基于范希爾幾何理論的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究

陳玉蓮 令狐泓 嚴(yán)艷華

[摘 ?要] 范希爾幾何理論是重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀有著重要的教學(xué)意義. 深入研究分析其理論內(nèi)涵和五個(gè)教學(xué)階段，并以“正弦定理”為例設(shè)計(jì)教學(xué)，基于案例提出三點(diǎn)教學(xué)思考：一是厘清范希爾的五個(gè)教學(xué)階段，二是有效結(jié)合信息技術(shù)，三是以學(xué)生為主，旨在更好地指導(dǎo)教學(xué).

[關(guān)鍵詞] 范希爾幾何理論;教學(xué)設(shè)計(jì);正弦定理

[?]問(wèn)題提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》不僅將幾何直觀作為課標(biāo)十個(gè)核心關(guān)鍵概念之一，而且把“圖形與幾何”劃分到四大課程內(nèi)容當(dāng)中[1]，其充分體現(xiàn)了幾何圖形學(xué)習(xí)的重要性. 2018年，教育部頒布了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》，將直觀想象作為六大核心素養(yǎng)之一[2]. 可見(jiàn)，加強(qiáng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)培養(yǎng)的重要性不言而喻.幾何內(nèi)容作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，無(wú)論是在實(shí)際教學(xué)內(nèi)容，還是在高考的考查中，都占據(jù)著相當(dāng)大的比重. 然而，從目前教學(xué)現(xiàn)狀來(lái)看，絕大多數(shù)學(xué)生的幾何水平并不理想，這不僅暴露了學(xué)生直觀想象能力的缺乏，而且阻礙了學(xué)生邏輯推理能力的發(fā)展. 針對(duì)學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)困境，積極探索解決方法，以發(fā)展學(xué)生幾何推理能力，刻不容緩.范希爾幾何理論自提出以來(lái)，一直是幾何教與學(xué)的關(guān)注點(diǎn)，是數(shù)學(xué)教育界研究的熱點(diǎn)話題. 因此，基于范希爾幾何理論框架，對(duì)“正弦定理”教學(xué)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)，以期為幾何教學(xué)提供參考.

[?]范希爾幾何理論

范希爾幾何理論主要包含兩個(gè)內(nèi)容：一是幾何思維的五個(gè)水平，既可用來(lái)判斷學(xué)生幾何思維現(xiàn)狀，也可指導(dǎo)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì);二是與五個(gè)水平對(duì)應(yīng)的五個(gè)教學(xué)階段，這就為幾何教學(xué)搭建了一種模式和框架[3]. 研究基于五個(gè)教學(xué)階段，完成幾何教學(xué)設(shè)計(jì)，以起到提升學(xué)生幾何直觀能力的作用. 五個(gè)教學(xué)階段分別如下：

階段1：學(xué)前咨詢. 對(duì)于學(xué)習(xí)對(duì)象，教師與學(xué)生雙向了解，教師幫助學(xué)生如何認(rèn)知指導(dǎo)語(yǔ)，并闡述和厘清要學(xué)習(xí)的課堂內(nèi)容，為熟悉相應(yīng)知識(shí)做鋪墊.

階段2：引導(dǎo)定向. 教師合理設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)細(xì)節(jié)和順序，明確學(xué)生的學(xué)習(xí)方向，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到整個(gè)活動(dòng)過(guò)程的結(jié)構(gòu)特征.

階段3：闡明. 經(jīng)歷了前面的探究活動(dòng)過(guò)程，教師給予啟發(fā)誘導(dǎo)，學(xué)生增長(zhǎng)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并明確詞匯的含義和意義，能夠充分表達(dá)個(gè)人對(duì)該結(jié)構(gòu)的意見(jiàn)，逐步形成學(xué)習(xí)的關(guān)聯(lián)體系.

階段4：自由定向. 面對(duì)相對(duì)復(fù)雜的作業(yè)習(xí)題能夠用不同的方法完成任務(wù)，在積極探索解決方案和方法中，收獲活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

階段5：整合. 學(xué)生回顧自己解決問(wèn)題的過(guò)程，形成一定的思想和方法，并將相關(guān)對(duì)象和內(nèi)容進(jìn)行內(nèi)化處理，從而進(jìn)入一個(gè)全新的思維領(lǐng)域，得到成長(zhǎng).

[?]正弦定理的教學(xué)設(shè)計(jì)

階段1：學(xué)前咨詢.

設(shè)計(jì)1：設(shè)置情境，激發(fā)興趣.

