服務(wù)員休假的生產(chǎn)服務(wù)庫存模型的穩(wěn)態(tài)分析及最優(yōu)生產(chǎn)策略

徐 浩, 岳德權(quán)

(燕山大學(xué)理學(xué)院，秦皇島 066004)

0 引言

隨著生產(chǎn)庫存理論研究的不斷深入，對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活中一些復(fù)雜的服務(wù)現(xiàn)象需要我們建立更加完善的模型。將服務(wù)員休假和生產(chǎn)庫存系統(tǒng)相結(jié)合，有效地分析系統(tǒng)中無庫存情況下的服務(wù)員休假的生產(chǎn)庫存模型，通過求解穩(wěn)態(tài)概率研究服務(wù)員休假對(duì)庫存管理的影響。

在排隊(duì)庫存系統(tǒng)文獻(xiàn)中，已有許多學(xué)者考慮了服務(wù)員(服務(wù)臺(tái))的休假對(duì)庫存管理的影響問題。Daniel 和Ramanarayanan[1]研究了(s,S)策略的庫存系統(tǒng)，其中服務(wù)臺(tái)只有在庫存變?yōu)榱銜r(shí)開始休假。他們假設(shè)在缺貨期間或服務(wù)臺(tái)休息期間到達(dá)的需求將丟失。假設(shè)需求、提前期和休假時(shí)間遵循一般分布。通過使用更新和卷積技術(shù)，他們獲得了穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)移概率的表達(dá)式。Narayanan 等[2]考慮了具有隨機(jī)正服務(wù)時(shí)間的庫存系統(tǒng)?？蛻舭凑誐arkovian 到達(dá)過程到達(dá)，服務(wù)時(shí)間和休假時(shí)間具有位相型分布。只要系統(tǒng)中沒有客戶等待或庫存水平為零，服務(wù)臺(tái)就會(huì)休假。他們利用了水平相依的擬生滅過程對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)態(tài)分析。Sivakumar[3]分析了一個(gè)具有馬爾可夫需求的連續(xù)盤點(diǎn)庫存系統(tǒng)。顧客到達(dá)服從Poisson 過程，服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布。只有當(dāng)系統(tǒng)庫存為零時(shí)，服務(wù)員立即進(jìn)行休假。休假結(jié)束后，若庫存為零則繼續(xù)休假，且休假期間到達(dá)的顧客進(jìn)入無限空間的等待池。在穩(wěn)態(tài)情況下獲得了庫存水平和系統(tǒng)中顧客數(shù)的聯(lián)合分布以及系統(tǒng)的一些穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。Padmavathi 等[4]分析了單重休假和多重休假的排隊(duì)庫存模型。只有當(dāng)庫存為零時(shí)，服務(wù)臺(tái)開始休假，若休假結(jié)束時(shí)，庫存已經(jīng)到達(dá)，則服務(wù)臺(tái)結(jié)束休假，否則繼續(xù)休假。并假設(shè)Poisson 到達(dá)，指數(shù)服務(wù)時(shí)間和指數(shù)前置時(shí)間。利用矩陣幾何解法得到了兩個(gè)休假模型下的Markov 鏈的平穩(wěn)分布以及產(chǎn)品庫存水平和服務(wù)隊(duì)列長度的聯(lián)合概率分布。Koroliuk 等[5]討論了一個(gè)帶有易腐特性，不耐煩客戶和服務(wù)員休假的排隊(duì)庫存系統(tǒng)，在假設(shè)Poisson 到達(dá)，指數(shù)服務(wù)時(shí)間和指數(shù)前置時(shí)間的條件下，得到最佳庫存管理策略。

