高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)表征初探

郁銀霞

[摘 ?要] 學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程到底是一個(gè)什么樣的過程？這個(gè)問題是非常有意義的. 要回答這個(gè)問題，高中數(shù)學(xué)教師需要研究一個(gè)更為根本的問題，即數(shù)學(xué)表征問題. 只有知道了在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，數(shù)學(xué)知識是如何得以表征的，才能知道學(xué)生具體的學(xué)習(xí)過程是怎樣的;也只有知道了學(xué)生的學(xué)習(xí)過程遵循著什么樣的脈絡(luò)，教師教學(xué)時(shí)才能更好地做到有的放矢. 數(shù)學(xué)表征研究可以為教師的教學(xué)研究開辟一個(gè)切入點(diǎn)，從而將數(shù)學(xué)教學(xué)研究牢牢扎根在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程上;數(shù)學(xué)表征研究可以面向?qū)W生的學(xué)習(xí)開辟一個(gè)切入點(diǎn)，從而為數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)，以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展奠定基礎(chǔ).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)表征;問題解決;數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

對于相當(dāng)一部分高中數(shù)學(xué)教師來說，對數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的認(rèn)識可能就停留在“教師教給學(xué)生相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識，學(xué)生在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的過程中形成相應(yīng)的解題能力”上. 這樣的認(rèn)識符合經(jīng)驗(yàn)，因?yàn)槿粘＝虒W(xué)所遵循的就是這樣一個(gè)脈絡(luò). 但是如果換一個(gè)視角，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的認(rèn)識還顯得有些粗放，因?yàn)檫@樣的認(rèn)識不能回答一個(gè)根本的問題，那就是學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程到底是一個(gè)什么樣的過程？

首先要指明的是，這個(gè)問題是非常有意義的，因?yàn)閺淖瞵F(xiàn)實(shí)的應(yīng)試角度來看，可以說每一個(gè)高中數(shù)學(xué)教師，都想要獲得高效的數(shù)學(xué)教學(xué)效果，每一個(gè)學(xué)生也都希望能夠提升自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績，而要實(shí)現(xiàn)這些都需要學(xué)生能夠有效記憶學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識，更需要高中數(shù)學(xué)教師仔細(xì)分析數(shù)學(xué)知識是怎樣在學(xué)生的記憶中得以表征的. 換句話說，高中數(shù)學(xué)教師需要研究一個(gè)更為根本的問題，即數(shù)學(xué)表征問題. 只有知道了在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，數(shù)學(xué)知識是如何得到表征的，才能知道學(xué)生具體的學(xué)習(xí)過程是怎樣的;也只有知道了學(xué)生的學(xué)習(xí)過程遵循著什么樣的脈絡(luò)，教師教學(xué)時(shí)才能更好地做到有的放矢. 而這樣不僅能夠提高學(xué)生的應(yīng)試能力，還可以在此過程中捕捉到更多的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育時(shí)機(jī)，從而讓傳統(tǒng)的應(yīng)試需求與當(dāng)下的核心素養(yǎng)培育需求都能夠得到滿足.

考慮到問題解決是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，因此本文就以數(shù)學(xué)問題解決為例，來探究高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)表征.

[?]數(shù)學(xué)表征研究是關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過程的具體表現(xiàn)

所謂數(shù)學(xué)表征，實(shí)際上是表征的下位概念. 什么是表征呢？表征就是通過某一個(gè)物理的或者心理的形式，將一種事、物、想法或者知識表現(xiàn)出來. 相應(yīng)的數(shù)學(xué)表征就是借助具體的數(shù)學(xué)符號（包括文字符號、圖形符號、數(shù)學(xué)模型等），來表現(xiàn)數(shù)學(xué)概念或者數(shù)學(xué)關(guān)系的過程. 從功能上來看，數(shù)學(xué)表征具有表達(dá)交流、操作轉(zhuǎn)換、建模應(yīng)用三種功能，而進(jìn)一步的研究結(jié)果則表明數(shù)學(xué)表征的功能會(huì)隨著課程標(biāo)準(zhǔn)的變化而變化，并且三種表征功能的側(cè)重點(diǎn)和相互關(guān)聯(lián)性在不同學(xué)段也有不同的特點(diǎn). 相比較而言，表達(dá)交流功能在小學(xué)階段依賴于建模應(yīng)用，而在初高中階段依賴于操作轉(zhuǎn)換，操作轉(zhuǎn)換功能在三個(gè)學(xué)段均處于主導(dǎo)地位[1]. 由此可見，作為面向高中生的數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)當(dāng)重視數(shù)學(xué)表征研究，因?yàn)橹挥型ㄟ^這一研究，才能知道學(xué)生的具體學(xué)習(xí)過程有著什么樣的表現(xiàn). 對此，筆者的理解是這樣的：