如圖1所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，在A的河岸同一側(cè)取一點(diǎn)C，已知AC=450 m，如何測(cè)出A，B兩地的距離？

學(xué)生：測(cè)出角A和角C.

教師：假如現(xiàn)在測(cè)出∠A=75°，∠C=45°，怎么求解A，B兩地的距離呢？

學(xué)生：利用初中相似三角形知識(shí)，畫出三角形A′B′C′，其中A′C′=4.5 cm，∠A′=75°，∠C′=45°，通過(guò)測(cè)量，可以得出A′B′=3.67 cm，再利用相似三角形性質(zhì)可得AB=367 m.

教師：做得不錯(cuò). 通過(guò)初中相似三角形知識(shí)，能夠幫助我們解決該問(wèn)題.我們初中也學(xué)過(guò)直角三角形相關(guān)知識(shí)，能否利用直角三角形知識(shí)求解呢？

學(xué)生：過(guò)A作AD⊥BC于D.此時(shí)，將△ABC分成兩個(gè)三角形，接著能夠利用直角三角形相關(guān)知識(shí)解決此類問(wèn)題（過(guò)程略）.

教師：很棒！上述方法都是基于初中知識(shí)而來(lái)的，那么這類問(wèn)題還可以用什么方法來(lái)解決呢？（設(shè)置懸念）

設(shè)計(jì)2：回顧初中“邊與角”關(guān)系.

教師：對(duì)于一個(gè)三角形，我們?nèi)绾闻袛嗄膫€(gè)是最小角、哪個(gè)是最大角？哪個(gè)是最短邊、哪個(gè)是最長(zhǎng)邊？能否總結(jié)其中蘊(yùn)含的規(guī)律？

學(xué)生：可以利用“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”來(lái)判斷.

教師：大邊、大角，小邊、小角！這僅僅是直觀的定性描述，到底如何準(zhǔn)確量化邊和角的關(guān)系呢？對(duì)此，這節(jié)課我們不得不重新研究三角形.

設(shè)計(jì)意圖：一方面，通過(guò)情境導(dǎo)入，利用實(shí)際生活問(wèn)題，復(fù)習(xí)初中所學(xué)相關(guān)內(nèi)容，起到“溫故知新”的作用，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力.另一方面，利用問(wèn)題引出正弦定理，讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容產(chǎn)生興趣.

階段2：引導(dǎo)定向.

設(shè)計(jì)3：直角三角形中“邊與角”的關(guān)系.

教師：在RT△ABC中，已知∠A所對(duì)的邊為a，∠B所對(duì)的邊為b，∠C所對(duì)的邊為c. 我們學(xué)過(guò)正弦、余弦、正切，今天我們從正弦出發(fā)，在圖2中，我們能發(fā)現(xiàn)∠A，∠B，∠C，a，b，c之間有何數(shù)量關(guān)系嗎？

學(xué)生：可以得到sinA=和sinB=，即==c.

教師：根據(jù)式子形式，能夠發(fā)現(xiàn)什么問(wèn)題？c與sinC和上式能否建立等式關(guān)系？

學(xué)生：等式左右兩邊具有一定的對(duì)稱關(guān)系.由上式可知==，而sinC=sin90°=1，因此==.

教師：非常棒！

教師：通過(guò)上述分析，我們發(fā)現(xiàn)三角形中居然蘊(yùn)含著這種邊角關(guān)系.既然我們已經(jīng)找出了這個(gè)正弦定理，那么這節(jié)課就上到這里了，下課！

學(xué)生：（學(xué)生感到困惑——為何早早下課，并發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題）不對(duì)！我們僅僅針對(duì)直角三角形發(fā)現(xiàn)了該關(guān)系式.

教師：其他三角形是否具備這樣的關(guān)系式？

此時(shí)學(xué)生處于疑惑當(dāng)中，教師利用幾何畫板，通過(guò)拖動(dòng)A點(diǎn)，改變?nèi)切涡螤?，使邊與角不斷變化，如圖3所示. 學(xué)生通過(guò)觀察，能夠發(fā)現(xiàn)各邊與其對(duì)角的正弦值之比是相等的，即說(shuō)明上式在直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形中都成立.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)引導(dǎo)使學(xué)生猜想得出等式==，以直角三角形為研究對(duì)象，實(shí)現(xiàn)特例分析，經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程. 同時(shí)，通過(guò)幾何畫板動(dòng)態(tài)演示，讓抽象的內(nèi)容可視化，學(xué)生由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律，降低學(xué)生對(duì)抽象問(wèn)題的理解難度.

