立足教材 關注發(fā)展

曾慶國

[摘 ?要] 在高中數(shù)學教學中，教師要從學生實際出發(fā)，立足教材，充分發(fā)揮例習題的使用功能，鼓勵學生獨立思考和合作交流，有效提升教學品質. 同時，在實際教學中，教師應從學生的角度思考問題、解決問題，巧妙利用問題誘發(fā)學生深度思考，提升學生的學習品質，助力學生全面發(fā)展.

[關鍵詞] 立足教材;獨立思考;學習品質

教材是眾多教育專家的智慧結晶，是教學之本，其在教學中的意義和價值是不言而喻的. 若想打造好課堂，教師在教學中就要應用好教材，切實把握教材內容的內涵和外延，以便對知識形成深刻的理解和感悟[1]. 不過，在實際教學中，部分教師為了追求解題效率，將大多精力放在解題教學上，忽視了對教材資源的深度挖掘，未能展示教材內容豐富的內涵，使得教材的價值難以充分體現(xiàn)，影響了學生思維能力的發(fā)展. 另外，教材因限于篇幅省略了許多思維過程，若在教學中不能加以呈現(xiàn)，則學生對知識的理解可能一知半解，從而容易出現(xiàn)似懂非懂的情況. 因此，在實際教學中，教師要立足教材，認真研究分析教材，理解教材的設計意圖，充分挖掘例習題的使用功能，帶領學生經歷知識形成和發(fā)展的過程，讓學生將知識學懂學會，并可以靈活應用. 另外，在實際教學中，教師除了要認真解讀教材外，還要結合教學的主客觀條件以及學生的實際情況重構教學內容，學會站在學生的角度去思考和解決問題，以此提升教學質量. 教學中應如何立足教材，優(yōu)化教學呢？筆者結合教學經驗，談幾點看法，若有不足，請指正.

[?]理解教材設計意圖

對于如何備課，不同的教師有著不同的備課方法和習慣，不過不管應用何種方法和手段，教師都要認真研究教材、研究學生、研究教學，切實從教學實際出發(fā)，精心籌備教學活動. 但在實際教學中，尤其是在公開課、匯報課上，大多數(shù)教師將主要精力用在課件的設計上，對教材的研究時間很少，從而造成教師對教材的挖掘不夠深入，未能理解教材真正的設計意圖，導致教學效果不佳，事倍功半. 因此，教師應深入研究教材，理解教材的設計意圖，充分挖掘教材蘊含的數(shù)學思想和潛在價值，這樣在教學中才能用好教材，優(yōu)化教學.

案例1 某地在市郊的小山上建立一座電視發(fā)射塔. 如圖1所示，小山的高BC約為30米，在水平地面上有一點A，測得A，C兩點的距離為67米，從點A觀察電視發(fā)射塔的視角（∠CAD）約為45°，求電視發(fā)射塔的高度.

圖1為人教A版必修4中的“三角恒等變換”章頭圖，問題乍一看很簡單，根據(jù)已知可設電視發(fā)射塔的高度CD=x米，∠CAB=α，則sinα=. 在Rt△ABD中，tan（45°+α）=tanα，于是x=-30. 對于這個問題，主要有兩種解決方案：一是根據(jù)sinα=，求出α值，代入上式求解;二是根據(jù)tan（45°+α）與tanα，tan45°的關系求解. 以上是從學生的角度出發(fā)，按照學生的思路進行的有效分析. 教材編者這樣設計問題的目的到底是什么呢？難道僅是考查學生的數(shù)學運算能力嗎？難道其所要研究的僅是問題本身嗎？答案自然是否定的. 對于第一種解決方案，該方案是學生最容易想到的，也是最易于理解的. 不過根據(jù)sinα=，求出α值，需要借助計算器，可操作性差，不是最優(yōu)方案，但可以借此與學生已有的知識結構產生沖突，激發(fā)他們探究新知的熱情. 對于第二種解決方案，若能發(fā)現(xiàn)tan（45°+α）與tanα，tan45°的關系，就能從中抽象出一般的數(shù)學公式，這就是教材的設計意圖：通過具體情境引出問題，即對一般情況，當α，β為任意角時，能否用α，β的三角函數(shù)值表示α+β和α-β的三角函數(shù)值，讓學生領悟探究新知的必要性，激發(fā)學生的探究熱情.

為了更好地教學，教師要站在學生的角度思考問題，例如探究案例1時，當學生給出第一種解決方案，利用計算器求解時，教師不要急于否定，也不要視而不見，可以嘗試順著學生的思路去思考，引導學生自主發(fā)現(xiàn)第一種解決方案存在的不足，由此讓學生自然地過渡到新知的探究中去，以此激發(fā)學生對新知識、新方法的探究熱情.

