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    三角形穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)本質(zhì)與教法探索

    2022-05-30 20:16:50任曦
    關(guān)鍵詞:邊長(zhǎng)本質(zhì)三角形

    任曦

    [摘 要]三角形的穩(wěn)定性出現(xiàn)在蘇教版教材第八冊(cè)中,在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中它不是單設(shè)的一個(gè)課程,而是“認(rèn)識(shí)三角形”內(nèi)容的一個(gè)分支。三角形的穩(wěn)定性這一性質(zhì)有別于一般的幾何性質(zhì),無(wú)法通過(guò)數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)來(lái)證明,通常是通過(guò)制作三角形框架和四邊形框架,讓學(xué)生動(dòng)手拉扯,用實(shí)踐操作直觀證實(shí)三角形具有穩(wěn)定性,而四邊形易變形。然而,這種操作活動(dòng)并未從數(shù)學(xué)理論上推導(dǎo)出三角形具有穩(wěn)定性。

    [關(guān)鍵詞]三角形;穩(wěn)定性;本質(zhì);邊長(zhǎng);全等

    [中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068(2022)32-0024-03

    如何理解三角形具有穩(wěn)定性這一性質(zhì)?通過(guò)查閱詞典,筆者發(fā)現(xiàn)三角形穩(wěn)定性中的“穩(wěn)定”即“不易發(fā)生形變”的意思,與“松動(dòng)”“易變形”的意思相對(duì)。

    一、“三角形穩(wěn)定性”的本質(zhì)

    1979年,美國(guó)兩位學(xué)者發(fā)表了題為《圖形的穩(wěn)定性》的數(shù)學(xué)論文,對(duì)具有穩(wěn)定性的幾何圖形做了系統(tǒng)的梳理和詳細(xì)介紹:

    由一個(gè)頂點(diǎn)O引出兩條邊后能得到一個(gè)幾何角,如果邊可以隨意旋轉(zhuǎn),那么角O的大小、形狀就會(huì)隨之變化,這時(shí)圖形不具備穩(wěn)定性。但如果在這兩條邊上各找一個(gè)點(diǎn),通過(guò)一條線段將這兩個(gè)點(diǎn)(端點(diǎn))的距離固定(如圖1),也就是將PQ的長(zhǎng)度固定,那么角O的開(kāi)口大小就被兩個(gè)端點(diǎn)的距離“固定”了。此時(shí),幾何圖形OPQ就是一個(gè)三角形,角O的穩(wěn)定性自然轉(zhuǎn)移為三角形的穩(wěn)定性。

    如圖2,在任意△ABC中,只要保持三邊長(zhǎng)度不變,那么任意一條邊的長(zhǎng)度都可視為連接對(duì)應(yīng)角的兩條邊的端點(diǎn)的距離,那么三角形三個(gè)端點(diǎn)間的距離就不變。于是三角形就不會(huì)發(fā)生形變,所以三角形具有穩(wěn)定性。

    還有一篇關(guān)于平面圖形穩(wěn)定性的論文,進(jìn)一步從幾何公式的角度闡釋了如何判斷圖形的穩(wěn)定性:由拉曼圖組成的幾何圖形才具有穩(wěn)定性。拉曼圖的定義為“在平面內(nèi)具有穩(wěn)定性的圖形,其邊和頂點(diǎn)的數(shù)量必須滿足這樣的數(shù)量關(guān)系,若頂點(diǎn)數(shù)為n,那么邊數(shù)必為2n-3;若n≥3,那么任意兩邊的‘?dāng)帱c(diǎn)必須連接起來(lái)”。照此定義,任意一個(gè)幾何多邊形,只要充分連線,都可以轉(zhuǎn)化為拉曼圖。

    通過(guò)計(jì)算可知,三角形的頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)符合拉曼圖的定義,三角形是最簡(jiǎn)單的拉曼圖。四邊形要獲得幾何穩(wěn)定性,根據(jù)拉曼圖原理,其必須建立4×2-3=5(條)線段。除了四邊形所需的4條線段,為了連接不相鄰的頂點(diǎn),還要連接對(duì)角線,這樣就將四邊形分割成兩個(gè)三角形。同理,五邊形、六邊形也是一樣的操作方式。(如圖3)

    從理論根源上找到三角形具有穩(wěn)定性的奧秘,才是對(duì)三角形穩(wěn)定性的最深刻認(rèn)識(shí)。

    二、與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系

    “三角形的穩(wěn)定性”在人教版教材中被編排在第八冊(cè)第三章第二課時(shí),是學(xué)生學(xué)完三角形所有概念后的學(xué)習(xí)內(nèi)容。在這之前,學(xué)生已經(jīng)對(duì)基本的幾何圖形及其運(yùn)動(dòng)形式有所了解,在第七冊(cè)中又學(xué)習(xí)了四邊形的易變性,為后續(xù)學(xué)習(xí)三角形的穩(wěn)定性積累了經(jīng)驗(yàn)。