階段3：闡明.

設(shè)計(jì)4：探究銳角三角形、鈍角三角形.

通過(guò)設(shè)計(jì)3的內(nèi)容展現(xiàn)，學(xué)生能夠得出==對(duì)所有三角形都是成立的，但為了加深學(xué)生的認(rèn)知，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，接下來(lái)，基于銳角三角形和鈍角三角形對(duì)上述式子進(jìn)行論證.

教師：前面我們是通過(guò)直角三角形得到的==，那么在銳角三角形中怎么去證明它是成立的呢？

學(xué)生：繼續(xù)利用直角三角形！

教師：具體怎么做？

學(xué)生：通過(guò)圖4所示，我們發(fā)現(xiàn)sinC=，sinB=，即AD=bsinC=csinB，即=.

教師：那么怎么找？

學(xué)生：同樣地，如圖5所示，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于E，能夠得到sinC=，sinA=，BE=asinC=csinA，即=，因此==.

教師：非常好. 接下來(lái)，大家試著在鈍角三角形中進(jìn)行證明.

學(xué)生：如圖6所示. 延長(zhǎng)CB，過(guò)A點(diǎn)作AD⊥CD，垂足為D，可得AD=bsinC=csin∠ABD=csin（180°-∠ABC）=csin∠ABC，即=. 同理可得=. 故==.

即可得出正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即==.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)銳角三角形和鈍角三角形中正弦定理的證明，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.在證明過(guò)程中，教師適當(dāng)啟發(fā)誘導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷正弦定理的證明過(guò)程，養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.

階段4：自由定向.

設(shè)計(jì)5：正弦定理的應(yīng)用探索.

問(wèn)題1：解三角形.一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素，求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.

題1：在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若A∶B∶C=1∶2∶3，則a∶b∶c等于（ ?）

A. 1∶2∶3 B. 2∶3∶4

C. 3∶4∶5D. 1∶∶2

題2：在△ABC中，A=60°，a=，b=，則B等于（ ?）

A. 45°或135°B. 60°

C. 45° D. 135°

題3：在△ABC中，b=1，c=，C=，則a=________.

問(wèn)題2：正弦定理的使用條件.

教師：通過(guò)上面的例題，發(fā)現(xiàn)正弦定理能夠幫助我們解決哪種類型的三角形問(wèn)題？

學(xué)生：已知三角形任意兩角及一邊，可解出其余邊和角.

教師：還有嗎？

學(xué)生：已知三角形任意兩邊和其中一邊的對(duì)角，可解出其余邊和角.

教師：回答得很好. 通過(guò)習(xí)題訓(xùn)練，大家都明確了正弦定理的相關(guān)應(yīng)用.那么已知兩邊和夾角，怎么解三角形？

（學(xué)生陷入沉思）

教師：這個(gè)問(wèn)題現(xiàn)在我們還無(wú)法解決，需要下節(jié)課學(xué)習(xí)余弦定理后來(lái)解決該問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}1的提出，學(xué)生能夠在實(shí)際解題中體驗(yàn)正弦定理的應(yīng)用，并鞏固所學(xué)知識(shí). 問(wèn)題2基于問(wèn)題1的習(xí)題訓(xùn)練，讓學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)活動(dòng)，提出并歸納正弦定理的使用條件. 同時(shí)，設(shè)置懸念問(wèn)題，為下節(jié)課學(xué)習(xí)做好鋪墊，激發(fā)學(xué)生對(duì)下節(jié)課學(xué)習(xí)的興趣.

階段5：整合.

設(shè)計(jì)6：以問(wèn)答形式總結(jié)反思.

通過(guò)問(wèn)答形式讓學(xué)生歸納和總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容，回顧正弦定理的證明過(guò)程.總結(jié)其中涉及的知識(shí)點(diǎn)、思想和方法，并強(qiáng)調(diào)正弦定理的使用條件.

提出課后思考問(wèn)題：（1）還有沒(méi)有其他方法可以證明正弦定理？（2）已知兩邊和夾角，怎么解三角形？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生自己歸納和總結(jié)，以鞏固和復(fù)習(xí)這節(jié)課內(nèi)容，收獲思想和方法，并提升學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.利用課后思考問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生課后探索求知的興趣.

[?]教學(xué)反思

基于范希爾幾何理論設(shè)計(jì)正弦定理這節(jié)課，能夠更好地引導(dǎo)教學(xué)方向，促進(jìn)高質(zhì)量教學(xué)課堂的構(gòu)建，提升學(xué)生幾何直觀能力，以下是幾點(diǎn)教學(xué)思考.

