基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的錯題講評課之探索與實踐

摘 要：錯題講評課是一種重要的課型，教師在講評時，不能滿足于一題一講，也不應(yīng)止步于形式上的一題多解，一題多變，而應(yīng)該抓住機會，適時引導(dǎo)，還主體于學(xué)生，鼓勵他們獨立思考，類比細(xì)究，拓展延伸，歸納感悟.

關(guān)鍵詞：錯題講評；思維品質(zhì)；細(xì)究感悟

中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）30-0017-04

收稿日期：2022-07-25

作者簡介：施浩妹（1980.7-），女，浙江省杭州人，本科，中學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，一直是一線教師的重要課題.錯題講評課是一種重要的課型，它不僅是知識掌握的一個必要環(huán)節(jié)，可以幫助學(xué)生找到思維盲區(qū)，糾正錯誤，拓展思維，開發(fā)創(chuàng)造性等，也可以幫助老師彌補新授課中的教學(xué)不足，同時，也能很好地提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、分析問題、歸納概括等能力.但我們經(jīng)常聽到教師會抱怨，講評過的錯題，為何學(xué)生又錯？自認(rèn)為講清楚了，其實學(xué)生還沒有聽懂；自認(rèn)為簡單的，學(xué)生覺得難；自己滔滔不絕40分鐘，口干舌燥，學(xué)生卻掌握甚少；學(xué)生課堂聽懂了，課下又忘了......很是無奈.不能調(diào)動學(xué)生積極性，不能讓學(xué)生思維處于活躍狀態(tài)下的錯題講評課，僅有老師一人滔滔不絕的分析錯因，講解正確思路，哪怕老師講得口干舌燥，學(xué)生也未必買賬，效果必然是低下的.那如何能讓講評課收到好的效果呢？現(xiàn)筆者結(jié)合自己的教學(xué)實踐，從四個方面對錯題講評方式展開探究與思考.

1 由此及彼，類比講評

類比方法是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，它可以使知識條理化，把復(fù)雜的問題簡單化，它能幫助學(xué)生融會貫通所學(xué)的知識，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，同時能較好地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和創(chuàng)新能力.

題1 已知△ABC為等邊三角形，AB=2.設(shè)點P，Q滿足AP=λAB，AQ=（1-λ）AC，λ∈R，若BQ·CP=-32，則λ=；

題2 在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，E為BC的中點，點F在邊CD上，若AB·AF=2，則

AE·BF的值是.

評注 題1為上完新授課2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義后作業(yè)本中的題目，由于當(dāng)時僅講了數(shù)量積的定義，所以在作業(yè)講評時僅講了“基底法”，如何選基底，如何運算.題2為上完新授課2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角（二）后作業(yè)本中的題目，由于此課時是數(shù)量積的坐標(biāo)表示，所以“坐標(biāo)法”必然是要講評的.但作為一名教師，如果僅僅會當(dāng)下學(xué)啥就只講啥，那就太片面了，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)提升.筆者在講評課時，遇到同類、相似問題就很喜歡讓學(xué)生往前翻翻作業(yè)本，比如講到題2時，等學(xué)生領(lǐng)會“坐標(biāo)法”后，筆者就讓學(xué)生翻到作業(yè)本57頁，讓學(xué)生比對這兩道題，不說多余的話，就給學(xué)生充足的時間去比對，去思考，去動手演算，去感悟.結(jié)果學(xué)生自己就能發(fā)現(xiàn)原來這兩道題是同一種題，題1也可以利用正三角形圖形本身的對稱性建系，從而用“坐標(biāo)法”解決，題2中也可以選擇模長、夾角均已知的BA，BC兩向量為基底，從而用“基底法”解決.代數(shù)法（基底法，坐標(biāo)法）是解決向量問題的重要方法，通過這樣的類比講評，重點突出，從老師引導(dǎo)學(xué)生類比，到學(xué)生自主類比，從而感悟總結(jié)，學(xué)生思路更清晰，理解更到位，知識更成系統(tǒng)，學(xué)生的思維能力也得到了很好的提升.