理解教材真正的編寫意圖并掌握學生的基本思維路徑后，教師便可以引導學生站在更高的角度去理解教材、應用教材，優(yōu)化認知，完成知識的系統(tǒng)化建構.

[?]挖掘習題的使用功能

教材例習題經過教育專家仔細推敲、認真打磨，是鞏固知識、提高思維水平的重要載體. 教材例習題一般起點低、入口寬，符合學生的認知發(fā)展規(guī)律，易于激發(fā)學生的數(shù)學學習熱情，培養(yǎng)學生的解題信心[2]. 同時，例習題的視角比較開放，若能合理利用，則有助于發(fā)散學生的數(shù)學思維. 因此，在例習題教學后，教師要為學生營造廣闊的探究空間，引導學生進行全方位、多角度的探究，以此培養(yǎng)學生思維的靈活性和變通性，提升學生的學習能力，實現(xiàn)知識的“再創(chuàng)造”.

案例2 已知圓C：x2+y2+2x+8y-8=0，圓C：x2+y2-4x-4y-2=0相交于A，B兩點，試判斷圓C和圓C的位置關系.

本題較為簡單，教師可以將學習主動權交給學生，引導學生用代數(shù)法和幾何法來判斷兩圓的位置關系. 在順利求解后，教師進一步對例題進行挖掘，引導學生繼續(xù)探究.

探究：已知圓C：x2+y2+2x+8y-8=0，圓C：x2+y2-4x-4y-2=0相交于A，B兩點，求直線AB的方程.

引導學生經歷“定交點，求方程”的過程，通過求解后反思發(fā)現(xiàn)“直線AB的方程就是圓C和圓C的方程之差”. 總結出規(guī)律后，教師可以引導學生進行類比猜想：若C1，C2兩圓相切，此時圓C和圓C的方程相減，又能得到什么呢？由此猜想“兩圓由相交逐漸分離，當A，B兩點‘合二為一時，相切兩圓的方程相減可得過公切點的切線方程”. 當然猜想不能作為結論，故猜想后要進行推導和驗證，在此環(huán)節(jié)中為了便于學生獲得直觀感受，并順利驗證該結論的正確性，教師可以應用幾何畫板驗證一般情況，從而得出“若圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0與圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0相切，則圓C與圓C的方程之差（D-D）x+（E-E）y+（F-F）=0表示兩圓的公切線方程”. 當學生經歷猜想、探究、分析等過程后，教師可以順勢引導他們繼續(xù)探究思考兩圓相離或內含時，兩圓方程相減又能得到什么. 學生通過特例發(fā)現(xiàn)以上兩種情況雖然沒有公共點，但是兩圓方程相減能夠得到一直線方程，可以激發(fā)學生對該方程所具有的特殊含義進行探究，然后利用幾何法分析發(fā)現(xiàn)，該直線與兩圓連心線垂直.

通過對例習題的充分挖掘，從相交到相切，再到相離或內含，將相關知識進行串聯(lián)，可以達到“解一題通一類”的效果，有助于學生優(yōu)化認知結構.

在數(shù)學教學中，解題是鞏固知識、強化技能的重要手段，但這并不是教學的最終目的，其最終目的是通過適當練習提高學生分析問題和解決問題的能力，因此在例習題教學中切忌“就題論題”，應引導學生從各個角度、各個知識點去考察和分析例習題，關注知識點間的前后聯(lián)系，注意知識的橫縱拓展和延伸，從而建構完善的認知結構. 同時，教學中教師要關注學生的思維過程，引導學生從理性的高度分析問題、解決問題，通過觀察、類比、思考、探究等去更好地理解數(shù)學. 另外，在例習題教學中，教師要控制好“量”，切勿為了追求“多”而將學生帶入“題?！? 這樣做不僅會給學生帶來額外的課業(yè)負擔，而且會占用學生獨立思考和自主探究的時間;不僅會抑制學生思維能力的發(fā)展，而且容易使學生出現(xiàn)厭煩情緒. 故在數(shù)學教學中，教師要注重挖掘例習題的使用功能，借助“少而精”的問題，實現(xiàn)學生思維能力的大發(fā)展，促進其解題能力提升.

[?]經歷有效的思維訓練

數(shù)學是一門邏輯性較強的學科，若在學習過程中忽視了知識間的聯(lián)系，則難以實現(xiàn)知識的系統(tǒng)化建構，勢必影響知識的遷移. 要知道，數(shù)學學習過程是認知結構完善和優(yōu)化的過程，如果學生在學習過程中不能將知識串聯(lián)起來，那么對知識的理解一定是片面的. 判斷學生是否理解了新知識，并不是看學生利用新知識解決了多少問題，而是看學生是否將已有知識連在了一起. 因此，在實際教學中，教師應合理應用教材，關注學生的已有知識和已有經驗，多帶領學生經歷知識發(fā)生和發(fā)展的過程，通過有效的思維訓練幫助學生建立完善的認識，從而實現(xiàn)知識的正向遷移.