1. 厘清五個(gè)教學(xué)階段，使教學(xué)內(nèi)容更具系統(tǒng)性、層次感

結(jié)合范希爾幾何理論的五個(gè)教學(xué)階段，教師能夠充分把握教學(xué)進(jìn)度，合理設(shè)計(jì)教學(xué)，如情境創(chuàng)設(shè)、“問(wèn)題串”設(shè)計(jì)、自主探究活動(dòng)等環(huán)節(jié)，這樣既能夠讓教師在課堂教學(xué)中做到游刃有余，也能關(guān)注到學(xué)生的發(fā)展和探究能力的培養(yǎng)，促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的提升，真正做到在教學(xué)中教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá). 重視情境問(wèn)題的創(chuàng)設(shè)，情境要貼合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平.設(shè)計(jì)“問(wèn)題串”，能夠激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和求知欲. 在解決問(wèn)題過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力，增強(qiáng)學(xué)生問(wèn)題提出和解決的能力. 在新課程背景下，要求增加學(xué)生自主探究環(huán)節(jié)，旨在強(qiáng)調(diào)學(xué)生基于情境，獨(dú)立解決問(wèn)題，積累豐富的學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在探究中習(xí)得關(guān)鍵的數(shù)學(xué)思想和方法. 基于范希爾幾何理論設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，更具系統(tǒng)性、層次感. 一方面，教學(xué)知識(shí)規(guī)劃更系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)范希爾幾何理論的五個(gè)教學(xué)階段來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，使得教學(xué)時(shí)間分配和教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)上更為合理. 另一方面，教學(xué)過(guò)程更具層次感. 知識(shí)學(xué)習(xí)應(yīng)遵循循序漸進(jìn)的原則，能夠做到由淺到深、由簡(jiǎn)到繁，更好地滿足學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展.

2. 有效結(jié)合信息技術(shù)，讓教學(xué)更加生動(dòng)直觀

在正弦定理教學(xué)中，在探究各邊與其對(duì)角正弦的比值中，適當(dāng)借助幾何畫板，將常見(jiàn)的三種三角形的邊與對(duì)角正弦值之比表示出來(lái)，學(xué)生通過(guò)觀察圖形變化，能夠發(fā)現(xiàn)其比值始終是相等的，從而得出正弦定理，這樣做不僅將復(fù)雜、抽象的內(nèi)容具體化，而且能夠加深學(xué)生對(duì)正弦定理的理解，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R(shí)體系，在今后的正弦定理使用中，能夠做到厘清知識(shí)誤區(qū)，準(zhǔn)確應(yīng)用于實(shí)際解題中.

3. 以學(xué)生為主體，促進(jìn)“三教”的生成

無(wú)論是情境問(wèn)題的創(chuàng)設(shè)，還是教學(xué)中正弦定理證明的探索過(guò)程，都強(qiáng)調(diào)學(xué)生為主體的教學(xué)觀，具體應(yīng)從以下三點(diǎn)出發(fā)：一是要教會(huì)學(xué)生“思考”. 教學(xué)要做到“不憤不啟，不悱不發(fā)”，目的是在嚴(yán)格要求學(xué)生的同時(shí)，適時(shí)啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生思考，給予學(xué)生足夠的思考時(shí)間，讓學(xué)生經(jīng)歷思考的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力. 二是要教會(huì)學(xué)生“體驗(yàn)”. 著名教育家杜威提倡“做中學(xué)”，目的就是要求學(xué)生在課堂中，通過(guò)經(jīng)歷實(shí)踐活動(dòng)，在探究問(wèn)題的過(guò)程中，能夠積累豐富的知識(shí)及活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這樣有助于構(gòu)建較為系統(tǒng)的、完整的知識(shí)體系，對(duì)于學(xué)生后期學(xué)習(xí)是十分有益的.三是教會(huì)學(xué)生表達(dá). 培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力并非一蹴而就，因此要落實(shí)到教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中. 教學(xué)是師生、生生互動(dòng)的過(guò)程，在教學(xué)問(wèn)答中，要關(guān)注學(xué)生表達(dá)的方式和語(yǔ)言的準(zhǔn)確性，適時(shí)糾正學(xué)生表達(dá)的誤區(qū). 在探究環(huán)節(jié)中，要倡導(dǎo)學(xué)生間的合作交流，積極營(yíng)造良好的活動(dòng)氛圍，讓每個(gè)學(xué)生都能參與其中，積極表述各自對(duì)問(wèn)題的看法.

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