問題驅(qū)動,觸及數(shù)學(xué)教學(xué)深處

張新秀

[摘 ?要] 問題是數(shù)學(xué)的心臟，是學(xué)生思維發(fā)展的方向與路標(biāo). 問題驅(qū)動常能喚醒學(xué)生原有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，激活圖式，提升學(xué)生的思考能力. 文章以“任意角的三角函數(shù)”為例，具體從“開門見山，直切主題”“舊知回顧，喚醒認(rèn)知”“探究活動，建構(gòu)新知”“課堂小練，鞏固新知”“課堂小結(jié)，回顧提煉”“作業(yè)布置，鞏固提升”六方面進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，并提出一些思考.

[關(guān)鍵詞] 問題驅(qū)動;思維品質(zhì);三角函數(shù)

波利亞認(rèn)為，問題是指有意識地尋求某種行動，期望達(dá)到一個清晰的目的，卻又無法立即達(dá)到這個目的[1]. 新課標(biāo)提出，課堂中，高質(zhì)量的問題可以驅(qū)動學(xué)生主動思考，讓學(xué)生在豐富的思維活動中深化對知識本質(zhì)的理解，提高認(rèn)識，獲得良好的情感態(tài)度與思維品質(zhì)[2]. 由此可以看出，問題在課堂教學(xué)中有著重要意義，值得每一位教育工作者去重視、探索與研究.

本文以“任意角的三角函數(shù)”為例，具體談?wù)勅绾卧诮虒W(xué)設(shè)計中利用問題觸及數(shù)學(xué)教學(xué)深處，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

[?]教學(xué)設(shè)計

1. 開門見山，直切主題

課堂導(dǎo)入是一節(jié)課的序幕，把握好導(dǎo)入環(huán)節(jié)，課堂就基本成功了一半. 本節(jié)課從教學(xué)對象來說，高中生已經(jīng)具備了較強(qiáng)的邏輯思維能力，對數(shù)學(xué)內(nèi)容的接受程度較強(qiáng);從教學(xué)內(nèi)容來說，任意角的三角函數(shù)是高中階段的重點知識，雖然難度系數(shù)不高，但對后期教學(xué)有著深遠(yuǎn)的影響.

鑒于此，筆者結(jié)合學(xué)情與教學(xué)內(nèi)容的特點，開門見山地導(dǎo)入主題，讓學(xué)生在充滿“數(shù)學(xué)味”的引導(dǎo)中，充分重視并嚴(yán)肅對待本節(jié)課教學(xué).

師：眾所周知，三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的一種常用數(shù)學(xué)模型，它的應(yīng)用十分廣泛，是一種解決生活實際問題的重要工具，在物理、幾何、天文與測量學(xué)等領(lǐng)域中有著重要貢獻(xiàn). 同時，三角函數(shù)與其他學(xué)科也有著重要聯(lián)系，對聲音的傳播、振動的研究都有重要作用. 今天我們所接觸的“任意角的三角函數(shù)”問題是解決所有與三角函數(shù)相關(guān)問題的基礎(chǔ)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)的根基.

以上描述，教師將三角函數(shù)的重要性、用途及地位都交代得清清楚楚，學(xué)生能快速調(diào)整狀態(tài)進(jìn)入課堂. 因此，這是一個成功的導(dǎo)入方式，瞬間就吸引了學(xué)生的注意力，引發(fā)學(xué)生對本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的研究興趣.

2. 舊知回顧，喚醒認(rèn)知

問題1 如圖1所示，請大家想一想之前我們接觸過的關(guān)于銳角α的三角函數(shù)的定義，也就是正弦、余弦、正切（sinα，cosα，tanα）的定義分別是什么？

設(shè)計意圖：銳角三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容是任意角三角函數(shù)的“先行組織者”. 想要促進(jìn)有意義的學(xué)習(xí)，先要調(diào)動學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗，讓學(xué)生從信息庫中提取相關(guān)信息作為本節(jié)課學(xué)習(xí)的支撐點，此問所提及的sinα，cosα，tanα是本節(jié)課教學(xué)的基礎(chǔ).