Krishnamoorthy 和Narayanan[6]研究了基于(s,S)策略的帶有隨機(jī)服務(wù)時(shí)間的生產(chǎn)服務(wù)庫存系統(tǒng)，建立了系統(tǒng)隊(duì)長、庫存水平、生產(chǎn)狀態(tài)的三維馬爾可夫鏈，分析了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)下的各項(xiàng)性能指標(biāo)。王童毅等[7]考慮了兩種不同優(yōu)先級(jí)顧客的不耐煩行為和服務(wù)能力可調(diào)節(jié)的情況。建立了系統(tǒng)的Markov 模型，給出了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分布，獲得了系統(tǒng)的重要性能指標(biāo)與利潤函數(shù)，同時(shí)設(shè)計(jì)搜索算法獲得了系統(tǒng)的最優(yōu)庫存水平與最優(yōu)服務(wù)能力控制閾值，并得出基本庫存水平，額外服務(wù)能力，顧客到達(dá)速率對(duì)系統(tǒng)凈利潤的影響關(guān)系。王曉燕等[8]研究了具有不耐煩顧客的生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)的建模與優(yōu)化問題。生產(chǎn)設(shè)施生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，服務(wù)臺(tái)基于兩類顧客的不同需求提供不同的服務(wù)，其每類顧客需要的產(chǎn)品一一對(duì)應(yīng)。通過建立生產(chǎn)兩類產(chǎn)品的生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)Markov 模型，給出了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分布的求解方法，以及系統(tǒng)的重要性能指標(biāo)。Baek 和Moon[9]研究了M/M/1 生產(chǎn)庫存系統(tǒng)?？蛻舾鶕?jù)泊松過程到達(dá)系統(tǒng)，并且單個(gè)服務(wù)器為客戶服務(wù)?？紤]外部訂貨和內(nèi)部生產(chǎn)兩種補(bǔ)貨策略。最后得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分布。

目前，雖然在生產(chǎn)服務(wù)庫存上的關(guān)注和研究較多，但在生產(chǎn)庫存系統(tǒng)中考慮休假的文獻(xiàn)則相對(duì)較少。Viswanath 和Krishnamoorthy[10]研究了具有服務(wù)員休假的生產(chǎn)服務(wù)庫存系統(tǒng)。當(dāng)庫存為零時(shí)或者系統(tǒng)無顧客時(shí)，服務(wù)臺(tái)開始休假。假設(shè)每個(gè)產(chǎn)品的生產(chǎn)時(shí)間遵循馬爾可夫生產(chǎn)過程，并且客戶到達(dá)過程遵循馬爾可夫到達(dá)過程。他們求出了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分布和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。Yue 和Qin[11]研究了具有服務(wù)時(shí)間和生產(chǎn)假期的生產(chǎn)庫存系統(tǒng)。一旦庫存水平變?yōu)榱?，生產(chǎn)設(shè)備開始休假，假設(shè)所有到達(dá)的客戶在庫存為零時(shí)丟失。根據(jù)擬生滅過程理論得到了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平衡條件，最后給出了一些數(shù)值結(jié)果。

服務(wù)員休假在網(wǎng)購系統(tǒng)方面有明顯的應(yīng)用背景。例如在網(wǎng)購環(huán)境下，網(wǎng)購平臺(tái)提供“加購物車–下單–付款”的流程則是服務(wù)員向顧客提供服務(wù)的過程，網(wǎng)購平臺(tái)可視為服務(wù)員。以網(wǎng)購某一物品為背景，在庫存非零時(shí)，其網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)向顧客提供服務(wù)的過程是一直存在的，即服務(wù)員一直在工作。當(dāng)在重大節(jié)日或網(wǎng)購節(jié)日，如“雙十一”等，由于下單量大，導(dǎo)致庫存減少到零，此時(shí)網(wǎng)購平臺(tái)會(huì)顯示“缺貨中，補(bǔ)貨申請(qǐng)”，即網(wǎng)購平臺(tái)無法向顧客提供“加購物車–下單–付款”的流程，也就是說，此時(shí)的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)對(duì)于這類物品是處于休假狀態(tài)，至補(bǔ)貨到達(dá)才開始工作。

