賞析新情景數(shù)列問題

摘要：數(shù)列是高中數(shù)學中的重要內(nèi)容，其不僅是特殊函數(shù)，而且還與高中數(shù)學有著密切關(guān)聯(lián)，且是近些年高考命題中的熱點，在高考中占據(jù)著重要比重.特別是新情景下的數(shù)列運用問題，其充分反映出新情景下閱讀與應(yīng)用信息進行問題解決的能力，以促使學生實現(xiàn)高效解題.

關(guān)鍵詞：新情景；高中數(shù)學；數(shù)列問題

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0074-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：張子芳（1983.3-），男，甘肅省民樂人，本科，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

本文側(cè)重賞析以下四類新情景數(shù)列問題的解析，旨在幫助同學們明確此類問題的求解策略，進一步鞏固所學數(shù)列知識在解題中的靈活應(yīng)用，進而提高分析、解決問題的實際能力.

1 “周期”型數(shù)列問題

在數(shù)列問題中，當正整數(shù)n較大時，要計算an或Sn，一般是利用等差或等比數(shù)列的通項公式、求和公式求解；若數(shù)列不是等差或等比數(shù)列，則往往需要優(yōu)先考慮數(shù)列的周期性.

例1在數(shù)列an中，已知a1=2，a2=3，當n≥2時，an+1是an·an-1的個位數(shù)，則a2022=.

解析根據(jù)題設(shè)得a1=2，a2=3，a3=6，a4=8，a5=8，a6=4，a7=2，a8=8，a9=6，a10=8，a11=8，a12=4，a13=2，a14=8，….

所以據(jù)此可知數(shù)列an中的各項從第3項起，會反復(fù)出現(xiàn)數(shù)字6，8，8，4，2，8，即具有周期性（以6為周期）.

又注意到2022=2+336×6+4，

故易知所求a2022=4.

評注通過羅列數(shù)列的前幾項，可歸納獲得該數(shù)列的周期性，這是本題求解的關(guān)鍵所在.

2 “分段”型數(shù)列問題

若所給原數(shù)列遞推式是分段函數(shù)的形式，則有意識地去探求新數(shù)列的相鄰兩項之間的緊密聯(lián)系，往往會發(fā)現(xiàn)隱藏在其中的規(guī)律、特點，從而便于迅速找到解題思路.

例2（1）設(shè)數(shù)列{an}的首項a1=12，且an+1=an-12，n為偶數(shù)，an+14，n為奇數(shù)，記bn=a2n-1-14（n∈N*），試求數(shù)列{bn}的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列an的首項a1=1，且an+1=12an+n，n為奇數(shù)，an-2n，n為偶數(shù).記bn=a2n-2（n∈N*），試求數(shù)列bn的前n項和Sn.

解析（1）由題設(shè)得bn+1=a2n+1-14=（a2n-12）-14=a2n-34=（a2n-1+14）-34=a2n-1-12=（a2n-1-14）-14=bn-14.

所以bn+1-bn=-14（常數(shù)）.

于是，由等差數(shù)列的定義得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b1=a1-14=12-14=14，公差為-14.

故所求bn=14+（n-1）×（-14）=2-n4.

（2）根據(jù)題設(shè)，得

bn+1=a2n+2-2

=（12a2n+1+2n+1）-2

=12a2n+1+2n-1

=12a2n-2×2n+2n-1

=12a2n-1

=12a2n-2

=12bn.

由b1=a2-2

=（12a1+1）-2

=（12×1+1）-2

=-12≠0，

易知bn≠0.

所以可得bn+1bn=12（非零常數(shù)）.

于是，根據(jù)等比數(shù)列的定義可知數(shù)列bn是等比數(shù)列，且首項b1=-12，公比為12.

故根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得所求bn=

-12×（12）n-1=-12n，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得所求

Sn=-12［1-（12）n］1-12=12n-1.

評注（1）本題出發(fā)點是靈活運用所給數(shù)列{an}的分段遞推式，考慮數(shù)列{bn}中相鄰兩項之間的關(guān)系式，并由此作進一步的思考；

（2）第（1）問整個求解的關(guān)鍵是獲得數(shù)列bn為等差數(shù)列，同時要注意a2n+1=an-12的根本原因是2n+1中的2n是偶數(shù)，a2n=a2n-1+14的根本原因是2n=（2n-1）+1，且2n-1

是奇數(shù)；（3）第（2）問整個求解的關(guān)鍵是得到數(shù)列

{bn}為等比數(shù)列，同時要注意

a2n+2=12a2n+1+2n+1的根本原因是2n+2=（2n+1）+1，且2n+1是奇數(shù)，a2n+1=a2n-2×2n的根本原因是2n+1中的2n是偶數(shù).