    但人教版教材在編排“梯形”的內(nèi)容時(shí),用梯子等穩(wěn)固的物品引入梯形的概念就不妥當(dāng),容易傳遞梯形具有穩(wěn)定性的錯(cuò)誤信號(hào),誤導(dǎo)學(xué)生。“三角形的穩(wěn)定性”是一個(gè)重要的性質(zhì),它是學(xué)生將來(lái)在中學(xué)學(xué)習(xí)全等三角形的判斷的理論基礎(chǔ)。雖然全等三角形的知識(shí)在小學(xué)不作學(xué)習(xí)要求,但是小學(xué)數(shù)學(xué)教師要具有前瞻性,合理地進(jìn)行知識(shí)的滲透。

    據(jù)史料記載,人類歷史上首次提出并證明全等三角形的人是古希臘人泰勒斯。他是第一個(gè)應(yīng)用了全等三角形判定定理的人。三百年后,歐幾里得對(duì)全等概念做了系統(tǒng)闡述,其中有一條被稱為萬(wàn)能判定定理的法則——彼此重合的物體是全等的。他還給出了全等三角形的三種判定方法:“角邊角”“邊邊邊”“角角邊”。其中,“邊邊邊”的判定方法與三角形的穩(wěn)定性不謀而合,即如果三角形三邊長(zhǎng)度固定,那么三角形的形狀也唯一確定。三角形穩(wěn)定性的用途十分廣泛,涉及地理、建筑、外交、軍事、政治等領(lǐng)域。例如,要想形成穩(wěn)定的外交關(guān)系,就要努力建立“三足鼎立,互為犄角”的外交關(guān)系。反之,要破壞穩(wěn)定,則要破壞這種三角結(jié)構(gòu)。

    到了初中,學(xué)生的理論水平大幅提高,學(xué)生就會(huì)思考:為什么所有的幾何圖形中只有三角形存在全等的概念,而其他圖形則沒(méi)有這個(gè)提法?從而發(fā)現(xiàn),因?yàn)槿切尉哂蟹€(wěn)定性,而三角形穩(wěn)定性的來(lái)源恰好可以作為全等的判定依據(jù)。所謂全等,實(shí)際上就是對(duì)三角形形狀、大小的唯一性做出確認(rèn),在這個(gè)三角形的形體唯一性被確認(rèn)后,按照這種“尺碼”打造的任何三角形都是這個(gè)三角形的復(fù)制品,它們統(tǒng)統(tǒng)全等。也就是說(shuō),任意一個(gè)三角形的形態(tài)都是獨(dú)一無(wú)二的,凡是相同者必然有符合促成其穩(wěn)定性的全部特征。

    三、教學(xué)設(shè)計(jì)思路

    三角形的穩(wěn)定性是三角形的本質(zhì)屬性,是客觀存在的幾何特征。教學(xué)目標(biāo)可以確立為“探究三角形三邊長(zhǎng)度對(duì)三角形形狀結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響”。要順利完成教學(xué)目標(biāo),不妨讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證、應(yīng)用等數(shù)學(xué)過(guò)程,逐漸體會(huì)三角形的穩(wěn)定性。

    【第一環(huán)節(jié)】理解穩(wěn)定性的概念

    人教版教材對(duì)穩(wěn)定性沒(méi)有出具合理的權(quán)威解釋,且編排的“梯形”內(nèi)容還從穩(wěn)固的實(shí)物中提煉出不穩(wěn)定的梯形,這容易對(duì)學(xué)生造成負(fù)遷移。因此,在課堂引入階段提出要求:請(qǐng)你解釋什么是幾何意義上的“穩(wěn)定”,試著舉出幾個(gè)例子。目的是讓學(xué)生領(lǐng)悟這里的“穩(wěn)定”是指圖形的形狀、大小不變,為之后的研究扎根。

    這一環(huán)節(jié)中,學(xué)生需要結(jié)合自身經(jīng)驗(yàn),先回顧什么是物體的穩(wěn)定,再通過(guò)操作研究出三角形一邊長(zhǎng)短可以決定其對(duì)角的開(kāi)口大小,探明三角形三邊長(zhǎng)短決定三角形的形狀、大小,從而提出猜想。教師緊接著從角引入穩(wěn)定性,提出類似“用兩根長(zhǎng)度固定的木棒做試驗(yàn),想一想,如何添加學(xué)具才能制作一個(gè)大小不變的角?”的問(wèn)題,啟發(fā)學(xué)生想到用第三根木棒來(lái)固定,構(gòu)成三角形。

    【第二環(huán)節(jié)】學(xué)生觀察和操作

    通過(guò)“如果第三根木棒的長(zhǎng)度有變化,角和組成的圖形會(huì)發(fā)生什么變化?四人一組,交流和歸納自己的發(fā)現(xiàn)”這樣的任務(wù),讓學(xué)生體會(huì)三角形三邊長(zhǎng)短決定了其形狀大小,并聯(lián)系前面提到的穩(wěn)定概念,提出三角形具有穩(wěn)定性的猜想。此外,可以讓學(xué)生完成“用木棒拼擺各種不同的多邊形,看看是否可以隨意變形”“要使其具有穩(wěn)定性,可以如何操作”等任務(wù),讓學(xué)生體驗(yàn)到三角形才是最穩(wěn)定的基本幾何圖形。

