一類含多時(shí)滯和擴(kuò)散項(xiàng)的非標(biāo)準(zhǔn)離散模型

廖 書, 方章英, 楊煒明

(重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400067)

0 引言

眾所周知，各類型傳染病的傳播對(duì)象、傳播途徑和傳播規(guī)律是關(guān)系到人類生活和國(guó)計(jì)民生的重大問(wèn)題，長(zhǎng)久以來(lái)一直是研究者致力探索的重要內(nèi)容。近年來(lái)隨著社會(huì)的不斷進(jìn)步，科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，研究者逐漸尋找到傳染病更多的預(yù)防策略和有用的政策法規(guī)，媒體效應(yīng)作為一種重要防控手段吸引了研究者的注意。媒體效應(yīng)指采用圖像、聲音、語(yǔ)言文本、網(wǎng)絡(luò)等多種媒體傳播形式的宣傳，使傳播效應(yīng)立體化、持續(xù)化，能獲得世界每一個(gè)角落人們的關(guān)注和幫助，讓點(diǎn)狀效應(yīng)持續(xù)發(fā)酵，以期達(dá)到項(xiàng)目或者事件的最大成果和效益。在傳染病研究中引入媒體效應(yīng)這一有力因素，可以使各個(gè)國(guó)家各個(gè)階層的人們迅速通過(guò)媒體途徑了解傳染病的相關(guān)信息，既不會(huì)對(duì)傳染病一無(wú)所知，毫無(wú)察覺(jué)，也不會(huì)有談病色變的恐懼心理，正確認(rèn)識(shí)各類疾病的感染原因、傳播方式、預(yù)防方法等，從而積極預(yù)防、規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)、穩(wěn)定情緒，最大限度控制傳染病的流行。

Liu 等人[1]首次建立一個(gè)含媒體影響因子函數(shù)為f(E,I,H)=e?a1E?a2I?a3H的EIH模型。Kaymakamzade 等人[2]建立并分析兩個(gè)分別用來(lái)控制HIV 和AIDS 傳染病模型，他們的研究表明媒體效應(yīng)在這兩種疾病的防控中起到了顯著的作用，并且還討論了模型中最敏感和最有效的參數(shù)。Xiao 和Zhao[3]在經(jīng)典媒體模型的基礎(chǔ)上，改進(jìn)生成一個(gè)分段平滑發(fā)生率，以此更好地反應(yīng)媒體效應(yīng)的作用。其結(jié)果驗(yàn)證了盡管增強(qiáng)媒體效應(yīng)作為防控傳染病的手段不會(huì)徹底消除該流行病，但會(huì)極大的降低感染者的人數(shù)以及延緩傳染病爆發(fā)的時(shí)間。Khan 等[4]研究帶媒體效應(yīng)的乙肝模型，在該文章中不僅分別證明了當(dāng)R0<1 和R0>1 時(shí)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，還運(yùn)用最優(yōu)控制理論尋求最優(yōu)解。更多可參考文獻(xiàn)[5–9]。

注意到在部分涉及到媒體效應(yīng)的傳染病研究中，研究者往往采用時(shí)間連續(xù)模型，但是傳染病的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)往往不是連續(xù)的，而是在一定的時(shí)間間隔下搜集得到的離散數(shù)據(jù)。所以若能在保持連續(xù)模型的性質(zhì)的基礎(chǔ)上有效離散出相應(yīng)的離散傳染病模型可以更好的利用統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行數(shù)值模擬，還可以在收集數(shù)據(jù)時(shí)更加有效、便捷，所以對(duì)于離散模型的研究更具有現(xiàn)實(shí)意義。目前最為廣泛使用的離散方法是1994 年由Mickens 提出的有限差分方法[10–12]，通過(guò)該方離散化后的模型能夠保持包括解的正性、單調(diào)性、周期解的存在性、分支行為、平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性等的微分方程解的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。相關(guān)文獻(xiàn)還可以參見(jiàn)[13–18]。