案例3 函數(shù)圖像的平移和伸縮變換.

函數(shù)是高中數(shù)學教學重點，而函數(shù)圖像的平移和伸縮變換是公認的教學難點. 學生之所以認為它難并不是因為它難以理解，而是因為學習時沒有與已有知識建立聯(lián)系，或者錯誤地聯(lián)系已有知識而發(fā)生了知識負遷移. 如根據(jù)已有知識和經驗，容易出現(xiàn)負遷移的原有知識有：①對于圖像的平移，坐標軸上“左負右正，下負上正”;②對于圖像的伸縮變換，當0<λ<1時，圖像縮短原來的λ倍;③當有平移也有收縮變換時，應先平移后變換. 若在教學中讓學生死記硬背、生搬硬套，不僅難以讓學生理解，而且容易發(fā)生知識負遷移. 因此，教學中教師可以利用平移公式x′=x+h，

y′=y+k和伸縮公式x′=λx（λ>0），

y′=μx（μ>0）幫助學生建立新舊知識的聯(lián)系，引導學生經歷知識形成和發(fā)展的過程，以此幫助學生深化理解.

經歷以上探究后，教師給出了這樣一個問題：將函數(shù)的圖像先向左平移個單位，然后將圖像上各點的橫坐標縮短至原來的，縱坐標伸長至原來的3倍，得到函數(shù)________ 的圖像.

學生結合平移公式和伸縮公式，給出了如下求解過程：y=6sin

2x+→y=6sin2

x+

+→y=6sin

2

2x+ +

→=6sin2

2x+

+→y=18sin

4x+.

從練習反饋來看，學生解題時顯然游刃有余. 可見，立足已有認知，將新舊知識進行串聯(lián)，可有效化解教學難點，使學生的思維更加有序，解題能力提到提升.

[?]引導學生獨立思考

獨立思考是學生獲得知識、內化知識、發(fā)展智力、提升能力的重要手段，其在教學中的價值和意義是不可取代的，應始終放在教學首位. 不過，在高中數(shù)學教學中，為了追求高效，部分教師依然采用“填鴨式”的教學方式，忽視了學生獨立思考能力的培養(yǎng)，抑制了學生的思維發(fā)展. 為了打破這一局面，教師應認真研究教材、研究學生，合理布局，為激發(fā)學生獨立思考創(chuàng)造條件，并通過有效啟發(fā)和引導，讓學生學會思考，進而發(fā)展學生的獨立思考能力.

案例4 已知實數(shù)x，y滿足不等式（等式）組2x-y≥0，

x≤3，

x+y-4=0，則的最小值為________.

這是在線性規(guī)劃的復習課上，教師給出的一道隨堂練習題. 從練習反饋來看，練習效果不理想. 為了讓學生能夠學懂吃透，教師沒有直接給出答案，而是借助“問題鏈”引導學生獨立思考.

問題1：根據(jù)這個不等式（等式）組，你想到了什么？

從學生反饋來看，大多數(shù)學生根據(jù)已知想到了可行域、線段.

問題2：由可行域或線段，你能解決什么問題？

該問題比較開放，學生給出了多種不同的答案，如研究ax+by+c的取值范圍，求或x2+y2的取值范圍，等等. 從學生反饋來看，并沒有得到教師想要的答案，經過教師的再三引導，學生想到了求或的取值范圍的問題.

問題3：仔細觀察代數(shù)式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

有了問題2的鋪墊，學生容易發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式可變形為，由此將原問題轉化為求的取值范圍的問題.

從以上教學過程來看，教師為學生創(chuàng)造了一個開放的、自由的問題環(huán)境，以此培養(yǎng)學生獨立思考的能力，不過學生還沒有完成“在已有知識到變形知識上的改變”. 因此，教學中教師要扮演好促進者、引導者、啟發(fā)者的角色，耐心地指導教學，從學生的實際情況出發(fā)，了解學生之所思、所想、所困，從而通過巧妙引導，激活學生認知內驅力，實現(xiàn)認知結構的有效對接，為發(fā)展學生的思維能力創(chuàng)造良好的契機.

總之，教學中教師切勿越俎代庖，要為學生預留充足的時間去發(fā)現(xiàn)、探究，鼓勵學生通過獨立思考和合作探究來培養(yǎng)“四基”和發(fā)展“四能”.

參考文獻：

[1] ?占星星，紀憲禹. 讓數(shù)學核心素養(yǎng)在教材、教學和訓練中落地生根——關于數(shù)學核心素養(yǎng)的對話[J]. 中國數(shù)學教育，2017（06）：2-5+13.

[2] ?嚴江華. 重視教材例題的開發(fā) 培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力[J]. 上海中學數(shù)學，2021（05）：8-9+18.