本文基于上述背景考慮了服務(wù)員休假策略，但卻與文獻(xiàn)[10–11]有所不同。文獻(xiàn)[10]假定庫存為零或系統(tǒng)中沒有顧客時(shí)服務(wù)員開始休假，而文獻(xiàn)[11]假定庫存為零時(shí)生產(chǎn)設(shè)備休假，沒有考慮服務(wù)員休假的問題。本文假定服務(wù)員在庫存為零時(shí)開始休假，系統(tǒng)沒有顧客時(shí)如果庫存非零，服務(wù)員不休假。第1 節(jié)給出了模型的描述和假設(shè)。第2 節(jié)進(jìn)行了穩(wěn)態(tài)分析，得到了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)平衡條件和穩(wěn)態(tài)概率分布。第3 節(jié)給出系統(tǒng)性能指標(biāo)和費(fèi)用函數(shù)的計(jì)算公式，并通過數(shù)值算例分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)性能指標(biāo)，最優(yōu)策略及最優(yōu)費(fèi)用的影響。第4 節(jié)給出了本文的結(jié)論。

1 模型描述

本文考慮具有(s,S)生產(chǎn)策略的服務(wù)員休假的M/M/1 生產(chǎn)服務(wù)庫存模型，模型描述如下。

顧客到達(dá)服從參數(shù)為λ的泊松過程，顧客到達(dá)系統(tǒng)后形成一個(gè)隊(duì)列，且每一個(gè)顧客只有一個(gè)產(chǎn)品需求。系統(tǒng)只有一個(gè)服務(wù)員，其服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布，服務(wù)規(guī)則為FCFS。

此系統(tǒng)采用的是(s,S)生產(chǎn)策略，即當(dāng)系統(tǒng)的庫存水平下降到s時(shí)，生產(chǎn)設(shè)備立即啟動(dòng)，并且每次只能生產(chǎn)一個(gè)產(chǎn)品，產(chǎn)品生產(chǎn)后立即進(jìn)入倉庫，直到庫存水平達(dá)到最大值S時(shí)，才停止生產(chǎn)，其生產(chǎn)時(shí)間服從參數(shù)為η的指數(shù)分布。

系統(tǒng)中只有一個(gè)服務(wù)員，當(dāng)系統(tǒng)庫存為零時(shí)，服務(wù)員開始休假。當(dāng)假期結(jié)束時(shí)，若系統(tǒng)中有庫存，則服務(wù)員立即進(jìn)入忙期，否則，若休假結(jié)束時(shí)系統(tǒng)中無庫存，服務(wù)員繼續(xù)休假。休假時(shí)間服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布。若系統(tǒng)中的庫存非零，服務(wù)員不休假。服務(wù)員休假期間到達(dá)的顧客將被拒絕，不能進(jìn)入隊(duì)列。假設(shè)需求到達(dá)過程，服務(wù)過程和生產(chǎn)過程是相互獨(dú)立的。

2 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析

在本節(jié)中，我們首先使用擬生滅過程(QBD)推導(dǎo)出上一節(jié)中描述的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)條件。然后，我們推導(dǎo)出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分布并計(jì)算系統(tǒng)的一些重要的性能指標(biāo)。

2.1 狀態(tài)過程

定義系統(tǒng)的狀態(tài)過程為ψ={(N(t),C(t),I(t),J(t));t ≥0}，其中N(t)表示t時(shí)刻系統(tǒng)中的顧客數(shù)；C(t)表示t時(shí)刻的庫存水平；I(t)表示t時(shí)刻服務(wù)員的休假狀態(tài)，其中I(t) = 0 表示服務(wù)員休假，I(t) = 1 表示服務(wù)員在崗(不休假)；J(t)表示t時(shí)刻生產(chǎn)設(shè)備的工作狀態(tài)，其中J(t)=1 表示生產(chǎn)設(shè)備正在生產(chǎn)，J(t)=0 表示生產(chǎn)設(shè)備未生產(chǎn)。

過程ψ={(N(t),C(t),I(t),J(t));t ≥0}的狀態(tài)空間為

2.2 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平衡條件

由Q矩陣結(jié)構(gòu)可知過程ψ={(N(t),C(t),I(t),J(t));t ≥0}是擬生滅過程。令M=C+B+A，則有

其中ζ表示服務(wù)員處于工作狀態(tài)的概率之和，顯然ζ ?= 0。于是，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分布存在當(dāng)且僅當(dāng)λ<μ時(shí)成立。

2.3 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率

首先考慮服務(wù)時(shí)間為零的情況，其中定義系統(tǒng)的狀態(tài)過程為?ψ={(C(t),I(t),J(t));t≥0}，其中C(t)、I(t)、J(t)的定義同2.1 節(jié)。

