借助數(shù)學(xué)史,優(yōu)化課堂教學(xué)

趙睿英

[摘 ?要] 當(dāng)今中國的教育事業(yè)在“立德樹人”理念下得以迅猛發(fā)展，培育學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)是踐行這一理念的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)史的應(yīng)用是促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成與發(fā)展的重要因素之一. 文章以“球的體積和表面積”教學(xué)為例，從史料的選擇與加工、教學(xué)設(shè)計與實施、教學(xué)思考等方面談一談實踐與想法.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué)史;核心素養(yǎng);思維

數(shù)學(xué)教育從來就不是一蹴而就的，不是僅憑教師簡單說教就能取得成功的. 真正的數(shù)學(xué)教育需要社會、學(xué)校、家庭，文化、思想等多方面共同協(xié)助才能完成. 如今的數(shù)學(xué)教育以培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)為主要目標(biāo)，而數(shù)學(xué)文化的滲透對激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性具有直接影響，尤其是數(shù)學(xué)史本身就具有一定的教育功能. 在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)“數(shù)學(xué)美”，形成創(chuàng)新意識.

[?]教學(xué)分析

“球的體積和表面積”是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容之一. 學(xué)生學(xué)習(xí)本單元前就對柱、錐、臺的面積與體積計算有了一定的基礎(chǔ)，同時對祖暅原理也有初步認(rèn)識. 但教材介紹球的體積公式時，對于其形成的歷史背景并沒有作過多闡述，而是直接給出推導(dǎo)方案，導(dǎo)致學(xué)生對于公式的形成過程一知半解，理解起來也不夠透徹.

為了讓學(xué)生感知球的體積和表面積公式的“再創(chuàng)造”過程，筆者在本節(jié)課教學(xué)中以滲透數(shù)學(xué)史來驅(qū)動學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，收效頗豐.

[?]史料的選擇與加工

球的度量是一個古老而又經(jīng)典的問題. 在中國、古希臘、古印度等的早期文獻(xiàn)中，能發(fā)現(xiàn)關(guān)于此類問題的研究記載. 至17世紀(jì)微積分誕生，人們對球的體積與表面積的研究有了新的突破，這些數(shù)學(xué)史都為如今的課堂教學(xué)提供了豐富的素材.

祖暅原理提出：若將某個高與底面半徑均為R的圓柱挖掉一個“以上底面為底面，下底面圓心為頂點”的圓錐之后，得到的幾何體體積等于半徑為R的半球體體積. 祖暅原理對球的體積與表面積的研究具有重要意義，這也是課堂教學(xué)重要的史料之一. 除此之外，與球的體積公式相關(guān)的史料還有：

1. 卡瓦列里法

卡瓦列里1635年在《連續(xù)不可分量的幾何學(xué)》中用卡瓦列里原理證明了若挖掉一個圓柱中同底等高的圓錐后，得到的幾何體體積和一個同底等高半球的體積是一樣的，這與祖暅原理具有一致性[1]. 教學(xué)設(shè)計時，教師可有意識地引導(dǎo)學(xué)生從時間的跨度上感知球體積公式的形成歷程.

2. 《増刪算法統(tǒng)宗》記載的球的體積

《増刪算法統(tǒng)宗》在我國數(shù)學(xué)史上具有重要意義，本書對球的體積公式的研究有所記載，并以匯編的形式呈現(xiàn)出了一系列問題，如“有個金球里面空，球高尺二厚三分，一寸自方十六兩，試問金球幾許金？”

教學(xué)設(shè)計時，可將《増刪算法統(tǒng)宗》中記載的問題改編成例題，讓學(xué)生在解題中感知數(shù)學(xué)文化，了解我國古代對球體積公式的探索歷程. 例如將該記載改編為：已知一只空心的球體外徑為12 cm，球體的厚度為3 cm，該球的體積是多少？

3. 阿基米德墓碑

阿基米德的墓碑上記載了他畢生最重要的研究成果，其中就有“圓柱體積與其內(nèi)切球體積”以及“圓柱表面積與其內(nèi)切球表面積”的比值恒為3∶2的記載. 教師可結(jié)合學(xué)情對這個記載進(jìn)行改編，以激發(fā)學(xué)生的探究興趣.

例如改編為：已知一個球內(nèi)切于一個圓柱，（1）求該球體積和圓柱體積的關(guān)系;（2）求該球表面積和圓柱表面積的關(guān)系.

學(xué)生在問題的探索中，感知阿基米德發(fā)現(xiàn)的原理，體會數(shù)學(xué)學(xué)科獨有的統(tǒng)一美，為核心素養(yǎng)的形成奠定基礎(chǔ).

[?]教學(xué)設(shè)計與實施

設(shè)計教學(xué)目標(biāo)時，教師可借助以上素材內(nèi)容滲透數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生的探索欲，讓學(xué)生在潛移默化中感知球的體積與表面積公式的發(fā)展歷程，體驗數(shù)學(xué)文化的博大精深.