問題2 如圖2所示，若將一個直角三角形的一條直角邊延長或縮短，與斜邊一起構(gòu)造出一個新的直角三角形（或大或?。欠窨捎眯碌闹苯侨切蔚膶呴L與斜邊長來表示sinα（α為銳角）？說明理由.

設(shè)計意圖：此問意在引導(dǎo)學(xué)生從相似三角形的角度出發(fā)，發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)蘊含的本質(zhì)——相似比具有不變性. 同樣，對角α的正切和余弦也成立. 由此可獲得結(jié)論：對于確定的角α而言，這三個比值都不會因為點P位于角α的終邊位置發(fā)生變化而改變. 學(xué)生一旦掌握了這個本質(zhì)，對接下來探究任意角的三角函數(shù)有重要幫助.

3. 探究活動，建構(gòu)新知

探究活動1：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，銳角三角函數(shù)的定義.

如圖3所示，我們將銳角α放到平面直角坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行分析.

設(shè)計意圖：關(guān)于角的問題，一般可以在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行討論，因此教師直接帶領(lǐng)學(xué)生將目光鎖定到坐標(biāo)系中，角的終邊圍繞原點旋轉(zhuǎn)一周后又回到了原來的位置. 此探究活動的設(shè)計，意在啟發(fā)學(xué)生感知“周而復(fù)始”的周期變化規(guī)律，為更好地討論角的問題奠定基礎(chǔ).

問題3 如圖4所示，在Rt△OMP中，角α的鄰邊、對邊與斜邊分別和點P的坐標(biāo)存在怎樣的關(guān)系？

設(shè)計意圖：通過分析坐標(biāo)與直角三角形中各邊的關(guān)系，讓學(xué)生直觀感知角α的對邊長與點P的縱坐標(biāo)b為相等的關(guān)系，同時角α的鄰邊長與點P的橫坐標(biāo)a也是相等的關(guān)系，斜邊長為. 若想讓斜邊取值更簡單，可聯(lián)想到對于確定的角α，其比值并不會因為點P的位置發(fā)生變化而改變，因此將點P放在OP=1這個特殊的位置是合乎情理的.

問題4 銳角三角函數(shù)是否可以用平面直角坐標(biāo)系中角終邊上的點坐標(biāo)來表示？

設(shè)計意圖：從銳角三角函數(shù)的定義出發(fā)，能讓學(xué)生直接獲得三角函數(shù)與點坐標(biāo)之間的關(guān)系，即cosα=a（橫坐標(biāo)），sinα=b（縱坐標(biāo)），tanα=

，由此引出單位圓的概念.

探究活動2：探究任意角的三角函數(shù)定義.

問題5 若α為任意角，是否可以用單位圓上的點坐標(biāo)來表示α的三角函數(shù)？該怎么表示？

學(xué)生經(jīng)合作交流，獲得了如下結(jié)論：與銳角三角函數(shù)相類比，假設(shè)α為一個任意角，單位圓與它的終邊相交于點P（x，y），則①y稱為α的正弦，記為sinα，也就是sinα=y;②x稱為α的余弦，記為cosα，也就是cosα=x;③稱為α的正切，記為tanα，也就是tanα=（x≠0）.

師：我關(guān)注到大家在結(jié)論中提到的“也就是”為“等價”的意思，但前面的“sinα”是一個解析式，而后面的“sinα=y”是一個等式或方程，這兩者怎么能等價呢？

數(shù)學(xué)一貫以“嚴(yán)謹(jǐn)”著稱，尤其對于概念、定理、法則類的陳述更應(yīng)該嚴(yán)謹(jǐn). 教師提出這個疑問后，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行新一輪討論，得到了新的結(jié)論：①y稱為α的正弦，記為y=sinα，也就是sinα=y;②x稱為α的余弦，記為x=cosα，也就是cosα=x;③稱為α的正切，記為=tanα，也就是tanα=（x≠0）.