過程?ψ={(C(t),I(t),J(t));t ≥0}的狀態(tài)空間為

其中Pn是(3S ?s)維行向量。

定理1 如果λ<μ，過程{X(t), t ≥0}的穩(wěn)態(tài)概率為

3 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)指標(biāo)及費(fèi)用分析

3.1 穩(wěn)態(tài)指標(biāo)

根據(jù)上述穩(wěn)態(tài)概率向量的表達(dá)式，易求得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)，具體如下所示。

1) 平均隊(duì)長

上述公式中的π(S,0,0)由公式(19)給出，?由公式(20)給出。

3.2 參數(shù)對(duì)性能指標(biāo)的影響

1) 固定η=3, θ=2, s=5, S=45，考慮到達(dá)率λ對(duì)某些性能指標(biāo)的影響。

由表1 可知，當(dāng)?shù)竭_(dá)率λ增大時(shí)，生產(chǎn)設(shè)備的平均生產(chǎn)率Erp，平均顧客損失率Eloss，服務(wù)員平均休假率Evac，生產(chǎn)設(shè)備生產(chǎn)時(shí)的系統(tǒng)平均庫存Eon，平均生產(chǎn)啟動(dòng)率Epon都隨之增大。不生產(chǎn)時(shí)平均庫存Eoff和總平均庫存Einv在減小。

表1 參數(shù)λ 的敏感性分析

2) 固定λ=2.7, θ=2, s=5, S=45，考慮生產(chǎn)率η對(duì)某些性能指標(biāo)的影響。

由表2 可知，當(dāng)生產(chǎn)率η增大時(shí)，生產(chǎn)設(shè)備的平均生產(chǎn)率Erp，生產(chǎn)設(shè)備生產(chǎn)時(shí)的系統(tǒng)平均庫存Eon，平均生產(chǎn)啟動(dòng)率Epon，不生產(chǎn)時(shí)平均庫存Eoff和總平均庫存Einv都隨之增大。平均顧客損失率Eloss和服務(wù)員平均休假率Evac在減小。

表2 參數(shù)η 的敏感性分析

3) 固定λ=2.7, η=3, s=5, S=45，考慮休假率θ對(duì)某些性能指標(biāo)的影響。

由表3 可知，當(dāng)休假率θ增大時(shí)，生產(chǎn)設(shè)備的平均生產(chǎn)率Erp和服務(wù)員平均休假率Evac都隨之增大。平均顧客損失率Eloss，生產(chǎn)設(shè)備生產(chǎn)時(shí)的系統(tǒng)平均庫存Eon，平均生產(chǎn)啟動(dòng)率Epon，不生產(chǎn)時(shí)平均庫存Eoff和總平均庫存Einv在減小。

表3 參數(shù)θ 的敏感性分析

3.3 費(fèi)用分析

假設(shè)該庫存系統(tǒng)的費(fèi)用主要由服務(wù)費(fèi)用、庫存保管費(fèi)用、生產(chǎn)費(fèi)用、系統(tǒng)的顧客損失費(fèi)用組成。令單位時(shí)間服務(wù)費(fèi)用為Cs，單位時(shí)間單位庫存的保管費(fèi)用為Cinv，單位時(shí)間生產(chǎn)費(fèi)用為Crp，單位時(shí)間顧客損失費(fèi)用為Closs，生產(chǎn)啟動(dòng)費(fèi)用Cpon，則系統(tǒng)費(fèi)用函數(shù)為

本文引用王小平和曹立明[13]提出遺傳算法(GA)對(duì)該庫存系統(tǒng)的費(fèi)用函數(shù)進(jìn)行最優(yōu)求解。遺傳算法采用概率化的尋優(yōu)方法，不需要確定的規(guī)則就能自動(dòng)獲取和指導(dǎo)優(yōu)化的搜索空間，自適應(yīng)地調(diào)整搜索方向，因此大大加快了算法的收斂速度。