（一）教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握球的體積與表面積公式;

（2）感知祖暅原理等數(shù)學(xué)史對球的體積與表面積公式發(fā)展的影響;

（3）親歷球體相關(guān)公式的發(fā)現(xiàn)過程，從深層次體驗觀察、思考、猜想、化歸、類比等多種方法在學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，提煉積分思想.

（二）教學(xué)簡錄

1. 導(dǎo)入新課

將未知轉(zhuǎn)化成已知是課堂教學(xué)的關(guān)鍵. 本節(jié)課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師可引導(dǎo)學(xué)生將本節(jié)課待研究的“球的體積和表面積”問題，轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的求柱、錐、臺的體積與表面積問題.

問題1 觀察圖1，說說圖中同底等高的三個圖形之間的大小關(guān)系.

師：假設(shè)圖1中圓柱的體積是3，你們知道圓錐的體積是多少嗎？

生1：圓錐的體積是1.

師：將圖中的半球與圓柱和圓錐分別對比，大家猜想一下半球的體積是多少.

生2：可能是2.

師：如果同底等高的半球體積是2，圓柱的體積是3，圓錐的體積是1，那我們是不是能給這三種圖形建立關(guān)系等式？關(guān)系等式一旦建立，解決半球體積的問題就能迎刃而解.

生3：V=V-V.

寥寥兩問有效地引發(fā)學(xué)生進(jìn)行猜想，可見這是一個成功的導(dǎo)入過程. 學(xué)生的思維在問題的引導(dǎo)下逐漸趨于明朗，雖然目前還不能確定“V=V-V”這個猜想是否成立，但為接下來探究公式生成指明了方向.

2. 公式生成

從學(xué)生思維卡殼點出發(fā)，帶領(lǐng)學(xué)生通過構(gòu)造輔助的幾何體來探討球體積公式的生成. 教師可引導(dǎo)學(xué)生再次回顧圓面積公式的推導(dǎo)流程，并將這種研究經(jīng)驗遷移到球表面積公式的研究中，達(dá)到事半功倍的效果.

（1）從特殊情況構(gòu)造輔助的幾何體.

若能證明“V=V-V”這個猜想是成立的，那么球體積問題就解決了. 因此，接下來就要從祖暅原理出發(fā)，尋找證明思路，構(gòu)建輔助的幾何體.

師：從這個猜想式子來看，等式兩邊的幾何體體積具有相等關(guān)系，之前我們接觸過一個證明兩個幾何體體積相等的原理，大家還有印象嗎？

師生共同回顧祖暅原理（略）.

師：現(xiàn)在我們逆向思考，即將同底等高的圓錐與圓柱構(gòu)造成一個幾何體，這個幾何體的體積與它們同底等高的半球體積相等. 結(jié)合祖暅原理，我們可從什么角度來思考？

生4：從高度與截面面積進(jìn)行思考. 等高的條件已經(jīng)明確了，現(xiàn)在只要從每個高度的截面面積進(jìn)行分析即可.

師：不錯，在圓柱中挖掉一個最大的圓錐，從圖2、圖3來看，哪種構(gòu)造方式能讓兩個幾何體在任何高度的截面面積均相等？

生5：應(yīng)該是圖3.

師：哦？說說你的判斷方法呢？

生5：從兩幅圖的最高點與最低點的截面面積來看，圖2并不符合要求.

師：非常好！從特殊情況出發(fā)進(jìn)行分析，是解決問題的一種重要方法，也是發(fā)展從特殊到一般數(shù)學(xué)思想的主要途徑.

（2）驗證猜想，提煉球的體積公式.

如圖4所示，分析高度在h處的截面. 如圖5所示，S=πh2，S=πR2，S=π（R2-h2），所以S=S-S. 根據(jù)祖暅原理可得，V=V-V，也就是V=πR3-πR3=πR3，所以V=2V=πR3.

（3）與圓面積類比，提煉球的表面積公式.

假設(shè)圓由無數(shù)個相同大小的三角形組成，這些三角形的頂點均位于圓心上，底邊均在圓周上（見圖6）. 假設(shè)這些三角形的底邊無限小，那么這些三角形的高就越接近圓的半徑，底邊的和則接近圓的周長，那么無數(shù)個三角形的面積和與該圓的實際面積越接近.

由以上思路，可提煉出圓面積與圓周長的關(guān)系S=aR+aR+…=RC，所以S=πR2.

此探究過程對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有重要意義，教師應(yīng)耐性傾聽學(xué)生的見解，鼓勵學(xué)生自主表達(dá)如何將圓分割成三角形，又怎樣化曲為直，最后趨向于圓面積的推導(dǎo)過程. 同時，教師可帶領(lǐng)學(xué)生通過與圓面積推導(dǎo)過程的類比，分析球的體積與表面積之間的聯(lián)系：

無限細(xì)分：把球分成無數(shù)個錐體，頂點位于球心，底面位于球面.

化曲為直：想象椎體的底面無限小，近似為棱錐.