不得不注意到，在現(xiàn)實(shí)的傳染病系統(tǒng)中，時(shí)滯效應(yīng)和擴(kuò)散現(xiàn)象更是不可忽略的因素，這二者會(huì)共同影響傳染病模型的精確度和真實(shí)性。而同時(shí)考慮時(shí)滯和空間擴(kuò)散的偏微分系統(tǒng)比較困難，研究的起步較晚，現(xiàn)有的文獻(xiàn)也不多，可參見(jiàn)文獻(xiàn)[19–22]。Mahaffy 和Pao[23]率先在1984 年提出一個(gè)具有空間效應(yīng)的時(shí)滯微分方程的基因控制模型。Wang 等[24]建立了具有時(shí)滯和雙線性感染率的偏微分方程模型，并證明空間是齊次時(shí)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性分析。Hattf 和Yousfi[25]建立了一個(gè)帶時(shí)滯和空間擴(kuò)散的肝炎HBV 模型，滿足Neumann 邊值條件和非線性感染率，并建立李雅普諾夫函數(shù)證明無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。Xu 和Ma[26]也同樣建立一個(gè)帶時(shí)滯和空間擴(kuò)散的肝炎HBV 模型，通過(guò)對(duì)特征根的分析討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，再通過(guò)比較準(zhǔn)則，證明平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。Geng 等[27]建立一個(gè)帶時(shí)滯和空間擴(kuò)散的病毒感染模型，用NSFD 方法離散原連續(xù)模型，該文章的結(jié)果證明離散后的模型與原連續(xù)模型保持相同的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。

為了更好的制定傳染病控制策略，本文首先建立含有媒體效應(yīng)的模型。其次，必須考慮到時(shí)滯對(duì)模型造成的影響：不但媒體在信息收集上產(chǎn)生一定的滯后性，通常人們?cè)诮邮艿较嚓P(guān)的媒體信息后，一般很難馬上作出反應(yīng)，才是再次產(chǎn)生時(shí)滯。最后，由于傳染病除了在時(shí)間上的演化發(fā)展，大多還存在空間上的擴(kuò)散現(xiàn)象，進(jìn)而最終建立起帶擴(kuò)散項(xiàng)的時(shí)滯微分模型。進(jìn)一步，利用非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法建立相應(yīng)的離散模型，證明平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。最后，數(shù)值模擬可以驗(yàn)證理論結(jié)果。

1 PDE 模型及基本性質(zhì)

我們將易感者分為無(wú)意識(shí)的易感者S(x,t)，和有意識(shí)的易感者A(x,t)兩類，且暫時(shí)只考慮個(gè)體與個(gè)體之間直接傳播的傳染方式。在傳染病剛開(kāi)始爆發(fā)時(shí)，部分原本沒(méi)有警惕的易感者，在不同時(shí)間和不同地點(diǎn)，逐漸接受到媒體報(bào)道的有關(guān)疾病信息之后，慢慢轉(zhuǎn)變成有意識(shí)的易感者；但隨著傳播高峰過(guò)去之后，部分有意識(shí)者在信息耗散之后又轉(zhuǎn)回成無(wú)意識(shí)者，具體模型為

其中I(x,t)代表感染者在t時(shí)刻x處的密度，M(x,t)表示在t時(shí)刻x處該地區(qū)由媒體引發(fā)的意識(shí)程序的累積密度?？?cè)丝贜(x,t) =S(x,t)+I(x,t)+A(x,t)。Λ 表示易感者的輸入率，β為病菌傳播率，μ為自然死亡率，u1為因病死亡率，γ為復(fù)原率，α為有意識(shí)個(gè)體到無(wú)意識(shí)個(gè)體的轉(zhuǎn)移率，η為意識(shí)的傳播率，ξ為媒體項(xiàng)目的貫徹率，?為媒體由于無(wú)效的耗散率。所有的參數(shù)均為正數(shù)。? ∈RN為有界區(qū)域，??是光滑的。進(jìn)一步，Di是空間擴(kuò)散系數(shù)，空間擴(kuò)散可以認(rèn)為是隨機(jī)的布朗運(yùn)動(dòng)。