    學(xué)生觀察圖形的變化情況,發(fā)現(xiàn)三角形邊、角、形三者之間的制約關(guān)系,發(fā)表觀點(diǎn)并討論。

    【第三環(huán)節(jié)】驗(yàn)證猜想,得出結(jié)論

    經(jīng)過(guò)上一環(huán)節(jié),學(xué)生已經(jīng)明確三角形的形狀由三邊長(zhǎng)短決定,本環(huán)節(jié)就只待證明??紤]到三角形的穩(wěn)定性與全等三角形的關(guān)系,這一環(huán)節(jié)中教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生尋找更多成就了三角形的穩(wěn)定性的因素。

    【第四環(huán)節(jié)】三角形穩(wěn)定性的應(yīng)用

    由于學(xué)生個(gè)體間存在差異,應(yīng)用環(huán)節(jié)應(yīng)分層設(shè)計(jì)任務(wù),兼顧全體學(xué)生。針對(duì)后進(jìn)生,設(shè)計(jì)諸如“尋找具有三角形穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的物品”的活動(dòng);針對(duì)中等生,則設(shè)計(jì)諸如“設(shè)計(jì)具有三角形穩(wěn)定性的物品并說(shuō)明設(shè)計(jì)思路”的活動(dòng);針對(duì)優(yōu)等生,則可將三角形的穩(wěn)定性從幾何領(lǐng)域引申到外交策略,實(shí)現(xiàn)學(xué)科融合。

    例如,美國(guó)和朝鮮關(guān)系緊張,中國(guó)如何在保證自身安全的情況下,妥善處理與美國(guó)和朝鮮的關(guān)系?教師讓學(xué)生分小組查閱資料,利用三角形的穩(wěn)定性,想一想作為一名外交官,應(yīng)如何處理與美國(guó)和朝鮮之間的外交關(guān)系。

    三角形之所以具有穩(wěn)定性是因?yàn)槿?、三角相互制約,形成三足鼎立、互為犄角的局面,三邊三角互相牽制。也就是說(shuō),三角形的角、邊形成了“一榮俱榮,一損俱損”的聯(lián)盟關(guān)系。以此類推,生活中凡是具有三方勢(shì)力相互制約的情形,都可以形成穩(wěn)定結(jié)構(gòu),比如三角關(guān)系、三腳架、三國(guó)外交等,這些都是對(duì)三角形穩(wěn)定性的升華和拓展。

    作業(yè)的層次可由學(xué)生自主選擇,也可由教師根據(jù)課堂情況靈活處理,比如給出兩個(gè)任務(wù),由學(xué)生任選其一。因?yàn)閷W(xué)生的任務(wù)不相同,最好能留到課后完成,然后課上匯報(bào)交流。

    在教學(xué)“三角形的穩(wěn)定性”時(shí),所有的數(shù)學(xué)活動(dòng)既要符合學(xué)生的心理特征,又要契合數(shù)學(xué)本質(zhì)規(guī)律,讓學(xué)生的觀察、操作等系列數(shù)學(xué)活動(dòng)都能直擊數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì),從而深刻揭示三角形具有穩(wěn)定性。

    本節(jié)課的教學(xué)能讓學(xué)生擁有更自由的探究空間。學(xué)完后,學(xué)生在知識(shí)方面有了很大的收獲,包括三角形穩(wěn)定性之外的全等,及決定三角形穩(wěn)定性的因素等。在個(gè)人能力方面,既有獨(dú)立思考,又有合作探究,在交流分享中學(xué)生的協(xié)作意識(shí)和交流意識(shí)得到提升。

    值得強(qiáng)調(diào)的是,教學(xué)有法但無(wú)定法,教師需要根據(jù)實(shí)際情況,靈活選擇適合自己和學(xué)生的教學(xué)方法。

    [ 參 考 文 獻(xiàn) ]

    [1] 陳雪蓮,陳惠芳.基于兒童視角? 豐盈教學(xué)內(nèi)涵: “三角形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育,2021(Z2):118-121.

    [2] 劉崑文,譚志俐.與理性精神完美相遇: “三角形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)實(shí)錄及評(píng)析[J].湖南教育(C版),2020(12):44-47.

    [3] 劉慧,劉憲升.關(guān)于教材中三角形有關(guān)內(nèi)容探索活動(dòng)的設(shè)計(jì)研究(一):三角形穩(wěn)定性及三邊關(guān)系探索活動(dòng)的比較分析[J].小學(xué)教學(xué)參考,2020(32):4-7,16.

    (責(zé)編 吳美玲)

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