首先，數(shù)學(xué)表征研究可以為教師的教學(xué)研究開辟一個(gè)切入點(diǎn)，從而將數(shù)學(xué)教學(xué)研究牢牢扎根在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程上.

如果說傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)研究，關(guān)注更多的是學(xué)生對知識的掌握和運(yùn)用，那么數(shù)學(xué)表征研究實(shí)際上就是將研究點(diǎn)提前了，其關(guān)注的是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中如何表征所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識. 當(dāng)然這里有一個(gè)客觀與主觀的視角問題，一般認(rèn)為數(shù)學(xué)表征是一個(gè)客觀的過程，其對應(yīng)著準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)知識與問題;而學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中，由于主動(dòng)建構(gòu)過程的存在，有可能會(huì)出現(xiàn)一些曲折甚至是謬誤，但是這樣的情形并不影響科學(xué)表征的結(jié)果，反而可以讓教師更全面地掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，從而保證教學(xué)研究的有效性.

其次，數(shù)學(xué)表征研究可以面向?qū)W生學(xué)習(xí)開辟一個(gè)切入點(diǎn)，從而為數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)，以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展奠定基礎(chǔ).

今日的高中數(shù)學(xué)教學(xué)特別重視核心素養(yǎng)的發(fā)展，作為一種目標(biāo)實(shí)現(xiàn)，其必然伴隨著學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，數(shù)學(xué)表征可以讓教師對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的掌握更加清晰，因此也就能夠獲得更多知識的高效建構(gòu)以及核心素養(yǎng)發(fā)展的空間.

[?]基于數(shù)學(xué)表征去培養(yǎng)高中生的問題解決能力

著名教育家哈爾莫斯曾經(jīng)提出過一個(gè)觀點(diǎn)，即“問題是數(shù)學(xué)的心臟”. 美國全國數(shù)學(xué)管理者大會(huì)（NCSM）在《21世紀(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中也明確提出，“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于問題解決”. 基于這個(gè)觀點(diǎn)，該機(jī)構(gòu)把解決問題能力列為十項(xiàng)基本技能之首. 由此可以得出的一個(gè)基本結(jié)論就是：學(xué)習(xí)怎樣解決問題，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本原因. 因此，培養(yǎng)和提高學(xué)生分析、解決問題的能力就成了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù). 關(guān)于數(shù)學(xué)問題解決與數(shù)學(xué)表征之間的關(guān)系，20世紀(jì)80年代以來，安德森等人在數(shù)學(xué)問題解決的研究領(lǐng)域，對知識分類的研究取得了豐富的成果，在此基礎(chǔ)上人們開始以數(shù)學(xué)學(xué)科知識為例，進(jìn)行問題表征理論和數(shù)學(xué)問題解決研究，從而為數(shù)學(xué)問題解決的表征研究提供理論依據(jù)[2]. 有了這種堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，那么對于高中數(shù)學(xué)一線教師而言，在實(shí)踐中進(jìn)行研究也就有了底氣.

例如，在“指數(shù)函數(shù)”這一知識的學(xué)習(xí)過程中，要探究出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及圖像并得到鞏固與運(yùn)用，那就涉及一些基本的問題解決過程. 比如有這樣的問題：你能指出指數(shù)函數(shù)y=2x和y=（1/2）^x的圖像的公共點(diǎn)嗎？你能判斷出指數(shù)函數(shù)y=a^x（a>0，a≠1）一定經(jīng)過哪個(gè)點(diǎn)嗎？