具體的算法步驟如下：

步驟1 初始化染色體，在可行性區(qū)域內(nèi)隨機(jī)生成含有M個(gè)體的初始群體；

步驟2 對(duì)決策變量進(jìn)行整數(shù)約束，計(jì)算評(píng)價(jià)M個(gè)初始群體的適應(yīng)度；

步驟3 進(jìn)行個(gè)體交叉操作，進(jìn)而判斷個(gè)體的有效性。有效，則保留；無效，則進(jìn)行隨機(jī)位置交叉，直至生成有效的新的種群；

步驟4 進(jìn)行個(gè)體變異操作，再次判斷個(gè)體的有效性。有效，則保留；無效，則進(jìn)行隨機(jī)位置變異，直至生成有效的新的種群；

步驟5 對(duì)染色體個(gè)體進(jìn)行選擇操作；

步驟6 評(píng)價(jià)新群體的適應(yīng)度，找到本代最好染色體，再與上一代進(jìn)化最好染色體進(jìn)行比較，記錄每一代進(jìn)化中做好的適應(yīng)度和平均適應(yīng)度；

步驟7 終止條件判斷，如果當(dāng)前選擇滿足終止條件則停止并輸出當(dāng)前選擇為最優(yōu)個(gè)體，否則轉(zhuǎn)到步驟3。

現(xiàn)在，我們研究參數(shù)λ、η、θ、μ對(duì)最優(yōu)策略(s?,S?)和最優(yōu)費(fèi)用函數(shù)C(s?,S?)的影響。數(shù)值結(jié)果由表4 至表7 給出。Cs=2, Cinv=1, Crp=20, Closs=50, Cpon=2。

表4 給出了參數(shù)λ取不同的值時(shí)，系統(tǒng)的最優(yōu)控制策略和一些性能指標(biāo)的取值變化，其中參數(shù)μ= 3.5, θ= 0.8, η= 3.5。由表4 可知，隨著到達(dá)率λ的增大，其最小庫存量在逐步減小，最大庫存量在逐步增大，最優(yōu)費(fèi)用也在逐漸增大。

表4 參數(shù)λ 對(duì)最優(yōu)策略和最優(yōu)費(fèi)用的影響

表5 給出了參數(shù)η取不同的值時(shí)，系統(tǒng)的最優(yōu)控制策略和一些性能指標(biāo)的取值變化，其中參數(shù)μ= 3.5, θ= 0.8, λ= 1.9。由表5 可知，隨著生產(chǎn)率η的增大，其最小庫存量在逐步增大，最大庫存量在逐步降低，最優(yōu)費(fèi)用也在逐漸降低。

表5 參數(shù)η 對(duì)最優(yōu)策略和最優(yōu)費(fèi)用的影響

表6 給出了參數(shù)μ取不同的值時(shí)，系統(tǒng)的最優(yōu)控制策略和一些性能指標(biāo)的取值變化，其中參數(shù)λ= 1.9, η= 3.5, θ= 0.8。由表6 可知，隨著服務(wù)率μ的增大，其最小庫存量無顯著變化，最大庫存量也無顯著變化，而最優(yōu)費(fèi)用在逐漸降低。

表6 參數(shù)μ對(duì)最優(yōu)策略和最優(yōu)費(fèi)用的影響

表7 給出了參數(shù)θ取不同的值時(shí)，系統(tǒng)的最優(yōu)控制策略和一些性能指標(biāo)的取值變化，其中參數(shù)λ= 1.9, η= 3.5, μ= 3.5。由表7 可知，隨著休假率θ的增大，其最小庫存量逐漸降低，最大庫存量也逐漸降低，而最優(yōu)費(fèi)用在逐漸降低。

表7 參數(shù)θ 對(duì)最優(yōu)策略和最優(yōu)費(fèi)用的影響

4 結(jié)論

本文研究了庫存為零時(shí)服務(wù)員休假的M/M/1 生產(chǎn)服務(wù)庫存系統(tǒng)，其中生產(chǎn)設(shè)施采用(s,S)策略。通過求解矩陣方程獲得了系統(tǒng)隊(duì)長和庫存水平的聯(lián)合分布，證明了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率分布具有乘積形式解。我們基于一些性能指標(biāo)構(gòu)建了費(fèi)用函數(shù)。通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)考察了一些參數(shù)對(duì)于性能指標(biāo)和費(fèi)用函數(shù)的影響。