進(jìn)一步求出BC。

    解:∵OD⊥AC于點(diǎn)D,OE是半徑,

    ∴∠ODA=90°,

    AD=DC=[12]AC=[12]×[42]=[22]。

    在△ABC中,OA=OB,AD=DC,

    ∴OD是△ABC的中位線。

    ∴OD∥BC,OD=[12]BC。

    設(shè)OD=x,則AO=OE=4-x,BC=2x。

    在Rt△AOD中,∠ODA=90°,由勾股定理可得AD2+OD2=AO2。

    ∴([22])2+x2=(4-x)2,解得x=1。

    ∴BC=2x=2。

    故選C。

    【點(diǎn)評(píng)】本題巧妙地將圓與三角形的相關(guān)知識(shí)結(jié)合起來(lái),求圓中弦的長(zhǎng)度,重點(diǎn)考查垂徑定理、三角形中位線的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)。解決本題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)勾股定理列出方程,再結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)求解。

    二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系

    例2 (2022·浙江紹興)如圖2,半徑為6的⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點(diǎn)A,交邊BC于點(diǎn)C、D,∠B=90°,連接OD、AD。

    (1)若∠ACB=20°,求[AD]的長(zhǎng)(結(jié)果保留π);

    (2)求證:AD平分∠BDO。

    【分析】(1)連接OA,已知∠ACB=20°,根據(jù)圓周角定理,可得∠AOD=40°,再利用弧長(zhǎng)公式求得[AD]的長(zhǎng)。

    (2)根據(jù)AB切⊙O于點(diǎn)A,∠B=90°,可得OA∥BC,則∠OAD=∠ADB,另一方面,由OA=OD,得∠OAD=∠ODA,從而得AD平分∠BDO。

    解:(1)如圖2,連接OA。

    ∵∠ACB=20°,[AD]=[AD],

    ∴∠AOD=2∠ACB=2×20°=40°。

    ∴[AD]的長(zhǎng)為[40×π×6180]=[4π3]。

    (2)∵AB與⊙O相切于點(diǎn)A,

    ∴OA⊥AB。

    ∴∠OAB=90°。

    ∴∠OAB+∠B=90°+90°=180°。

    ∴OA∥BC。

    ∴∠ADB=∠OAD。

    ∵OA=OD,

    ∴∠OAD=∠ODA。

    ∴∠ODA=∠ADB。

    ∴AD平分∠BDO。

    【點(diǎn)評(píng)】本題是一道有關(guān)直線與圓的位置關(guān)系的問(wèn)題,主要考查弧長(zhǎng)公式、圓周角定理、切線的性質(zhì)等知識(shí)。同學(xué)們要注意:遇到切線時(shí),一般要作過(guò)切點(diǎn)的半徑,以便利用切線的性質(zhì)定理來(lái)求解。

    三、圓的內(nèi)接多邊形

    例3 (2022·江蘇常州)如圖3,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,若∠ABC=45°,AC=[2],則⊙O的半徑是 。

    【分析】如何巧妙地利用∠ABC=45°這個(gè)條件呢?連接CO并延長(zhǎng),交⊙O于點(diǎn)D,連接AD。根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等,可得∠ADC=45°,再利用直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠CAD=90°,然后在Rt△ACD中,利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出CD的長(zhǎng),從而求出⊙O的半徑。

    解:連接CO并延長(zhǎng),交⊙O于點(diǎn)D,連接AD。

    ∵[AC]=[AC],

    ∴∠ADC=∠ABC=45°。

    ∵CD是⊙O的直徑,

    ∴∠CAD=90°。

    ∴AD=AC=[2]。

    在Rt△ACD中,∠CAD=90°,由勾股定理可得CD2=AC2+AD2。

    ∴CD=[22+22]=2。

    ∴⊙O的半徑是1。

    【點(diǎn)評(píng)】本題是求三角形外接圓半徑的問(wèn)題,重點(diǎn)考查了三角形的外接圓和外心,圓周角定理及其推論,以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。解決本題的關(guān)鍵是能根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線,從而實(shí)現(xiàn)有效的轉(zhuǎn)化。

    例4 (2022·四川自貢)如圖4,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑,∠ABD=20°,則∠BCD的度數(shù)是( )。

    A.90° B.100° C.110° D.120°

    【分析】根據(jù)AB是⊙O的直徑,可以得到∠ADB=90°,再根據(jù)∠ABD=20°和直角三角形兩銳角互余,可以得到∠A的度數(shù),最后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ),即可得到∠BCD的度數(shù)。

    解:∵AB是⊙O的直徑,

    ∴∠ADB=90°。

    ∴∠A+∠ABD=90°。

    ∴∠A=90°-∠ABD=90°-20°=70°。

    ∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,

    ∴∠BCD+∠A=180°。

    ∴∠BCD=180°-∠A=180°-70°=110°。

    故選C。

    【點(diǎn)評(píng)】本題是一道圓內(nèi)接四邊形中求內(nèi)角度數(shù)的問(wèn)題,考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理的推論、直角三角形兩銳角互余等。解決本題的關(guān)鍵是能夠?qū)徢孱}意,明確角之間的數(shù)量關(guān)系。同學(xué)們可以開動(dòng)腦筋,繼續(xù)想一想不同的方法,你一定會(huì)有更多的收獲和體會(huì)。

    在近幾年各地的中考中,圓的有關(guān)性質(zhì),如垂徑定理、圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)等,一般以計(jì)算或證明的形式考查,與圓有關(guān)的應(yīng)用題、閱讀理解題仍是中考命題的熱點(diǎn)。同學(xué)們要學(xué)會(huì)不斷地總結(jié),提煉方法和經(jīng)驗(yàn),將問(wèn)題化隱為顯、化難為易,進(jìn)而巧妙地解決。

    (作者單位:江蘇省南京市致遠(yuǎn)初級(jí)中學(xué))

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