設(shè)計意圖：以上問題，意在讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)思維的不嚴(yán)謹(jǐn)之處，從而培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神. 這種教學(xué)方式，不僅幫助學(xué)生解決了多個問題，還從一定意義上增進(jìn)了學(xué)生的反思意識與質(zhì)疑能力，為創(chuàng)新意識的形成奠定了基礎(chǔ).

探究活動3：三角函數(shù)的定義域.

要求學(xué)生分別說一說任意角α的三角函數(shù)sinα，cosα，tanα的定義域.

設(shè)計意圖：學(xué)生在表達(dá)過程中不僅能建立角的弧度制，還能在角的集合與實數(shù)集合間建立“一一對應(yīng)”的關(guān)系，從而自主獲得用弧度制來表示三角函數(shù)定義域的能力. 最終學(xué)生得到：sinα，cosα的定義域均為R;因為tanα=（x≠0），所以tanα的定義域為α

α≠

+kπ，k∈Z.

以上探究過程層次清晰、目標(biāo)明確，學(xué)生在教師的引導(dǎo)與點撥下，思維由淺入深地逐層遞進(jìn). 學(xué)生通過自主探索、合作交流不僅突破了本節(jié)課教學(xué)的重點與難點，還從一定意義上發(fā)展了思考能力，使學(xué)生的思維水平邁上了一個新臺階. 尤其是探究活動2中教師提出的疑問，端正了學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)保持慎重的態(tài)度.

4. 課堂小練，鞏固新知

課堂小練是學(xué)生掌握知識與技能的載體，是鞏固知識結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生智力，激發(fā)學(xué)生潛能的重要途徑. 有效的課堂小練，從學(xué)生實際認(rèn)知水平出發(fā)，在尊重學(xué)生生命活動意識的基礎(chǔ)上設(shè)計問題，可讓學(xué)生的思維隨著問題的解決拾級而上，從而有效促進(jìn)學(xué)生更好地掌握知識結(jié)構(gòu). 一般課堂小練以“小量，圍繞核心，高思維”為主. 如本節(jié)課，教師結(jié)合實際情況，設(shè)計了以下兩個問題：

（1）說一說求任意角三角函數(shù)的本質(zhì)是什么;

（2）求的正弦、余弦和正切值.

設(shè)計意圖：看似簡短的兩個問題，卻有著鞏固新知的重要作用. 對于第一個問題，求任意角三角函數(shù)的本質(zhì)就是求角α終邊與單位圓交點的坐標(biāo)，學(xué)生一旦掌握了這個核心知識，那么不論問題會發(fā)生怎樣的變化，最終都能從這個本質(zhì)著手去解決，此問也為后續(xù)綜合問題的解決奠定了基礎(chǔ). 對于第二個問題，是學(xué)生學(xué)以致用的表現(xiàn)，意在鍛煉學(xué)生的實際應(yīng)用能力.

5. 課堂小結(jié)，回顧提煉

要求學(xué)生思考以下三個問題：①本節(jié)課獲得了哪些知識？說一說銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系;②本節(jié)課應(yīng)用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？③說一說你在本節(jié)課的收獲、感受與體會.

設(shè)計意圖：第一個問題是對本節(jié)課知識的總結(jié)，學(xué)生回顧知識的同時可厘清知識脈絡(luò)，梳理知識結(jié)構(gòu)，完善認(rèn)知;第二個問題主要引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課涉及的化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、方程、符號轉(zhuǎn)化以及函數(shù)等思想，提升思維能力;第三個問題是發(fā)展學(xué)生個性的問題，考慮到學(xué)生客觀存在的個體差異，這個問題不同的學(xué)生會呈現(xiàn)出不一樣的答案，堅持學(xué)生個性發(fā)展與全面發(fā)展的辯證統(tǒng)一.

6. 作業(yè)布置，鞏固提升

時教必有正業(yè)，退息必有居學(xué). 隨著新課改的深入與推進(jìn)，如今對學(xué)生的能力測評重點正朝多元化的方向發(fā)展. 本節(jié)課的教學(xué)重點為任意角的三角函數(shù)，作業(yè)設(shè)計固然以此為中心，結(jié)合學(xué)生的實際情況，作業(yè)設(shè)計如下：

（1）觀察下列函數(shù)值，其中符號是負(fù)的有______. （填序號）

①cos（-220）°;

②sin（-10000°）;

③tan（-10）;

④sinπcosπcosπ.