題3 若函數(shù)f（x）=log₂（x²+2ax-a）的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍為；

題4 若函數(shù)f（x）=log₂（x²+2ax-a）的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍為.

評注 題3與題4學(xué)生常常將“定義域為R、值域為R”搞混，只知道時而△<0，時而△≥0，但是弄不清楚何時用哪個.如果老師講評時，能將這種“形同而質(zhì)不同”的題目放在一起進行類比講解，必能激發(fā)學(xué)生的好奇心、探究欲望，變被動思維為主動自覺思維，從而引發(fā)學(xué)生仔細(xì)掂量，認(rèn)真剖析，真正從問題本質(zhì)去挖掘，得到的學(xué)習(xí)效果也就自然不一樣了.題3是定義域為R，即不管x取何值，對應(yīng)的整個真數(shù)都要大于0，即轉(zhuǎn)化為x²+2ax-a>0恒成立，所以△<0.題4是值域為R，也就是要確保整個真數(shù)能取遍一切正數(shù)，一個值也不能落下，那么只能y=x²+2ax-a這個二次函數(shù)與x軸有交點了，所以△≥0.學(xué)生做錯題目不可怕，可怕的是學(xué)生僅停留在簡單的記憶模仿上，時間一長必然忘記.通過類比講評，讓學(xué)生悟透問題本質(zhì)，才能從根源上消除再次犯錯的隱患，類比講評很好地培養(yǎng)了學(xué)生的差異性思維，提升了學(xué)生的類比分析能力，對提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)大有裨益！

2 借題發(fā)揮，拓展講評

拓展講評就是俗話說的在原有題目的基礎(chǔ)上，增加新的東西，延展加深.老師在講評作業(yè)本、試卷中的錯題時，不要“就題講題”，我們可以借題發(fā)揮，針對錯題進行一題細(xì)研、一題多法、一題多變，它實現(xiàn)的不僅僅是表面上數(shù)量的變化，而是質(zhì)量的變化.拓展講評可以拓展學(xué)生思維的廣度，挖掘思維的深度，提升思維的高度.

題5 已知向量a=（2，λ），b=（3，-4），且

a·b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍為.

題6 已知角A=60°，a=3，求△ABC的周長的取值范圍.

題7 已知數(shù)列a_n，a₁=1，a_n+1=3a_n+2，求數(shù)列的通項.

評注 題5不少學(xué)生都做出答案λ>32來了，少數(shù)學(xué)生錯的題目是不是就不用講評了呢？非也！要知道有時學(xué)生答案對，思維未必就嚴(yán)密.筆者拋出變式：如果a=（-2，λ），b=（3，-4），答案又如何？果然很多同學(xué)只考慮數(shù)量積小于0，而忽略cosθ>-1這個條件，出來錯誤答案λ>-32.筆者不動聲色，在黑板上寫下答案為λ>-32且λ≠83，大家覺得詫異，勾起了好奇心，開始探究討論，發(fā)現(xiàn)其實應(yīng)該滿足-1

題6是三角函數(shù)章節(jié)檢測中某題的第二問，少數(shù)做對的學(xué)生普遍是由余弦定理得b²+c²-9=2bccosA=bc，進而使用基本不等式得到3

