對(duì)一道高考圓錐曲線試題的推廣及證明

摘要：本文從2020年全國(guó)Ⅰ卷理科21題的一道圓錐曲線試題出發(fā)，透過(guò)題目具體數(shù)量關(guān)系探究其內(nèi)在聯(lián)系，經(jīng)過(guò)深入分析論證，形成具有普遍意義的結(jié)論，并嘗試加以證明．

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；定點(diǎn)；定直線

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）28-0010-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡(jiǎn)介：付宏祥（1976-），甘肅省定西人，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

1 問(wèn)題的提出

題目（2020年全國(guó)Ⅰ卷理科20題） 已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，AG·GB=8，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn)．

筆者在對(duì)該題探究中發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題可推廣到圓錐曲線的橢圓與雙曲線的一般情形，有如下結(jié)論：

結(jié)論1已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)，P為直線x=ka（k>0且k≠1）上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．則直線CD過(guò)定點(diǎn)

Q（ak，0）．

結(jié)論2已知A，B分別為雙曲線E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右頂點(diǎn)，P為直線x=ka（k>0且k≠1）上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為B．則直線CD過(guò)定點(diǎn)Q（ak，0）.

2 結(jié)論的證明

2.1 結(jié)論1的證明

證明依題意有A（-a，0），B（a，0）．

如圖1，設(shè)直線x=ka與x軸交于點(diǎn)M．

①當(dāng)點(diǎn)P為點(diǎn)M時(shí)，點(diǎn)C，D分別與點(diǎn)B，A重合，此時(shí)，直線CD為x軸；

②當(dāng)點(diǎn)P為除點(diǎn)M外的任意動(dòng)點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ka，1m），則直線PA的方程為x=（k+1）may-a．

由x2a2+y2b2=1，x=（k+1）may-a， 得

［（k+1）2m2b2+1］y2-2（k+1）mb2y=0．

解得y=2（k+1）mb2（k+1）2m2b2+1，或y=0（舍去）．

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（（k+1）2m2b2-1（k+1）2m2b2+1a，2（k+1）mb2（k+1）2m2b2+1）．

同理，直線PB的方程為x=（k-1）may+a.

代入x2a2+y2b2=1中，化簡(jiǎn)整理，得

［（k-1）2m2b2+1］y2+2（k-1）mb2y=0．

解得y=-2（k-1）mb2（k-1）2m2b2+1，或y=0（舍去）．

所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為

（1-（k-1）2m2b2（k-1）2m2b2+1a，-2（k-1）mb2（k-1）2m2b2+1）．

（1）若直線CD的斜率不存在，則yC=-yD.

即2（k+1）mb2（k+1）2m2b2+1=2（k-1）mb2（k-1）2m2b2+1.

化簡(jiǎn)整理，得（k2-1）m2b2=1.

于是有m2=1（k2-1）b2．

此時(shí)直線CD的方程為x=ak，直線CD過(guò)點(diǎn)（ak，0）．

（2）若直線CD的斜率存在，則

kCD=2kmb2［（k2-1）m2b2-1］a．

故直線CD的方程為

y+2（k-1）mb2（k-1）2m2b2+1

=2kmb2［（k2-1）m2b2-1］a［x-1-（k-1）2m2b2（k-1）2m2b2+1a］

化簡(jiǎn)整理，得

y=2kmb2［（k2-1）m2b2-1］a（x-ak）．

故直線CD過(guò)定點(diǎn)（ak，0）．

綜上所述，直線CD過(guò)定點(diǎn)（ak，0）．

注（1）圓錐曲線中的橢圓為封閉曲線，直線PA，PB與橢圓一定存在兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，當(dāng)01時(shí)，存在條件（k2-1）m2b2=1，使得直線CD垂直于x軸；

（2）根據(jù)橢圓具有的對(duì)稱性質(zhì)，該結(jié)論在k<0且k≠-1時(shí)仍然成立，故將結(jié)論1可推廣到k≠0，k≠±1的任意常數(shù)結(jié)論都成立；