（2）若β為第二、三、四象限角，那么點P（sinβ，cosβ）分別在______、______、______象限;

（3）若角θ的終邊過點M（x，y），MO=r（r>0）（點O為坐標(biāo)原點），則sinθ，cosθ，tanθ分別是多少？

（4）思考：若角β的終邊過點P（-3cosα，4cosα），且α∈

+2kπ，（2k+1）π（k∈Z），則角β的各個三角函數(shù)值分別是多少？

（5）預(yù)習(xí)下一節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

設(shè)計意圖：多元化的作業(yè)設(shè)計不僅規(guī)避了作業(yè)的枯燥性，還在一定程度上為教師從多角度評價學(xué)生的學(xué)習(xí)成效提供了依據(jù). 以上作業(yè)并不要求所有學(xué)生全部完成，而是讓學(xué)生根據(jù)實際認(rèn)知水平選擇作業(yè). 如基礎(chǔ)水平薄弱的學(xué)生，只要完成最基礎(chǔ)的（1）（2）（5）即可;中等水平的學(xué)生要求完成（1）（2）（3）（5）;而學(xué)有余力的學(xué)生則要求完成所有作業(yè). 當(dāng)然，應(yīng)鼓勵學(xué)生“跳一跳，摘到桃”，去完成高層次作業(yè)，以突破自我，建立學(xué)習(xí)信心.

[?]教學(xué)思考

1. 重視問題驅(qū)動的重要性

問題是數(shù)學(xué)的靈魂. 從數(shù)學(xué)史的發(fā)展歷程來看，一切知識的形成和發(fā)展都是問題發(fā)現(xiàn)和解決的過程. 本節(jié)課教學(xué)，教師通過“問題鏈”的方式驅(qū)動學(xué)生思維，推進(jìn)課堂教學(xué)，讓知識間建構(gòu)成系統(tǒng)性和邏輯性關(guān)系. 如銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)的類比，讓學(xué)生從結(jié)構(gòu)上認(rèn)清各個知識點的本質(zhì).

2. 把握問題本身的意義

每一個問題的提出都應(yīng)該是深思熟慮的，既要考慮到學(xué)生大腦中的信息組塊，還要清晰問題提出的意圖與目標(biāo)，并從邏輯角度分析其是否能承擔(dān)預(yù)期的作用[3]. 本節(jié)課中，教師提出的每一個問題都是基于教學(xué)目標(biāo)而展開的，一環(huán)接一環(huán)的問題不僅凸顯了問題本身帶來的知識與技能的教學(xué)意義，還具有引導(dǎo)學(xué)生思維發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生能力提升的作用.

3. 注重學(xué)習(xí)動機(jī)的激發(fā)

學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體，一切課堂活動的開展都應(yīng)圍繞學(xué)生的發(fā)展而進(jìn)行. 同樣，每一個問題的設(shè)計，都應(yīng)以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)為目的. 本節(jié)課中，教師從三角函數(shù)的重要性出發(fā)，與學(xué)生一起回顧銳角三角函數(shù)相關(guān)知識，有效激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī). 同時，知識的探究過程中，教師都是基于動機(jī)而提問、引導(dǎo)的;學(xué)生在類比分析中，經(jīng)歷了從特殊到一般的認(rèn)知過程，積累了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，也充分認(rèn)識到單位圓定義任意角三角函數(shù)的優(yōu)勢.

總之，教學(xué)是不斷實踐與探索的過程，教師只有在準(zhǔn)確把握學(xué)情的基礎(chǔ)上，邊教學(xué)、邊反思、邊總結(jié)，才能從真正意義上提出高質(zhì)量的問題，喚醒學(xué)生的求知欲，激發(fā)學(xué)生的潛能，促進(jìn)學(xué)生各項能力的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

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