題7為初學(xué)等比數(shù)列后的常見題目，在遞推式的兩邊同時加1，得到a_n+1+1=3a_n+3=3（a_n+1），構(gòu)造出一個公比為3，首項為2的新等比數(shù)列a_n+1問題就迎刃而解了.但是如果老師僅僅是就題講題，泛泛而談，尤其是后期復(fù)習(xí)階段，學(xué)生擁有一定的構(gòu)造能力時，更不能單講題7，老師應(yīng)抓住此題，借題發(fā)揮，進行一題多變，將遞推式變?yōu)樽兪?：a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹，變式2：a_n+1=2a_n+3ⁿ⁺¹，讓學(xué)生觀察變式1，變式2與原題的不一樣之處，結(jié)合學(xué)生已經(jīng)會處理a_n+1=Aa_n+B（B為常數(shù)）型的題目了，引導(dǎo)學(xué)生如何轉(zhuǎn)化不熟悉題目為熟悉題目？學(xué)生很容易聯(lián)想到將3ⁿ⁺¹位置變成常數(shù)就可以了，如何變?yōu)槌?shù)呢？只需兩邊同除3ⁿ⁺¹即可，后面就一切順理成章了.借題發(fā)揮沒有結(jié)束，繼續(xù)拋出變式3：a_n+1=3a_n-4n+2，又將如何呢？似乎不能變成常數(shù)來處理了，老師可以再次引導(dǎo)學(xué)生觀察原題a_n+1=Aa_n+B（B為常數(shù)）型，我們是如何找到一個新的等比數(shù)列的？本質(zhì)是把常數(shù)B拆分了，使得左右兩邊剛好a_n+1+C=A（a_n+C），從而構(gòu)成了新的等比數(shù)列.在此引導(dǎo)下，學(xué)生就會把握本質(zhì)，將“-4n+2”進行拆分，找到a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），從而構(gòu)造出新等比數(shù)列.借題發(fā)揮結(jié)束了嗎？沒有！變式2、變式3是否也可以直接拆分3ⁿ⁺¹呢？事實上變式3可以拆分為a_n+1-3·3ⁿ⁺¹=2（a_n-3·3ⁿ），這樣就直接找到等比數(shù)列a_n-3·3ⁿ，而不需要變?yōu)閍_n+1=Aa_n+B（B為常數(shù)）型再去構(gòu)造等比了.

3 多題一法，歸納講評

在學(xué)生的錯題中存在一些“形不同而質(zhì)同”的好題，它可以事半功倍地提升學(xué)生的思維品質(zhì)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)，但是光有好題不夠，需要有一雙發(fā)現(xiàn)它的眼睛，如果針對這些“形不同而質(zhì)同”的題目，老師只是給一個正確解法，不去深究，那么題目依然是散的，學(xué)生聽完后領(lǐng)悟不深刻，下次出錯率依然會很高.

題8 已知tanα=-13，則sinα+2cosα5cosα-sinα=；2sinαcosα+cos²α=.

題9 已知等差數(shù)列a_n滿足：a₄>0，a₅<0，數(shù)列的前n項和為S_n，則S₅S₄的a·（a+2b）取值范圍是；

題10 平面向量a，b的夾角為60°，且a-b=1，則的最大值為；

評注 題8是在我們學(xué)習(xí)完“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”后必能碰到的題型，稱之為“齊化切”思想，利用sinαcosα=tanα，分子分母同除cosα后，問題中的正弦、余弦轉(zhuǎn)化為正切、常數(shù)，從而求值.第二空由于不是分式，引導(dǎo)學(xué)生利用平方關(guān)系sin²α+cos²α=1將它轉(zhuǎn)化為分式后就又可以齊化切了.學(xué)生初學(xué)時覺得很贊，方法很妙，名字“齊化切”也朗朗上口.題9初看一道數(shù)列題，抓住首項與公差，轉(zhuǎn)化為不等式組a₁+3d>0a₁+4d<0a₁>0，d<0，求5a₁+10d4a₁+6d的范圍，然后學(xué)生的思路就終止了.題10是2020學(xué)年第一學(xué)期杭州市高三統(tǒng)測的填空題16題，學(xué)生會把條件平方得到a²+b²-ab=1，也會把目標(biāo)變?yōu)榍骯²+ab的最大值，但是怎么求，沒想法了.為何題8學(xué)生耳熟能詳，看到都會做，但是面對題9，題10，卻沒了方向？問題是不是出現(xiàn)在我們老師講錯題時僅僅做到“就題講題”，而沒有很好地去引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納呢？所以學(xué)生看到的都是分散的，不系統(tǒng)的.如果我們老師平時講評這些“形不同而質(zhì)同”的錯題時，能多多引導(dǎo)學(xué)生去觀察、感悟、就不難歸納出這里是多題一法，就會發(fā)現(xiàn)他們本質(zhì)是一樣的，都是處理二元問題，那么只需要同“齊化切”一樣，化二元問題為一元問題即可.題9中只需要分子分母同除d，令a₁d=t，則5a₁+10d4a₁+6d=5t+104t+6=54+52·14t+6，而條件變?yōu)?42+ab=a²+aba²+b²-ab=t²+tt²-t+1，其中t=ab，二元函數(shù)的最值問題變?yōu)橐辉瘮?shù)的最值問題.我們常說要針對學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)實施教學(xué)，既然題8是學(xué)生耳熟能詳?shù)?，那為何不引?dǎo)學(xué)生去悟透呢？三角、數(shù)列、向量看似三個不一樣的知識區(qū)塊，雖形不同但質(zhì)同，老師需要實施多題一法，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出通性通法，通過有限道題的探究去領(lǐng)悟解決無限道題的數(shù)學(xué)機智，真正提升學(xué)生分析問題，解決問題的能力.