（3）上述2020年全國(guó)Ⅰ卷理科21題為結(jié)論1在a=3，b=1，k=2的特殊情形．

2.2 結(jié)論2的證明

證明依題意有A（-a，0），B（a，0）．

如圖2，設(shè)直線x=ka與x軸交于點(diǎn)M．

①當(dāng)點(diǎn)P為點(diǎn)M時(shí)，點(diǎn)C，D分別與點(diǎn)B，A重合，此時(shí)，直線CD為x軸；

②當(dāng)點(diǎn)P為除點(diǎn)M外的任意動(dòng)點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ka，1m），則直線PA的方程為x=（k+1）may-a．

由x2a2-y2b2=1，x=（k+1）may-a， 得

［（k+1）2m2b2-1］y2-2（k+1）mb2y=0．

當(dāng)（k+1）2m2b2-1=0時(shí)，直線PA與雙曲線E僅有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)（k+1）2m2b2-1≠0時(shí)，可解得y=2（k+1）mb2（k+1）2m2b2-1，或y=0（舍去）．

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（（k+1）2m2b2+1（k+1）2m2b2-1a，2（k+1）mb2（k+1）2m2b2-1）．

同理，直線PB的方程為

x=（k-1）may+a.

代入x2a2-y2b2=1中，化簡(jiǎn)整理，得

［（k-1）2m2b2-1］y2+2（k-1）mb2y=0．

當(dāng)（k-1）2m2b2-1=0時(shí)，直線PB與雙曲線E僅有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)（k-1）2m2b2-1≠0時(shí)，解得

y=-2（k-1）mb2（k-1）2m2b2-1，或y=0（舍去）．

所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為

（（k-1）2m2b2+11-（k-1）2m2b2a，-2（k-1）mb2（k-1）2m2b2-1）．

（1）若直線CD的斜率不存在，則yC=-yD.

即2（k+1）mb2（k+1）2m2b2-1=2（k-1）mb2（k-1）2m2b2-1.

化簡(jiǎn)整理，得（1-k2）m2b2=1.

于是有m2=1（1-k2）b2．

此時(shí)直線CD的方程為x=ak，直線CD過(guò)點(diǎn)（ak，0）．

（2）若直線CD的斜率存在，則

kCD=2kmb2［（k2-1）m2b2+1］a．

故直線CD的方程為

y+2（k-1）mb2（k-1）2m2b2-1

=2kmb2［（k2-1）m2b2+1］a［x-（k-1）2m2b2+11-（k-1）2m2b2a］

化簡(jiǎn)整理，得y=2kmb2［（k2-1）m2b2+1］a（x-ak）．

故直線CD過(guò)定點(diǎn)（ak，0）．

綜上所述，直線CD過(guò)定點(diǎn)（ak，0）．

注（1）圓錐曲線中的雙曲線為非封閉曲線，當(dāng)（k-1）2m2b2-1=0時(shí)，直線PA，PB與雙曲線的兩條漸近線平行，除A，B外無(wú)另一交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)（k-1）2m2b2-1≠0時(shí)，直線PA，PB與雙曲線一定存在兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，若01時(shí)，直線CD不可能垂直于x軸；

（2）根據(jù)雙曲線具有的對(duì)稱性質(zhì)，該結(jié)論在k<0且k≠-1時(shí)，仍然成立，故亦可將結(jié)論2推廣到k≠0，k≠±1的任意常數(shù)結(jié)論都成立．

3 結(jié)論的拓展

結(jié)論3已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)Q（ak，0）（k≠0且k≠±1）作直線CD交橢圓E于C，D兩點(diǎn)，連接AC，BD交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P在定直線x=ka上．

結(jié)論4已知A，B分別為雙曲線E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右頂點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)Q（ak，0）（k≠0且k≠±1）作直線CD交雙曲線E于C、D兩點(diǎn)，連接AC，BD交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P在定直線x=ka上．

結(jié)論3，4與結(jié)論1，2的條件與結(jié)論對(duì)調(diào)，易于證明結(jié)論3，4，本文不再贅述．

參考文獻(xiàn)：

［1］鄧啟龍.2020年全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第20題的探究與推廣[J].理科考試研究，2021，28（03）：2-6.

[2] 楊偉達(dá).2020年全國(guó)Ⅰ卷理科解析幾何第20題的剖析與探究[J].數(shù)理化解題研究，2021（31）：33-34.