學(xué)生解決這些問題時(shí)，大腦中會(huì)有一個(gè)比較詳細(xì)的思考過程，即無法真正看到學(xué)生的這一思考過程，只能根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)表征過程來判斷. 那么在教學(xué)的過程中，就需要放大學(xué)生的數(shù)學(xué)表征過程. 筆者在課堂上通過觀察、詢問與交流，有這樣一些發(fā)現(xiàn)：解決第一個(gè)問題時(shí)，有學(xué)生的第一反應(yīng)是畫出兩個(gè)圖像，然后去判斷交點(diǎn)的坐標(biāo)，不少學(xué)生還會(huì)在自己的草稿紙上進(jìn)行嘗試;另有部分學(xué)生的反應(yīng)則是將這兩個(gè)函數(shù)解析式組成一個(gè)方程組，然后去求解，并且也會(huì)在草稿紙上進(jìn)行嘗試. 不同思路的背后對應(yīng)著不同的思維，前者是形象思維，因?yàn)槠浼庸ο笫菆D像;后者是抽象思維，因?yàn)槠渌季S對象是公式. 當(dāng)然這不是絕對的，因?yàn)樾蜗笏季S與抽象思維通常是穿插在一起的. 但是知道了學(xué)生的這種主要表征方式，對學(xué)生的思維方式就有了一個(gè)準(zhǔn)確的判斷，這為后續(xù)教學(xué)打下了基礎(chǔ).

同樣，解決第二個(gè)問題時(shí)，有些學(xué)生比較聰明，他們從問題的表述上，發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)的定義域是R，于是就從中選出x=0來判斷，得出（0，1）這個(gè)點(diǎn). 這實(shí)際上是一般思維中的特殊思維，代表著學(xué)生思維的敏感性，而在實(shí)際教學(xué)中注意培養(yǎng)學(xué)生的這種思維敏感性，也是非常有好處的. 從核心素養(yǎng)發(fā)展的角度來看，如果學(xué)生的形象思維與抽象思維得到平衡與協(xié)調(diào)，如果學(xué)生思維的敏感性得到培養(yǎng)，那么包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)建模在內(nèi)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)都能夠得到發(fā)展.

[?]數(shù)學(xué)表征是高中數(shù)學(xué)教學(xué)（素養(yǎng)）評價(jià)的重要抓手

一個(gè)完整的教學(xué)必然包括評價(jià)，評價(jià)需要從結(jié)果上進(jìn)行，也需要從過程上進(jìn)行. 傳統(tǒng)的教學(xué)評價(jià)側(cè)重前者、忽視后者，而數(shù)學(xué)表征恰好給了教師一個(gè)評價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)過程的空間，因此成為數(shù)學(xué)教學(xué)評價(jià)包括素養(yǎng)評價(jià)的重要抓手.

說到底，無論是在問題解決的過程中，還是在其他的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程中，問題表征都是指向問題或任務(wù)在解決者頭腦中是如何呈現(xiàn)、如何表現(xiàn)出來的. 相關(guān)的教育心理學(xué)研究表明，問題表征依賴人的知識經(jīng)驗(yàn)，也受到注意、記憶和思維的影響. 通常認(rèn)為中學(xué)生在問題解決過程中的數(shù)學(xué)表征，常常處于三個(gè)不同水平，即程序性表征、發(fā)展的表征、概念性表征[3]. 基于這樣的分類，教師可以緊扣學(xué)生在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)或者運(yùn)用的過程中，是如何進(jìn)行概念表征的，其表征的發(fā)展水平如何，在陳述性知識和程序性知識建構(gòu)的過程中又有怎樣的具體表征. 這些都是解析數(shù)學(xué)表征的有效工具，同時(shí)也是數(shù)學(xué)教學(xué)評價(jià)以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)評價(jià)的載體. 在前面已經(jīng)強(qiáng)調(diào)過，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是內(nèi)隱的，因此教師唯一有效的抓手就是學(xué)生的數(shù)學(xué)表征過程，從這個(gè)角度來看，研究數(shù)學(xué)表征顯得非常重要. 當(dāng)然其中有一個(gè)重要的原則，那就是在數(shù)學(xué)表征研究的過程中，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)判斷學(xué)生內(nèi)在的思維，既需要經(jīng)驗(yàn)也需要理論，要特別注意不能憑想象，這是數(shù)學(xué)表征通向準(zhǔn)確判斷最重要的原則.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?沈陽，張晉宇，李娜，鮑建生. 20世紀(jì)以來中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中算術(shù)與代數(shù)表征功能的變化及啟示[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（03）：12-17.

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