4 角色互換，學(xué)生講評

富蘭克林曾說：告訴我，我會忘記，教給我，我可能記住，讓我參與，我才能學(xué)會.錯題講評的目的是對學(xué)生所學(xué)的知識進行查缺補漏，必須充分調(diào)動學(xué)生的積極性，讓學(xué)生直接參與到課堂中來是最有效的方式.故可以采用學(xué)生講評和教師講評結(jié)合的方式，與教師講評相比，學(xué)生的思維相通，通過學(xué)生間的語言交流也許更能讓那些不會的同學(xué)豁然開朗，學(xué)生講評可以使學(xué)生在講評中相互啟發(fā)，共同提高.

題 10 平面向量a，b的夾角為60°，且a-b=1，則a·（a+2b）的最大值為；

再看題10，筆者講評時為了突出多題一法，所以是引導(dǎo)學(xué)生將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題來處理的.講評完后，立馬有學(xué)生舉手示意了，他們有不一樣的想法.這時老師千萬不要因為講評整張卷子時間緊張，而錯失一次讓學(xué)生展示、成長的好機會，就該讓他們暢所欲言，各抒己見.

學(xué)生1：我是建系做的.令a=（x，0），b=（y，3y），則由條件得到（x-y）²+3y²=1，再使用三角換元，令x-y=cosθ，3y=sinθ，則x=cosθ+sinθ3，y=sinθ3，代入則a·（a+2b）=x²+2xy=cos²θ+4sinθcosθ3+sin²θ=1+2sin2θ3，從而得解.

學(xué)生2：建系我也想到了，就是后面要三角換元我沒有想到.

師：很好！學(xué)生1講了我們處理向量問題的基本法（坐標(biāo)法），又很好地幫助我們復(fù)習(xí)了三角換元，太值得了！

學(xué)生3：老師，我當(dāng)時做的時候，看到問題是求最值，也想到用函數(shù)去處理了，但不是像你那樣處理的.因為a²+b²-ab-1=0，用求根公式得到b=a±4-3a²2，因為求a²+ab最大值，所以取b=a+4-3a²2，這樣目標(biāo)函數(shù)中就只有a一元了，雖然后面解析式比較繁，但用導(dǎo)數(shù)，也把它求出來了.

學(xué)生4：利用求根公式用a表示b，我也想到了，但是后面看著函數(shù)關(guān)系式太煩，不知道怎么求最值就放棄了，當(dāng)時忘記用導(dǎo)數(shù)了.

師：不錯！雖然計算看起來繁瑣，但是把握住了函數(shù)思想的本質(zhì)，條件給了二元a，b的關(guān)系式，必能用其中一個表示另一個，從而實現(xiàn)二元變一元.同時也提醒了大家，求最值的法寶導(dǎo)數(shù).

錯題講評教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的地位，教師在講評時，不能滿足于一題一講，也不應(yīng)止步于形式上的一題多解，一題多變，而應(yīng)該抓住機會，適時引導(dǎo)，還主體于學(xué)生，鼓勵他們獨立思考，類比細(xì)究，拓展延伸，歸納感悟.教師不只要交給學(xué)生數(shù)學(xué)知識、思想方法，更要教會學(xué)生如何思考，探尋從無到有，從有到優(yōu)的思路，如此才能提升、優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，這樣的講評課才是有效的.

參考文獻：

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[責(zé)任編輯：李 璟]