3 “新運算”型數(shù)列問題

數(shù)列問題中，如果題目給出了“新運算”，那么需要我們先認真閱讀，準確理解、認識“新運算”的特點；然后再結(jié)合相關(guān)數(shù)列知識加以靈活分析、求解.

例3定義運算符號“∏”，這個符號表示若干個數(shù)相乘.

例如：可將1×2×3×…×n（n∈N*）記作：∏ni=1i（n∈N*）.

設(shè)Qn=∏ni=1ai，其中ai為數(shù)列an中的第i項.（1）若an=2n-1，則Q4=；

（2）若Qn=n2（n∈N*），則an=.

解析（1）因為an=2n-1，

所以Q4=∏4i=1ai

=a1a2a3a4

=1×3×5×7=105.

（2）因為Qn=∏ni=1ai=n2（n∈N*），

所以a1a2…an=n2n∈N*.①

于是，可知a1a2…an-1=n-12n≥2.②

從而，當n≥2時，由①÷②可得

an=（nn-1）2.

又當n=1時，an=a1=Q1=1，顯然不滿足上式成立.

故所求an=1，n=1，（nn-1）2，n≥2.

評注由①②兩式求an時，必須要注意成立的前提條件是n≥2，否則極易出錯.

4 “新定義”型數(shù)列問題數(shù)列問題中，如果題目給出了“新定義”，那么需要我們先認真學習，徹底搞清“新定義”是如何描述的；然后再結(jié)合相關(guān)數(shù)列知識加以靈活分析、求解.

例4對任意x∈R，設(shè)［x］表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)f（x）=［x］叫做高斯函數(shù)（又稱“取整函數(shù)”）.

（1）若an=f（n3），n∈N*，Sn是數(shù)列an的前n項和，求S30；

（2）若bn=f（log2n），n∈N*，Tn是數(shù)列bn的前n項和，求T1024.

解析（1）通過觀察前n項，得

an=f（n3）=［n3］=0，1≤n<3，1，3≤n<6，2，6≤n<9，…………9，27≤n<30，10，n=30.

所以S30=0×3-1+1×6-3+2×9-6+…+9×30-27+10

=31+2+…+9+10=145.

（2）通過觀察前n項，得

bn=flog2n=log2n

=0，1≤n<2，1，2≤n<22，2，22≤n<23，…………9，29≤n<210，10，n=210.

所以T1024=0×2-1+1×22-2+2×23-22+…+9×210-29+10

=1×22+2×23+…+8×29+9×210

-（1×2+2×22+3×23+…+9×29）+10

=-1×2+（1×22-2×22）+（2×23-3×23）+…+（8×29-9×29）+9×210+10

=-2+22+23+…+29+9×210+10

=-2-29×21-2+9×210+10=8204.

評注本題先將數(shù)列通項寫成關(guān)于“n”的分段函數(shù)的形式，這樣有利于幫助我們順利探求規(guī)律、簡潔求和.此外，要注意準確寫出數(shù)列通項公式中各段“n”的取值范圍.

總之，上述歸類舉例解析，不僅拓寬了我們的解題思維視野，增長了見識，而且可幫助我們積累一些求解數(shù)列新情景問題的經(jīng)驗，同時強化了相關(guān)數(shù)學知識、思想方法在解題中的靈活、綜合運用能力.

一般來講，處理新情景數(shù)列問題需要過好三關(guān)：第一關(guān)，“心理關(guān)”，需要在心理上克服畏懼、膽怯等心理活動，必須具有積極的挑戰(zhàn)、探究、鉆研精神；第二關(guān)，“閱讀理解關(guān)”，通過認真閱讀、思考，有利于審清題意，知道題設(shè)條件是什么，明確目標問題是什么；第三關(guān)，“運用關(guān)”，能夠?qū)⑺鶎W數(shù)列知識與其他相關(guān)知識在解題中加以靈活運用，從而順利解決目標問題.

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