定義Banach 空間中的連續(xù)函數(shù)ω:[?τ,0]→R4+，且模為

2 全局穩(wěn)定性

3 NSFD 離散模型

4 數(shù)值模擬

在此進(jìn)行數(shù)值模擬以驗(yàn)證前三章的理論結(jié)果。首先選取下面的參數(shù)值：Λ = 5, ?=0.01, η= 0.000 1, u1= 0.005, μ= 0.000 5, γ= 0.003, ξ= 70, α= 1.4, β=0.000 008, γ= 0.003。初始條件設(shè)為I(x,0) = 10× exp(?x), S(x,0) = 9 000×exp(?x), A(x,0) = 2 000×exp(?x), M(x,0) = 1 000×exp(?x)，其中x ∈[0,50]，取Di=0.01。此刻R0=4.0>1，模型有一個(gè)地方病平衡點(diǎn)E?=(1 062.5,16.488,8 756.1,115 420)。圖1 為取τ2= 0, τ1= 10 時(shí)的數(shù)值模擬結(jié)果，在圖1(b)中可看出染病者在初期就有一次劇烈的爆發(fā)，感染者人數(shù)快速增加到48 人左右，但隨著控制措施的逐漸實(shí)施，疫情慢慢得到有效控制，感染者人數(shù)開(kāi)始降低，經(jīng)過(guò)一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)間(約為600 天以后)，I趨于其平衡點(diǎn)約為16.488。圖1 的(a)、(c)和(d)也可以看出系統(tǒng)的解S、A和M最終均收斂于地方病平衡點(diǎn)。圖2 展示取不同τ1的值15 和18 時(shí)，I隨時(shí)間變化的趨勢(shì)，與圖1(b)比較可看出隨時(shí)滯的增加，感染者人數(shù)也大幅增加，且延遲了I達(dá)到最終平衡點(diǎn)的時(shí)間。

圖1 當(dāng)R0 >1, τ2 =0, τ1 =10 時(shí)，曲線代表隨著時(shí)間的變化

圖2 當(dāng)R0 >1, τ2 =0, τ1 取不同值時(shí)，曲線代表I 隨著時(shí)間的變化

再令τ1= 0, τ2= 10，如圖3(b)所示，此時(shí)染病者人數(shù)在傳染病爆發(fā)初期達(dá)到38 左右的峰值，再慢慢回落最終趨于其穩(wěn)定值。圖3 的(a)、(c)和(d)也可看出系統(tǒng)的解S、A和M最終均收斂于各自的地方病平衡點(diǎn)。

圖3 當(dāng)R0 >1, τ1 =0, τ2 =10 時(shí)，曲線代表隨著時(shí)間的變化

再同樣改變?chǔ)?的值到15 和18 如圖4 所示并與圖3(b)比較，得到類似的結(jié)論，時(shí)滯的增加會(huì)帶來(lái)感染者人數(shù)的增加以及推遲達(dá)到解的平衡點(diǎn)的時(shí)間。

圖4 當(dāng)R0 >1, τ1 =0, τ2 取不同值時(shí)，曲線代表隨著時(shí)間的變化

5 結(jié)論

本文學(xué)習(xí)一類具有空間擴(kuò)散和多時(shí)滯的傳染病模型，并以媒體效應(yīng)為主要預(yù)防手段。隨后再采用非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法離散該連續(xù)模型，其保持和原連續(xù)模型一樣的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。在數(shù)值模擬部分，可看出時(shí)滯對(duì)傳染病的影響，當(dāng)時(shí)滯變大時(shí)，不但會(huì)增加感染者人數(shù)還會(huì)延遲系統(tǒng)解達(dá)到平衡點(diǎn)的時(shí)間。因此，為了控制傳染病的傳播，應(yīng)該盡可能的采用媒體效應(yīng)這一手段，媒體在每一次傳染病爆發(fā)時(shí)就迅速收集有用信息再快速傳播出去，相關(guān)政策部門也要大力加強(qiáng)各種宣傳工作，使接收到訊息的人越來(lái)越多，從而最終控制好傳染病的流行。