逼近精確值：在無限分割的情況下，這些椎體的高與球的半徑R無限接近，底面積的和與球的表面積無限接近，因此將這些椎體的體積相加，則無限接近球的體積.

通過以上三個步驟的推導(dǎo)，可得V=RS+RS+…=RS，因此S=4πR2.

教師先帶領(lǐng)學(xué)生回顧圓面積的推導(dǎo)過程，為新公式的推導(dǎo)奠定基礎(chǔ);再通過類比思想的應(yīng)用，讓球的表面積公式的推導(dǎo)與提煉更加流暢、自然. 這種教學(xué)方式彰顯了知識遷移的作用. 在此過程中，也可以適當(dāng)?shù)匾霐?shù)學(xué)史，讓學(xué)生在史料比較中，感知知識發(fā)展的源遠(yuǎn)流長.

3. 課堂練習(xí)

課堂練習(xí)對學(xué)習(xí)具有鞏固與提升的功效，為幫助學(xué)生建構(gòu)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ).

練習(xí)：①若一個球的體積和表面積的數(shù)值相同，求該球的直徑;

②已知一個空心球的外徑是16厘米，厚度是4厘米，求該球的體積;

③如圖7所示，一個球內(nèi)切于一個圓柱，這個球的體積與圓柱的體積之間具備怎樣的關(guān)系？該球的表面積與圓柱的表面積之間有什么關(guān)系？

第②題根據(jù)《増刪算法統(tǒng)宗》中的問題改編而來，學(xué)生解題時可聯(lián)想到中國古代對球的體積研究的成就. 第③題展示了球與圓柱的一種特殊關(guān)系（內(nèi)切），學(xué)生解題時，教師趁機(jī)介紹此問答案為阿基米德的重大成就之一，至今在其墓碑上都能清晰地看到.

將數(shù)學(xué)史料滲透在練習(xí)中，不僅能增強學(xué)生解題的樂趣，還能讓學(xué)生在解題時產(chǎn)生與古人對話的特殊體驗.

4. 課堂小結(jié)

本節(jié)課的課堂小結(jié)，可讓學(xué)生復(fù)述幾個公式的推導(dǎo)思路與具體過程，并據(jù)此談?wù)務(wù)n堂感悟與收獲，讓學(xué)生察覺到觀察、猜想、驗證、化歸與類比法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性.

教師還可以設(shè)計調(diào)查問卷去了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，如復(fù)述推導(dǎo)思路成功的占比，理解輔助的幾何體構(gòu)造過程的占比，對數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的看法等，為后期調(diào)整教學(xué)方案提供依據(jù).

[?]教學(xué)思考

1. 選擇數(shù)學(xué)史，實現(xiàn)研究方法的遷移

從史料素材的分析、選擇，學(xué)生的課堂狀態(tài)以及問卷調(diào)查等的綜合反饋來看，擇取合適的數(shù)學(xué)史進(jìn)行教學(xué)，不僅能讓學(xué)生體驗知識的“再發(fā)現(xiàn)”過程，還能讓學(xué)生從源頭上感悟知識間的聯(lián)系，在類比遷移中建構(gòu)新知.

2. 借助數(shù)學(xué)史，實現(xiàn)公式的“再創(chuàng)造”

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)不僅需要學(xué)習(xí)者將原有認(rèn)知進(jìn)行組合，還需在各種組合中識別出最優(yōu)[2]. 本節(jié)課中，教師借助數(shù)學(xué)史帶領(lǐng)學(xué)生親歷觀察與化歸的過程，在原有知識組合的基礎(chǔ)上去猜想，并通過合適的輔助幾何體與祖暅原理的回顧，實現(xiàn)了公式的“再創(chuàng)造”與“再發(fā)現(xiàn)”.

3. 應(yīng)用數(shù)學(xué)史，發(fā)展數(shù)學(xué)思想方法

推導(dǎo)球的表面積公式時，教師帶領(lǐng)學(xué)生一起回顧推導(dǎo)圓面積的方法，這為探索球的表面積公式奠定了基礎(chǔ)，學(xué)生充分感知到類比思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性. 學(xué)生的思維也實現(xiàn)了從二維向三維的轉(zhuǎn)化，為更好地提煉數(shù)學(xué)思想方法奠定了基礎(chǔ).

本節(jié)課從祖暅原理出發(fā)，加上卡瓦列里法、《増刪算法統(tǒng)宗》的記載以及阿基米德的墓碑等史料的輔助，讓學(xué)生對球的體積與面積公式的由來產(chǎn)生明確的認(rèn)識. 在數(shù)學(xué)史的熏陶下教學(xué)，不僅能有效推動學(xué)生的探索欲，還能讓學(xué)生感知到數(shù)學(xué)知識的形成需要經(jīng)歷科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^程.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?汪曉勤，韓祥臨. 中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史[M]. 北京：科學(xué)出版社，2002.

[2] ?曹才翰，章建躍. 數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2006.